1 / 67

METODE NUMERIK (3 SKS)

METODE NUMERIK (3 SKS). STMIK CILEGON. PENGANTAR NUMERIK. Masalah nyata Model matematika Rumusan masalah Solusi Eksak Pendekatan. Contoh kasus. Pemakaian rumus ABC utuk menentukan akar dari persamaan kuadrat contoh f(x) = x 2 + 10 15 x + 5 = 0

gallia
Download Presentation

METODE NUMERIK (3 SKS)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. METODE NUMERIK (3 SKS) STMIK CILEGON

  2. PENGANTAR NUMERIK Masalah nyata Model matematika Rumusan masalah Solusi • Eksak • Pendekatan

  3. Contoh kasus. • Pemakaian rumus ABC utuk menentukan akar dari persamaan kuadrat contoh f(x) = x2 + 1015x + 5 = 0 • Menentukan determinan dari suatu matriks Contoh.

  4. Metode analitik vs Metode numerik • Metode analitik - menghasilkan solusi eksak (galat = 0) - menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika • Metode numerik - menghasilkan solusi pendekatan - menghasilkan solusi dalam bentuk angka

  5. Peranan komputer dalam MetNum • Mempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahan • Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameter Contoh aplikasi : Mathlab, Mathcad, Mathematica dll Mengapa perlu belajar Metnum • Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik) • Memudahkan dalam memahami aplikasi program • Dapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi • Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar

  6. GALAT

  7. Prinsip perhitungan dalam numerik • Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” • Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

  8. Penyajian bilangan Bilangan ada 2: • Eksak • Tidak eksak • Perhitungan matematika tidak eksak , e, • Perhitungan desimal yang berulang 0.3333…. • Hasil perhitungan deret tak hingga e • Hasil pengukuran

  9. Floating point • f.p x = a x bn • a = matise (0 ≤ a ≤ 1) • b = basis • n = eksponen (bilangan bulat) Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10

  10. Desimal dan angka signifikan • Misal x = 0.05  2 desimal 1 angka signifikan x = 0.30  2 desimal 2 angka signifikan Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan

  11. Aritmatika dalam floating point • Penjumlahan /pengurangan • Ubah bilangan ke f.p • Ubah eksponen mengikuti eksponen yang besar • Jumlahkan/kurangkan • Sesuaikan desimal/a.s yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103 x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120

  12. Perkalian/pembagian Ubah bilangan ke f.p Untuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan matise Untuk pembagian : kurangkan eksponen dan bagikan matise Tulis hasil dalam f.p sesuai dengan desimal yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0. 14 x 100 x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20

  13. Alur perhitungan Sumber-sumber galat : Galat yang ada pada input : Chopping error Rounding error Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak Input Proses Output

  14. Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak tepat Kesalahan alat Human error Galat pada output : Chopping error Rounding error

  15. Misal x adalah nilai eksak dan x* adalah nilai pendekatan maka galat  = x – x* Galat absolut a = |x – x*| Galat absolut relatif

  16. Macam-macam galat • Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0.378x103 galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456

  17. Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0.378546x103dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*| = |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

  18. Truncation error Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin Contoh.

  19. Nested form • Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat • Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3 f(0.25) = 4.521875 • Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4))) • f(0.25)=3.896875 • Galat yang terjadi 0.625

  20. Hilangnya angka signifikan • Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik • Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s 6 a.s 0.0385 3 a.s

  21. Deret Taylor & Deret MacLaurin • Deret Taylor di titik a • Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin

  22. Contoh. • f(x) = sin x • f’(x) = cos x • f’’(x) = - sin x • f’’’(x) = -cos x • Dst…. • Deret MacLaurin

  23. Deret Taylor dan deret MacLaurin dapat digunakan dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka signifikan Contoh. Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s) Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

  24. Fungsi Pendekatan

  25. Pendahuluan • Masalah yang sulit dievaluasi • Fungsi yang “rumit” • Fungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsi • Informasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui) • Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data • Digunakan fungsi pendekatan berupa polinomial yang memenuhi fungsi pada sejumlah titik

  26. Misalkan nilai fi = f(xi) diketahui i = 1,2,3,…,n Dapat digunakan fungsi polinomial pn(x) dengan derajat ≤ n untuk menginterpolasi fungsi di (n + 1) titik xi, i = 1,2, 3,…,n Polinomial interpolasi yang digunakan harus memenuhi

  27. Bentuk Lagrange • Didefinisikan fungsi

  28. Jika fi adalah nilai fungsi di titik xi maka jumlah dari perkalian fi dengan Li(x) adalah pn(x) = f1L1(x) + f2L2(x) + … + fnLn(x) Bentuk di atas disebut bentuk Lagrange polinomial interpolasi

  29. Contoh. • Tentukan polinomial untuk menginterpolasi fungsi di titik x = -1,0 dan 1 • Jawab. • Misal x0 = -1, x1 = 0 dan x2 = 1

  30. Diperoleh polinomial interpolasi p2(x)=f0L0(x)+f1L1(x)+f2L2(x) = =

  31. Formula Pembagian Selisih Newton

  32. Dari langkah-langkah di atas diperoleh polinomial interpolasi pn(x) = f(x0)+(x - x0)f[x0,x1]+(x - x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]+…+ (x - x0)…(x - xn-1)f[x0,x1,…,xn] Contoh. Gunakan formula pembagian selisih Newton untuk menginterpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6

  33. Jawab. • Polinomial interpolasi pn(x) = 1.414214 + (x – 2){0.317837 + (x – 3){-0.024944 + (x – 4)(0.002636)}}

  34. Galat dari polinomial interpolasi • Misal polinom pn(x) dengan derajat ≤ n yang menginterpolasi fungsi f di xi [a,b], i = 0,1,2…, n • Jika derivatif fungsi ke - n+1 kontinu pada [a,b] maka galat • Dengan x berada dalam interval yang memuat x,x0,x1, … ,xn

  35. Contoh. • Tentukan error di titik x = 5 dari polinomial interpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6 • Jawab.

  36. PERSAMAAN NONLINIER

  37. Persamaan nonlinier • Pada umumnya persamaan nonlinier f(x) = 0 tidak dapat mempunyai solusi eksak • Jika r suatu bilangan real sehingga f(r) = 0 maka r disebut sebagai akar dari persamaan nonlinier f(x) • Solusi dari persamaan nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan metode iterasi

  38. Persamaan nonlinier f(x) = 0 Tidak mempunyai akar Mempunyai beberapa akar Mempunyai banyak akar Metode pencarian akar dari persamaan nonlinier Metode biseksi (Bisection Method) Iterasi titik tetap (Fixed Point Iteration) Metode Newton (Newton Method)

  39. Metode biseksi • Jika f(x) kontinu pada interval [a,b] dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat minimal satu akar. • Algoritma sederhana metode biseksi • Mulai dengan interval [a,b] dan toleransi  • Hitung f(b) • Hitung c = (a - b)/2 dan f(c) • Jika b – c ≤  maka STOP ( akar = c) • Jika f(b).f(c) < 0 maka a = c jika tidak b = c dan f(b) = f(c) • Ulangi langkah 3

  40. Contoh. • Gunakan metode biseksi untuk mencari akar dari x – 1 = e-x pada interval [1,1.4] dengan toleransi  = 0.02 • Jawab.

  41. Diperoleh akarnya adalah x  1.2875

  42. Kekonvergenan metode biseksi • Menentukan banyaknya iterasi sehingga error maksimumnya ≤ 

  43. Error maksimum Banyaknya iterasi

  44. Contoh. • Berapa iterasi yang diperlukan agar error maksimum pada metode biseksi lebih kecil dari 10-5 pada interval [0,1]? • Jawab.

  45. Iterasi titik tetap • Misal terdapat fungsi f(x) = 0 • Ditentukan fungsi baru dengan bentuk x = g(x) • Kemungkinan dari penentuan fungsi x = g(x) • Konvergen • Divergen • Digunakan untuk melakukan iterasi dengan inisialisasi x0 • f(r) = 0 ↔ r = g(r) dan r disebut titik tetap

  46. Contoh. • Tentukan akar hampiran dari fungsi x3 – 2x + 1 = 0 dengan x0 = 2 • Jawab. Ditentukan fungsi baru 2x = x3 + 1 x = ½ (x3 + 1) xn+1 = ½ (xn3 + 1) dengan x0 = 2 Dari tabel terlihat bahwa penentuan fungsi x = g(x) bersifat divergen

  47. Penentuan fungsi baru yang lain x3 – 2x + 1 = 0 Setelah 3 iterasi diperoleh akar hampiran x = 1.137

  48. Metode Newton • Dalam metode ini, fungsi y = f(x) dianggap sebagai garis lurus yang melalui titik (a,f(a)), menyinggung kurva y = f(x) dan memotong sumbu X di titik (x,0) • Gradien kurva m = f’(a)

  49. Menyinggung kurva f = f(x)  persamaan garis singgungnya adalah y – f(a) = m (x – a) y – f(a) = f’(a)(x – a) Karena memotong sumbu X di (x,0) maka 0 – f(a) = f’(a)(x – a)

  50. Iterasi metode Newton Algoritma Newton Inisialisasi x = x0, f’(x0)  0 Hitung |f(xn+1)|   STOP (xn+1 akar hampiran) Ulangi langkah 2

More Related