6. STABILNOST KONSTRUKCIJA

1. 6. STABILNOST KONSTRUKCIJA Včas v. prof. Dr Mira Petronijević Prof. Dr Stanko Brčić 3. Stabilnost konstrukcija

2. 6.7 Analiza elastične stabilnosti • U analizi stabilnosti nosača tražimo opterećenje pri kome će se pored prvobitnog ravnotežnog položaja javiti drugi ravnotežni položaj, tj. trenutak pojave indiferentnog stanja, ili stanja bifurkacione ravnoteže. • Tačka u kojoj konstrukcija gubi stabilnost se naziva kritična tačka (critical point). Postoje 2 vrste kritične tačke: • granična tačka (limit point) • tačka bifurkacije (bifurcation point) 3. Stabilnost konstrukcija

3. Granična tačka(limit point) je tačka u kojoj je iscrpljena sposobnost sistema da primi dodatno opterećenje, tako da prirast deformacije dovodi do pada kapaciteta opterećenja. 3. Stabilnost konstrukcija

4. Tačka bifurkacije je tačka u kojoj se pored jednog ravnotežnog položaja javlja i drugi ravnotežni položaj. • Fenomen koji se pritome javlja naziva se izvijanje. 3. Stabilnost konstrukcija

5.  H=P H=P II limit(granica elastične stabilnosti) I Horizontalno opterećenje H bifurkacija Horizontalno pomeranje  3. Stabilnost konstrukcija

6. Kritično opterećenje je opterećenje pri kome se javljaju dva moguća ravnotežna položaja. • Postupak određivanja kritične tačke tj. kritičnog opterećenja nije jednostavan. Kritična tačka se globalno može definisati kao tačka posle koje matrica krutosti sistema prestaje da bude pozitivno definitna. 3. Stabilnost konstrukcija

7. U tački bifurkacije matrica krutosti sistema postaje singularna. • Za inženjersku praksu je od najvećeg interesa određivanje kritičnog opterećenja, tj. opterećenja pri kome dolazi do gubitka stabilnosti konstrukcije. 3. Stabilnost konstrukcija

8. Praktično imamo 2 problema: • Određivanje kritične tačke (tačka bifurkacije) • Određivanje ponašanja konstrukcije posle kritičnog položaja • Samo mali broj konstrukcija se ponaša tako da se javlja idealna bifurkacija (imperfekcija u geomeriji, materijalu i opterećenju smanjuje mogućnost pojave bifurkacije) 3. Stabilnost konstrukcija

9. U okviru analize stabilnosti konstrukcija bavićemo se samo problemom određivanja kritičnog opterećenja, tj. tačke bifurkacije. • Problem post-kritičnog ponašanja konstrukcije je daleko složeniji, zahteva primenu nelinearne analize i nije predmet proučavanja. 3. Stabilnost konstrukcija

10.  2<0 2=0 2>0 q 6.7.1 Određivanje kritičnog opterećenja • U tački bifurkacije sistem se nalazi u indiferentnoj ravnoteži. • U stanju indiferentne ravnoteže druga varijacija potencijalne energije sistema je jednaka nuli. labilno indiferentno stabilno 3. Stabilnost konstrukcija

11. Tačku bifurkacije, tj. kritično opterećenje ćemo matematički odrediti primenom matrične analize iz uslova da je druga varijacija potencijalne energije sistema (tj. nosača) po pomeranjima jednaka nuli. 3. Stabilnost konstrukcija

12. Potencijalna energija sistema jednaka je rad spoljašnjih sila deformacioni rad 3. Stabilnost konstrukcija

13. Potencijalna energije je dobijena iz jednačina L.T. II reda - približno rešenje. U izrazu za potencijalnu energiju - su unutrašnje sile - su spoljašnje sile 3. Stabilnost konstrukcija

14. - matrica krutosti sistema po linearnoj teorji - geometrijska matrica krutosti sistema Dobijaju se iz osnovnih matrica krutosti pojedinih štapova u globalnom sistemu, postupkom kodnih brojeva. 3. Stabilnost konstrukcija

15. Veze između matrica krutosti štapova u globalnom i lokalnom sistemu su: gde je T - matrica transformacije štapa. 3. Stabilnost konstrukcija

16. Prva varijacija potencijalne energije po q* je • Druga varijacija potencijalne energije po q*je: 3. Stabilnost konstrukcija

17. U stanju bifurkacione ravnoteže 2=0. Kada se u jednačinu bifurkacione ravnoteže uvedu granični uslovi, dobija se da je: gde index n označava nepoznata pomeranja. - vektor pomeranja u slobodnim čvorovima nosača - varijacija vektora pomeranja - submatrica uz nepoznata pomeranja 3. Stabilnost konstrukcija

18. Za egzistenciju rešenja potrebno je da determinanta submatrice sistema bude jednaka nuli: • Dakle, problem određivanja kritičnog opterećenja se svodi na rešavanje linearnog problema svojstvenih vrednosti matrice linearizovane teorije II reda - približno rešenje. 3. Stabilnost konstrukcija

19. U analizi bifurkacione stabilnosti pretpostavlja se da je su aksijalne sile u štapovima poznate i određene po Teoriji I reda. • Ako se intezitet opterećenja menja linearno, proporcionalno parametru , tada se i intenzitet sila u štapovima menja proporcionalno parametru , tj. geometrijska matrica štapa je Kg a geometrijska matrica sistema je 3. Stabilnost konstrukcija

20. Uslov za bifurkacionu stabilnost postaje: • Jednačina predstavlja problem svojstvenih vrednosti. U razvijenom obliku, gornja jednačina predstavlja polinom n-tog stepena po . Koreni tog polinoma (nule) predstavljaju karakteristične vrednosti: 1, 2, 2 ,... , n 3. Stabilnost konstrukcija

21. Rešenje za i se dobija određivanjem nula karakterističnog polinoma (za n<5), postupkom vektorske iteracije ili probanjem. • Od praktičnog značaja je najmanja vrednost 1= min. Onadaje najmanju vrednost opterećenja pri kome dolazi do gubitka stabilnosti sistema. To opterećenje je predstavlja kritično opterećenje sistema, a sila u štapu j je kritična sila Scr,j. 3. Stabilnost konstrukcija

22. Dakle, kritično opterećenje Pcr=P je najmanje opterećenje koje se dobija iz netrivijalnog rešenja homogenog problema linearizovane Teorije II reda. • Ono predstavlja približno rešenje problema stabilnosti, pošto su sile u štapovima Sdobijene po Teoriji I reda 3. Stabilnost konstrukcija

23. Pri kritičnom opterećenju se javlja drugi ravnotežni položaj sistema, definisan vektorom q1 , koji odgovara svojstvenoj vrednosti 1. 3. Stabilnost konstrukcija

24. Kritični svojstveni vektor se dobija rešenjem jednačine: • Kritični vektor je moguće odrediti “do na konstantu”, tj. u funkciji jedne izabrane vrednosti npr. 3. Stabilnost konstrukcija

25. Tačnije rešenje po Teoriji II reda se dobija korišćenjem tačnih matrica krutosti štapova • U tom slučaju je problem određivanja svojstvenih vrednosti je transcedentalan. Može se rešiti iterativnim tehnikama ili probanjem. 3. Stabilnost konstrukcija

26. 6.7.2 Postupak rešavanja linearizovane elastične stabilnosti 1.Odredi se matrica krutosti sistema po Teoriji I redaK*0i reši linearni statički problem zaλ= 1 tj. odrede se aksijalne sile u štapovima nosača S. 2. Sračuna se geometrijska matrica sistemaK*g 3. Reši se problem svojstvenih vrednosti: tj. 3. Stabilnost konstrukcija

27. Najmanja svojstvena vrednostλ1definiše svojstveni vektorq1koji predstavlja I ton izvijanja. Ostale svojstvene vrednosti i odgovarajući svojstveni vektori definišu preostale tonove izvijanja. 3. Stabilnost konstrukcija

28. P 6.7.3 Primer 1 • Odrediti kritičnu silu konzolnog nosačapomoću približnog i tačnog rešenja linearizovane teorije II reda (1. Euler-ov slučaj) EI L 3. Stabilnost konstrukcija

29. 1 S Y = y q1 q3 X = x q4 q2 x L Moguća pomeranja: q1 , q2, q3, q4 Nepoznata pomeranja: q3, q4 3. Stabilnost konstrukcija

30. Približno rešenje - matrica krutosti štapa 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3. Stabilnost konstrukcija

31. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 • Približno rešenje: det (K0+Kg)nn = 0 / x (l3/EI) 3. Stabilnost konstrukcija

32. Tačnorešenje 3. Stabilnost konstrukcija

33. 6.7.4 Primer 2 • Odrediti kritičnu silu obostrano uklještene grede (4. Euler-ov slučaj) EI P L 3. Stabilnost konstrukcija

34. q5 P q3 q1 q4 q6 q2 2 1 • Dva konačna elementa Y=y 1 2 X=x 3 l l l= L/2 3. Stabilnost konstrukcija

35. Matrice krutosti prvog elementa: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3. Stabilnost konstrukcija

36. Matrica krutosti drugog elementa je ista kao za prvi element • Globalna matrica krutosti sistema se dobija sabiranjem matrica krutosti pojedinih elemenata • Broj mogućih pomeranja je 6 : q1=v1, q2=1, q3= v2, q4= 2,q5=v3, q6= 3 3. Stabilnost konstrukcija

37. q5 P q3 q1 q4 q6 q2 2 1 • Granični uslovi (krajevi štapa): 3. Stabilnost konstrukcija

38. q5 P q3 q1 q4 q6 q2 2 1 q3 • Prelazni uslovi (sredina štapa) – za simetričnu deformaciju : 3. Stabilnost konstrukcija

39. Globalna matrica krutosti – K0: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3. Stabilnost konstrukcija

40. Globalna matrica krutosti – Kg: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3. Stabilnost konstrukcija

41. Iz jednačine stabilnosti: 3. Stabilnost konstrukcija

42. Kako je to se dobija: • Tačno rešenje je • Greška iznosi: 1.32% 3. Stabilnost konstrukcija