Matematičke metode u kemijskom inženjerstvu Vibrirajuće membrane

1. Studenti: Ana Babić; Hrvoje Šoprek Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku Matematičke metode u kemijskom inženjerstvuVibrirajuće membrane

2. Teorijska pozadina • PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE • jednadžba koja uključuje jednu ili više parcijalnih derivacija neke nepoznate funkcije koja sadrži dvije ili više nezavisnih varijabli • red najviše derivacije naziva se redom jednadžbe • dolaze do izražaja kada su u vezi s različitim fizičkim i geometrijskim problemima, odnosno kada zadana funkcija ovisi o dvije ili više nezavisnih varijabli • nezavisne varijable mogu biti vrijeme ili neka od koordinata u prostoru

3. Teorijska pozadina • PDJ je linearna ako je prvog stupnja zavisne varijable i njenih parcijalnih derivacija • u slučajevima, kada svaki član takve jednadžbe sadrži zavisnu varijablu ili jednu od njenih derivacija, za jednadžbu kažemo da je homogena • inače je takva jednadžba nehomogena

4. Teorijska pozadina • rješenje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi jest područje R prostora nezavisne varijable u funkciji koja sadrži sve parcijalne derivacije i zadovoljava jednadžbu svugdje u R • jedinstveno rješenje PDJ koje odgovara zadanom fizičkom problemu može se dobiti upotrebom dodatnih informacija koje potječu iz same fizičke situacije • npr. u nekim slučajevima bit će dane vrijednosti rješenja problema na granicama neke domene ( rubni uvjeti ), ili kad je t – vrijeme, jedna od varijabli, mogu biti dana rješenja za t=0 ( početni uvjeti ) • ako znamo da je obična diferencijalna jednadžba linearna i homogena , tada možemo iz poznatih rješenja doznati i ostala rješenja preko superpozicije • za homogene linearne PDJ situacija je vrlo slična

5. Vibrirajuće membrane • DVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBA • kao jedan od važnih problema u području vibracija razmotrit ćemo titranje membrana • na početku postavljamo važne pretpostavke: 1. masa membrane po jedinici površine je konstantna  „homogena membrana“ ; membrana je posve fleksibilna i tako tanka da ne pruža nikakav otpor savijanju 2. membrana je raširena i fiksirana preko cijele svoje granice u xy-ravnini ; napetost membrane po jedinici duljine T, koja je posljedica rastezanja membrane, jednaka je u svim točkama i njezin smjer se ne mijenja tijekom vibriranja 3. otklon u (x,y,z) membrane tijekom vibriranja je malen u usporedbi s veličinom membrane, a svi kutevi nagiba su također maleni

6. y+y y MEMBRANA x x+x Vibrirajuće membrane • da bi mogli doći do diferencijalne jednadžbe koja opisuje pomicanje membrane, moramo razmotriti sile koje djeluju na malim dijelovima membrane

7. Vibrirajuće membrane • kako su otklon membrane i kutevi nagiba mali, stranice isječka membrane su jednake x i y • napetost, T,je sila po jedinici duljine • sila koja djeluje na rubovima isječka aproksimirana je Tx i Ty • kako je membrana fleksibilna, ove sile su tangencijalne na membranu

8. Vibrirajuće membrane • gibanje dijelova membrane u horizontalnom smjeru je zanemarivo maleno • membrana se giba transverzalno, odnosno svaki djelić membrane se giba vertikalno • vertikalne komponente sila preko krajeva paralelnih s yu-ravninom su: • kako su kutevi mali, njihove sinuse možemo zamijeniti s tangensima • rezultanta dviju vertikalnih komponenti • rezultante druge dvije nasuprotne strane isječka su:

9. Vibrirajuće membrane

10. Vibrirajuće membrane • ako se x iy približe 0, slijedi: • ova jednadžba naziva se DVODIMENZIJSKA VALNA JEDNADŽBA • može se izraziti pomoću Laplace-a i tako pisati u obliku:

11. Vibrirajuće membrane • PRAVOKUTNE MEMBRANE • da bi mogli riješiti problem vibrirajuće membrane, moramo odrediti rješenje u(x,y,t) za dvo-dimenzijsku valnu jednadžbu: • koja zadovoljava rubne uvjete: • te početne uvjete:

12. y b R x a Vibrirajuće membrane Prvi korak. • pomoću metode razdvajanja varijabli, prvo ćemo odrediti rješenje jednadžbe koje će zadovoljiti uvijet:

13. Vibrirajuće membrane • zato što funkcija na lijevo ovisi jedino o t, dok funkcije na desno ne ovise o t, izrazi na obje strane moraju biti jednaki konstanti

14. Vibrirajuće membrane • funkcija na lijevo ovisi jedino o x dok funkcija na desno ovisi jedino o y • izraz na obje strane mora biti jednak konstanti

15. Vibrirajuće membrane

16. Vibrirajuće membrane Drugi korak. • opća rješenja su: • F=HQ mora iznositi nula na granici, koja je zadana s x=0, x=a, y=0, te y=b • uvjeti su slijedeći: H(0)=0, H(a)=0, Q(0)=0, Q(b)=0 H(0) =A=0, H(a)=B sinka=0

17. Vibrirajuće membrane • moramo uzeti u obzir B0 jer je inače H0 i F0 • sin ka=0 ili ka=m , odnosno (cijeli m) • C=0, a p mora biti sužen na vrijednosti p=n/b gdje je cijeli n • dolazimo do rješenja • slijedi da je funkcija • rješenje jednadžbe koje iznosi nula na granici pravokutne membrane

18. Vibrirajuće membrane • k=m/a i p=n/b odgovara • slijedi da je funkcija na duljini sa mn ,rješenja valne jednadžbe, koja iznose nula na granici pravokutne membrane • ove funkcije nazivaju se karakteristične funkcije, a iznosi mn se zovu karakteristične vrijednosti vibrirajuće membrane • frekvencija umn je mn/2 • ovisno o a i b, nekoliko funkcija može odgovarati istoj karakterističnoj vrijednosti,a fizički to znači da mogu postojati vibracije s jednakim frekvencijama, ali različitim krivuljama koje čine nepomične točke

19. Vibrirajuće membrane Treći korak. • ovi redovi nazivaju se dvostruki Fourier-ovi redovi • ako pretpostavimo da se f(x,y) mogu razviti u takve redove, tada Fourier-ove koeficijente Bmn za f(x,y) možemo odrediti pomoću

20. Vibrirajuće membrane • za fiksni y ovo su Fourier-ovi sinusni redovi za f(x,y), shvaćen kao funkcija x, pa slijedi da su koeficijenti ove ekspanzije • Fourier-ov sinusni red za Km(y) pa su koeficijenti • opća Euler-ova formula za Fourier-ove koeficijente za f(x,y) u dvostrukim Fourier-ovim redovima • Bmn je sada određen za f(x,y)

21. Vibrirajuće membrane • pretpostavljamo da g(x,y) može biti razvijen u dvostruke Fourier-ove redove • tada dobivamo • rezultat je taj, da bi jednadžba zadovoljila početne uvjete, koeficijenti Bmn i B*mn moraju biti izabrani prema ovim izrazima

22. m=1 m=2 m=3 n=1 n=2 n=3 Primjeri

23. 1,2 2,1 1,1 2,2 Primjeri

24. Primjeri

25. n=1 n=2 n=3 m=0 m=1 m=2 Primjeri

26. 0,3 0,1 0,2 1,1 2,1 1,2 Primjeri

27. HVALA NA PAŽNJI