SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

1. SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

2. Ripassiamo i prodotti notevoli

3. Come fare a scomporre polinomi in fattori?

4. PRIMA DI TUTTO… • Vediamo se c’è da raccogliere un fattor comune fra tutti i monomi, cioè eseguiamo il: RACCOGLIMENTO TOTALE o M.C.D.

5. In seguito: • Contiamo quanti monomi costituiscono il polinomio (ed eventualmente cerchiamo di riconoscervi qualche prodotto notevole) • Binomio • Trinomio • Polinomio con 4 termini • Polinomio con più di 4 termini RIASSUMENDO

6. BINOMIO Raccoglimento totale o M.C.D. Differenza di due quadrati a2 – b2 = ( a – b )( a + b ) Somma di due quadrati a2 + b2NON SI PUO’ SCOMPORRE IN R Somma di due cubi a3 + b3 = ( a + b )( a2 -ab + b2 ) Differenza di due cubi a3 – b3 = ( a – b )( a2 +ab + b2 ) Raccoglimento totale Quadrato di un binomio a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2 Trinomio notevole x2 - sx + p = (x - a )(x - b ) dove s = a + b e p = ab Ruffini Raccoglimento totale Cubo di un binomio a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3= ( a + b )3 Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a2 -2ab + b2 – x2=(a - b)2 - x2= [(a –b) + x] [(a –b) – x] = [a – b + x] [a – b – x] Ruffini Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Quadrato di un trinomio a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc = ( a + b + c )2 Ruffini

7. M.C.D. Il M.C.D. è costituito SOLO dai fattori COMUNI, contati una sola volta, con il minor esponente. Pertanto bisogna scomporre in fattori i monomi che compongono il polinomio e poi è possibile determinare il M.C.D. Esempio: 3a2b - 5a3b4 + 4a4b6 = a2b( 3 - 5ab3 + 4a2b5 )

8. BINOMIO ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati a2 + b2 è irriducibile in R! • DIFFERENZA DI DUE QUADRATI a2 – b2 = (a – b)(a + b) • DIFFERENZA DI CUBI a3 - b3 = (a – b)(a2 +ab + b2) • SOMMA DI CUBI a3 + b3 = (a + b)(a2 –ab+ b2)

9. TRINOMIO • QUADRATO DI UN BINOMIO E’ un trinomio formato da due quadrati e da un doppio prodotto. Esempio: 16a4+ b2- 8a2b = (4a2 - b)2 • TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado) Deve essere sempre del tipo : x2 + sx + p con s = a + b e p = ab. Esempio: x2 - 9x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 )

10. Polinomio con 4 termini • CUBO DI BINOMIO Ci sonodue cubi e due tripli prodottidi ciascuna delle due basiper il quadrato dell’altra a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3 = ( a + b )3 • RACCOGLIMENTO PARZIALE a2 - 2ab+ b2– x2 = (a - b)2 - x2 = [(a –b) + x ] [ (a –b) – x] = [a –b + x] [a –b – x]

11. RACCOGLIMENTOPARZIALE 10a3b + 2xb - 5a3 – x = 5a3 ( 2b – 1 ) + x ( 2b - 1) = ( 2b – 1 )( 5a3 + x )

12. POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO Polinomio costituito da tre quadrati e tre doppi prodotti Esempio: a2+ b2+ c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc = ( a + b + c )2 x2+ 9y2+ 4z2- 6xy+ 4xz- 12yz = ( x - 3y + 2z )2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI

13. REGOLA DI RUFFINI x5–10 x – 12 = • 1 0 0 0 -10-12 • 2 4 8 16 12 1 2486 0 = ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )

14. Grazie per l’attenzione!