Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?

1. Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536

2. Hvad er svært ved beviser? Udføre beviser på egen hånd på nær i standardsituationer Bevisførelse ses som et mærkeligt ritual med tricks, der dumper ned ovenfra Kan korrekt reproducere et bevis mundtligt eller skriftligt uden nødvendigvis at forstå, at beviset har betydning for sandhedsværdien af den beviste sætning Et deduktivt bevis ses det samme som at undersøge noget for eet tilfælde Vil selv afgøre om de tror en sætning er sand Svært at se forskel på antagelser, teoremer og slutningsregler

3. Konflikt mellem intuition og formelt bevis • Elever lader sig i større grad overbevise af: • Intuition, empiri, eksempler • Eksempel: I en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinien lige store • Intuitivt klart – ser ikke nødvendigheden af et bevis • Eksempel: Summen af vinkler i en trekant er altid lig med summen af to rette vinkler • Ikke intuitivt klart – ser behov for bevis • Eksempel: Der er lige mange elementer i N og Z • Intuitivt forkert – tror de på beviset?

4. Kilder til elevernes problemer • Begrebsmæssig forståelse • Matematisk sprog og notation • At få begyndt på et bevis • For megen vægt på beviser i skreven form giver ikke alle elever en forståelse for bevisers rolle som noget der giver validitet • Meget anderledes end den type ræsonnement man bruger i dagligdagen

5. Hvorfor bruge beviser? Central del af matematikken Udvikler ræsonnementskompetencen, logisk tænkning Giver metoder, værktøj og begreber til brug for problemløsning (ikke blot sætningen) Forberedelse til (nogle) videregående uddannelser Alment dannende Det står i læreplanen

7. Nogle overordnede ideer • Lade elever komme med uformelle beviser som de sammen med læreren oversætter frem og tilbage til formelt bevis (kan være nemmere for eleverne at få startet) • Benytte ofte spørgsmål som ”hvorfor er det sådant?” til at hjælpe eleverne tydeliggøre deres tænkning og udvikle standarder for matematisk ræsonnement • Udsætte dem for situationer hvor de overraskes og oplever et behov for en forklaring/et bevis

8. Idé: Induktiv proces Ligner det matematikere gør Fjerne bøgerne – give dem evt. ark at arbejde med I grupper eller individuelt arbejde med egne formodninger (let stof), diskutere bevisstrategier og formulering af bevis. Læreren er ordstyrer – Djævelens Advokat – konsulent Reviewe et bevis ved at vise det på overhead for resten af klassen To ting til overvejelse inden Det tager ca. 2,5 så lang tid at komme gennem samme stof Læreren skal være fleksibel

9. Blandt andet to typer beviser i undervisningen Beviser der demonstrerer sandhed Beviser der forklarer hvorfor noget er sandt Eksempel: Summen af de n første heltal er S(n) = n(n+1)/2

10. Studér disse senere

11. Fremad-baglæns metodenEksempel:

13. Afprøv et bevis på en anden måde • I beviset for produktreglen for differentiation indgår et ”trick” med at skrive 0 som - f(x0)g(x0 + h) + f(x0)g(x0 + h) • Lav beviset ved fremad-baglæns metoden • Overvej brugbarhed for eleverne • Se på arket med bevis der forklarer