Pelabelan Total (a,d) Sisi Anti-ajaib

1. Pelabelan Total (a,d) Sisi Anti-ajaib Pembimbing: Rinovia Simanjuntak, Ph. D Anna Shari / 10101022

2. Latar Belakang • Pelabelan adalah pemetaan dari elemen-elemen graf ke bilangan bulat positif dan banyak jenisnya. • Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib masih merupakan suatu open problem untuk beberapa kelas graf, yaitu siklus dengan d=3,4,5 untuk n genapdan lintasan dengan d=4 untuk n genap dan d=5,6 untuk n sembarang.

3. Deskripsi masalah Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib pada siklus dengan d=3,4,5 untuk n genapdan lintasan dengan d=4 untuk n genap dan d=5,6 untuk n sembarang.

4. Suatu pelabelanf merupakan pemetaan dari elemen-elemen graf ke bilangan bulat positif. Pelabelan-pelabelan yang sering digunakan adalah pelabelan semua verteks dan sisi (pelabelan total), pelabelan verteks dan pelabelan sisi.

5. Pemetaan untuk tiap pelabelan

6. Jumlah dari hasil pelabelan biasanya disebut sebagai bobot dari elemen graf.Sebagai contoh, bobot verteks v adalahe yang terhubung dengan verteks vdan bobot sisi e = uv adalah

7. Graf yang memiliki bobot verteks atau bobot sisi yang sama disebut graf dengan pelabelan ajaib. Graf yang memiliki bobot verteks atau bobot sisi yang berbeda disebut graf dengan pelabelan anti-ajaib.

8. Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib adalah pelabelan pada verteks dan sisi graf dengan bobot sisi membentuk deret aritmatika {a, a+d , a+2d ,…, a+(|E|-1)d} dengan |E| jumlah sisi pada graf. Sebuah graf G disebut mempunyai pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib jika terdapat bijeksi {1,2,…,|E|+|V|} sehingga bobot-bobot sisinya memenuhi deret {a, a+d , a+2d ,…, a+(|E|-1)d}

9. Hasil pelabelan total untuk Pn Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n ganjil Pola pelabelan:

10. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+5,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

11. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

12. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+5,4) sisi anti-ajaib

13. Hasil pelabelan total untuk Pn Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n genap Pola pelabelan:

14. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3 dan n genap, mempunyai pelabelan total (n+4,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

15. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

16. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+4,4) sisi anti-ajaib

17. Hasil pelabelan total untuk Pn Pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

18. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

19. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

20. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib

21. Open Problem Untuk d=5, dengan n ≤ 6 pada mempunyai pelabelan total (a,5) sisi anti-ajaib tetapi masih belum ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=5

23. Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,1) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

24. Pelabelan total (a,1) sisi anti-ajaib pada Cn

25. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,1) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

26. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

27. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,1) sisi anti-ajaib

28. Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,2) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

29. Pelabelan total (a,2) sisi anti-ajaib pada Cn

30. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,2) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

31. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

32. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,2) sisi anti-ajaib

33. Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,3) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

34. Pelabelan total (a,3) sisi anti-ajaib pada

35. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (n+4,3) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

36. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

37. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+4,3) sisi anti-ajaib

38. Hasil pelabelan total untuk Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n ganjil Pola pelabelan:

39. Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada Cn dengan n ganjil

40. Pembuktian TeoremaUntuk setiap n ≥ 3 dengan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+3,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

41. Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

42. Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+3,4) sisi anti-ajaib

43. Hasil pelabelan total untuk tidakmemiliki pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib

44. Pembuktian • Bobot sisi maksimum pada adalah 2n+2n-1+2n-2 = 6n-3 • Bobot sisi minimum pada adalah 1+2+3 = 6 • Ambil a=6, a minimum untuk membentuk deret aritmatika pada . Maka bobot sisi akan mengikuti deret aritmatika 6,12,…,6n • Bobot maksimum = 6n-3 < 6n • tidak mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib • Karena a = 6 minimum maka untuk a > 6 juga tidak punya pelabelan total sisi anti-ajaib. • Maka tidak mempunyai pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib

45. Open Problem Untuk d=4 dengan n genap dan n ≤ 6, siklus mempunyai pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib tetapi masih belum ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=4 dan n genap

47. Open Problem Untuk d=5 dengan n = 4,…,6 , siklus mempunyai pelabelan total (a,5) sisi anti-ajaib tetapi masih belum dapat ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=5

50. TERIMA KASIH