System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi – c.d.

1. System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi – c.d. Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

2. Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie

3. Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem: gdzie Przejdziemy do wyznaczenia rozwiązania szczególnego – składowej wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci:

4. Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodne z drugiej strony, podstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując

5. podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązania Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa wymuszona Składowa swobodna

6. Weźmy równanie wyjścia: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

7. Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego

8. Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

9. Policzmy potęgi A:

10. Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

11. Policzmy potęgi A:

12. Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

13. Wynik ten można uogólnić na dowolne n

14. II sposób pokażemy znajdując najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

15. Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

16. Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

17. Otrzymujemy:

18. Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

19. Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

20. Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

21. Stąd: Stąd bezpośrednio:

22. Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

23. Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

24. Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

25. Związki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

26. Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa:

27. System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

28. W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa wymuszona Składowa swobodna

29. Odpowiedź wyjścia: Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

30. Transformata Z Odpowiednikiem transformacji s Laplace’a dla systemów ciągłych jest transformacja z dla systemów dyskretnych Interesują nas podobnie: sygnały o wartości zero dla ujemnych chwil czasowych i jednostronna transformacja z Dwa alternatywne sposoby zdefiniowania: Definicja 1: Mając daną sekwencję sygnałów jej transformację z definiujemy jako Zmienną z-1 możemy traktować w podanej definicji jako operator opóźnienia w czasie – wskaźnik pozycji sygnału w sekwencji

31. Pożytki: Zastąpienie nieskończonego ciągu jego sumą (szereg) mogącą mieć użyteczną postać do analizy Pytania: - istnienie sumy – zbieżność szeregu - możliwość odtworzenia z wynikowego wyrażenia zmiennej z elementów sekwencji w dziedzinie czasu

32. Definicja druga związana jest z sekwencją uzyskaną z próbkowania z okresem Ts sygnału ciągłego i transformacją Laplace’a Ilustracja związków dziedzina ciągła – dziedzina dyskretna poprzez idealny impulsator gdzie

33. Definicja 2: Mając daną sekwencję sygnałów z próbkowania ciągłej funkcji f(t) z okresem T s w postaci Transformacja Laplace’a tej sekwencji dana jest Definiując zmienną z Otrzymujemy

34. Doszliśmy do określenia transformacji z lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

35. Przykład 5 Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego z określonym okresem próbkowania Mamy szereg jest zbieżny i transformata z istnieje Jeżeli Szereg geometryczny zbieżny

36. Przykład 6 Rozważmy funkcję Przy próbkowaniu z okresem Transformata z szereg jest zbieżny i transformata istnieje Jeżeli

37. Transformaty z wybranych sekwencji sygnałów Transformata Z Sekwencja

38. Wybrane właściwości - transformaty z funkcji przesuniętych w czasie gdzie k jest dodatnie oraz - przesunięcie wstecz - przesunięcie wprzód - twierdzenie o wartości początkowej - twierdzenie o wartości końcowej

39. Korzystając z definicji i podanych własności możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

40. Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

41. Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

42. Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Dla znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki

43.  Dzielenie wielomianów Z definicji transformacji Z Jeżeli w jakiś sposób potrafimy przedstawić funkcję F(z) w postaci to jest oczywiste, że Jeżeli F(z) jest funkcją wymierną – ułamkiem wielomianów, to wartości ci mogą być znalezione drogą dzielenia wielomianów

44. Przykład 7 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

45. - dzielimy licznik przez mianownik

46. - obliczamy wartość początkową Otrzymaliśmy

47.  rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat z

48. Przykład 8 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

49. stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

50.  bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd