1 / 31

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky. Přednáška 02 Množiny, relace jiri.cihlar@ujep.cz. Matematika I. KIG / 1MAT1. O čem budeme hovořit:. Rovnost a inkluse množin Operace s množinami Vlastnosti množin Vázané kvantifikátory Kartézský součin množin

Download Presentation

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 02 Množiny, relace jiri.cihlar@ujep.cz Matematika I. KIG / 1MAT1

  2. O čem budeme hovořit: Rovnost a inkluse množin Operace s množinami Vlastnosti množin Vázané kvantifikátory Kartézský součin množin Binární relace v množinách

  3. Rovnost a inkluse množin

  4. Co to jsou množiny? Intuitivně se pojem množiny zavádí tak, že je to: soubor určitých objektů, u kterého je možné rozhodnout, zda libovolně zvolený objekt do souboru patří či nepatří. Příklady: • Množinu můžeme určit výčtem jejích prvků: například { 1; a;#}. • Množinu můžeme určit charakteristickou vlastností jejích prvků: například { x; x > 100 }.

  5. Kdy se dvě množiny sobě rovnají?Kdy jsou ve vztahu inkluse? Aby byly množiny A , B sobě rovny, musí se skládat z týž prvků, tedy definujeme: A = B  (x) x A  x  B Aby byla množina A „částí“ množiny B, musí být každý prvek množiny A také prvkem množiny B, proto definujeme: A  B  (x) x A  x  B

  6. Věta o rovnosti množin Inklusi si představíme snadno: fakt, že množina A je „částí“ množiny B, přesněji množina A je podmnožinou množiny B, znázorníme takto: Zřejmě platí tato věta: A  B  B  A  A = B Jak jí dokážeme?

  7. Operace s množinami

  8. Průnik množin Průnik množin A, Bbude budeme označovat A  B . Je to množina takových prvků, které náleží oběma těmto množinám. Definicex  A  B  x A  x B A  B = { x ; x A  x B }

  9. Sjednocení množin Sjednocení množin A, Bbude budeme označovat A  B . Je to množina takových prvků, které náleží alespoň jedné z těchto množin. Definicex  A  B  x A  x B A  B = { x ; x A  x B }

  10. Rozdíl množin Rozdíl množin A, Bbude budeme označovat A  B . Je to množina takových prvků, které náleží první množině, ale zároveň nenáleží druhé množině. Definicex  A  B  x A  x B A  B = { x ; x A  x B }

  11. Univerzální třída a prázdná množina Třída, která obsahuje všechny myslitelné objekty se označuje V anazývá seuniverzální třída . Množina, která neobsahuje žádný prvek, se označuje anazývá seprázdná množina . Definice x  V  x = xx    x  x V = { x ; x = x } = { x ; x  x }

  12. Doplněk množiny Rozdíl V  A budeme nazývat doplňkem množiny A a označovat A . Doplněk množiny obsahuje všechny prvky, které do původní množiny nepatří. Definicex  A  x A A = { x ; x A }

  13. Vlastnosti množin

  14. Jak dokazovat věty o vlastnostech množin? Dokažme například větu: A  ( B  C )  ( A  B )  ( A  C ) Máme dvě možnosti. 1) Problém můžeme převést podle definic na tautologii: (x) x A  ( B  C )  x ( A  B )  ( A  C ) atd. 2) Užijeme tzv. Vennovy diagramy:

  15. Důležité věty o vlastnostech množin A  B = B  A ( A  B )  C = A  ( B  C ) A  B = B  A ( A  B )  C = A  ( B  C ) ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) A = A  A = A  A = A  V = A   = A    ( A  B ) = (  A )  (  B )  ( A B ) = (  A ) (  B ) A  B  A A  A  B A  B  B B  A  B A  B  A B = A A  B  A  B = B

  16. Vázané kvantifikátory

  17. Vázané kvantifikátory V matematice často používáme nejenom formule (x)  (x)nebo (x)  (x)ale také formule tvaru (xA)  (x)nebo (xA)  (x). Jejich význam je tento: (xA)  (x)  (x) xA  (x) (xA)  (x)  (x) xA  (x) Rozmyslete si, jak se negují vázané kvantifikátory! Zjistěte, zda jsou vázané kvantifikátory vůči některým logickým spojením „distributivní“!

  18. Kartézský součin množin

  19. Uspořádané dvojice V matematice často pracujeme s pojmem uspořádaná dvojice. (Setkali jste se s ním například u souřadnic bodů v rovině.) Jsou-li dány objekty, například a, b, c, d, e , můžeme z nich vytvářet uspořádané dvojice, například: a;b] , a;c] , b;d] , d;b] , c;b] , e;e] , atd. V uspořádaných dvojicích je podstatné, který objekt je prvním členem dvojice, a který objekt je druhým členem dvojice.

  20. Kartézský součin tříd (množin) Definice: Pro každé dvě třídy (množiny) A, B definujeme jejich kartézský součin A B takto: A B = {a;b ; aA  bB } Příklad: Pro množiny K = {a;b;c}, L = {1;2}jsou kartézské součiny tohoto tvaru: K  L = {a;1;a;2; b;1; b;2; c;1; c;2} L  K = {1;a;1;b; 1;c; 2;a; 2;b; 2;c}

  21. Představa kartézského součinu Z množin K = {a;b;c}, L = {1;2} je vytvořen kartézský součin: K  L = {a;1;a;2; b;1; b;2; c;1; c;2}

  22. Důležité věty o kartézském součinu A B  B  A K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B) K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B) K  ( A  B ) = (K  A)  (K  B) K   =   K =  A  B  K  A K  B

  23. Binární relace v množinách

  24. Binární relace v množinách A, B Definice: Množinu R nazýváme binární relací v množinách A, B právě tehdy, když R  A  B . Binární relace znázorňujeme spojnicovými nebo kartézskými grafy.

  25. Úmluvy o zápisech Jestliže platí x R y , zapisujeme to x  y  R . Příklady: Protože platí 2 < 3 , zapisujeme to 2  3  < . Protože platí 5  5 , zapisujeme to 5  5   . Protože platí 3  9 , zapisujeme to 3  9   . Protože neplatí 8 < 3 , zapisujeme to 8  3  < . Protože neplatí 4  7 , zapisujeme to 4  7   .

  26. První a druhý obor relace R Definice: Nechť je dána relace R  A  B . Prvním oborem relace R nazýváme množinu ⃞R = xA  (yB) x R y , druhým oborem relace R nazýváme množinu R ⃞ = yB  (xA) x R y . Jak určíme oba obory z grafů relace R ?

  27. Inverzní relace R-1 k relaci R Definice: x R-1 y platí právě tehdy, když y R x . Tedy x  y  R-1právě tehdy, když y  x  R . Z toho plyne, že je-li R  A  B , pak R-1 B  A . Příklady: Binární relace > je inverzní k binární relaci < . Binární relace „být dělitelem“ je inverzní k binární relaci „být násobkem“ . Jak vypadají grafy inverzní relace?

  28. Doplňková relace –Rk relaci R Definice: x (–R) y platí právě tehdy, když neplatí x R y . Tedy x  y  (–R) právě tehdy, když x  y  R . Příklad: Binární relace  je doplňková k binární relaci > . Jak vypadají grafy doplňkové relace?

  29. Relace složená z dvou relací R a S Definice: Nechť jsou dány relace R a S. x R⃝S y platí právě tehdy, když (z) x R z  z S y. Příklad: Binární relace „být babičkou z otcovy strany“ je složená relace z binárních relací „být matkou“ a „být otcem“. Jak zkonstruovat grafy složené relace?

  30. Co je třeba znát a umět? • Vztahy rovnosti a inkluse množin, • definice a vlastnosti množinových pojmů (průnik, sjednocení, rozdíl, doplněk), • důkazy vlastností pomocí logických tautologií či Vennových diagramů, • vázané kvantifikátory, • kartézský součin množin a jeho vlastnosti, • pojem binární relace v množinách, • spojnicový a kartézský graf relace, • obory relace, • inverzní, doplňkové a složené relace.

  31. Děkuji za pozornost

More Related