Ricardo Pérez Martínez 5 Mayo, 2005

1. SIMETRÍAS DISCRETAS CPT P PARIDAD C CONJUGACIÓN DE CARGA T INVERSIÓN DEL TIEMPO TEORÍA CUÁNTICA DE CAMPOS Ricardo Pérez Martínez 5 Mayo, 2005

2. 1 CONTENIDO • 1 Grupo de Lorentz y simetrías discretas • Transformaciones del espinor y campos bajo • P,T y C • 2.1 Espinores • 2.2 Campo escalar • 2.3 Campo de Dirac • 2.4 Campo de espín 1 • 3 Teorema CPT • 3.1 Transformación de los • covariantes bilineales • 4 Conclusiones y comentarios finales Ricardo Pérez M. Mayo 2005

3. Si Paridad: P Inversión del tiempo: T y/o No pueden ser obtenidas continuamente a partir del elemento identidad. 2 SIMETRÍAS DISCRETAS EN EL GRUPO DE LORENTZ El grupo propio de Lorentz (SO(3,1)) incorpora, además de las transformaciones continuas, dos tipos de simetrías discretas en el espacio-tiempo. rotaciones boost grupo NO compacto irrep No unitarias Ricardo Pérez M. Mayo 2005

4. Conjugación de carga Otra simetría (no espacio-temporal) es la conjugación de carga (C). Bajo esta operación, partículas y antipartículas son intercambiadas. 3 Estructura del grupo de Lorentz según el signo de P T T y P Ricardo Pérez M. Mayo 2005

5. Inversión es un grupo discreto 4 UN EJEMPLO INVERSIÓN DEL ESPACIO Ricardo Pérez M. Mayo 2005

6. CTP. Cualquier teoría ‘razonable’ tiene que ser invariante bajo la combinación de las tres transformaciones. De los experimentos se sabe que las interacciones gravitacional, electromagnética y fuerte, son simétricas respecto a C,P y T. Las interacciones débiles violan P* y C separadamente, pero preservan CP y T. * T.D Lee y C.N. Yang, (1956) Propiedades de transformación de campos bajo C,P,T y TCP. 5 ¿ Cual es la situación de estas operaciones de simetría en el mundo real ? Ricardo Pérez M. Mayo 2005

7. 7 Transformación del espinor bajo P,T y C. Comenzamos por tratar las propiedades de transformación (Prop. Transf.) del espinor bajo bajo paridad (P), inversión del tiempo (T) y conjugación de carga (C). Después veremos las Prop. Transf. de los campos de espín 0,1/2 y 1. La parte expuesta para los espinores corresponde a una introducción para un mejor entendimiento cuando tratemos las Prop. Transf. del campo de Dirac. Ricardo Pérez M. Mayo 2005

8. , A Tenemos La ecuación de Dirac es covariante, ya que A es un caso especial de la transformación general de Lorentz. Designemos P para la paridad. Para S=P la relación se cumple ya que su deducción no depende de Tenemos 8 Paridad Ricardo Pérez M. Mayo 2005

9. Teoría de hoyos nos lleva a una simetría fundamental: partícula --- antipartícula. Un hoyo en el mar de energía negativa registrando la ausencia de un electrón de carga –|e| y energia – E, es equivalente a la presencia de un positrón de carga +|e| y energía + E. Entonces tenemos una correspondencia 1-1 entre las soluciones de energía negativa de la ecuación de Dirac y las eigenfunciones del positrón (carga +|e|), que son solución de energía positiva de la ecuación de Dirac. 9 Conjugación de carga Ricardo Pérez M. Mayo 2005

10. Ec. de Dirac para el electrón con energía negativa. Ec. de Dirac para el positrón con energia positiva. Buscamos un operador que conecte la solución con , buscamos tal que 10 Conjugación de carga Ricardo Pérez M. Mayo 2005

11. Determinación de U recordemos y pero , , , sabemos usando 11 Conjugación de carga Ricardo Pérez M. Mayo 2005

12. Por lo tanto, el estado conjugado de carga esta dado por y Son estados conjugados uno del otro Por otra parte, recordando Si describe el movimiento de una partícula de Dirac con masa m y carga en un potencial , entonces representa el movimiento de una partícula de Dirac con la misma masa m y carga opuesta en el mismo potencial. 12 Conjugación de carga Ricardo Pérez M. Mayo 2005

13. Tendremos invarianza ante reversión del tiempo en la teoría de Dirac si la función de onda transformada Satisface también la ecuación de Dirac. * Construcción de la transformación. Inversión del tiempo causa y junto con A 13 Reversión del tiempo Ricardo Pérez M. Mayo 2005

14. Para la ec. de Dirac debe cumplirse al igual que para entonces B Comparando A y B a) b) a)alteraría el espectro de H. (no aceptado) b)aceptada. Se debe cumplir lo siguiente, 14 Reversión del tiempo Ricardo Pérez M. Mayo 2005

15. Con se sigue que Sólo si se cumple que , k operador de conjugación compleja Ya que Ahora determinaremos al operador 15 Reversión del tiempo Ricardo Pérez M. Mayo 2005

16. De lo anterior, tenemos , ya que es puramente imaginaria, y las otras son reales Recordando , 16 Reversión del tiempo Ricardo Pérez M. Mayo 2005

17. el operador de reversión del tiempo puede ser escrito como , Con 17 Reversión del tiempo Ricardo Pérez M. Mayo 2005

18. CAMPO ESCALAR (S=0) P PARIDAD ( INVERSIÓN ESPACIAL ) En la teoría cuantizada Para preservar la normalización. Transformación del operador de campo Para un campo cargado puede ser escogido arbitrariamente Paridad intrínsica Para un campo neutral 18 PARIDAD Campo escalar Ricardo Pérez M. Mayo 2005

19. La inversión del espacio de coordenadas resulta en la reversión del momento (3dim). Paridad de un estado, cantidad conservada 19 PARIDAD Campo escalar Obtenemos la transformación de los operadores de creación y de aniquilación.

20. Los operadores de partícula y antipartícula son Intercambiados. Además 20 SIMETRÍAS DISCRETAS Campo escalar CONJUGACIÓN DE CARGA Esta transformación reemplaza una partícula por la correspondiente antipartícula. C unitario. Ricardo Pérez M. Mayo 2005

21. Consistencia entre matemática y física. Necesitamos un operador antiunitario V 21 SIMETRÍAS DISCRETAS Campo escalar INVERSIÓN DEL TIEMPO config. inicial config. final Ricardo Pérez M. Mayo 2005

22. La acción de los operadores P y T en el espacio de Hilbert es el mismo, sin embargo T es asociado con una conjugación compleja adicional. 22 INVERSIÓN DEL TIEMPO campo escalar Ley de transformación para los operadores de creación y de aniquilación. Ricardo Pérez M. Mayo 2005

23. P P cambia una partícula con p y s en la misma partícula con –p y s. Partículas y antipartículas tienen paridad opuesta. 23 CAMPO DE DIRAC Inversión espacial P h = 1, h = -1 Ricardo Pérez M. Mayo 2005

24. Los operadores de partícula y antipartícula son intercambiados. 24 CAMPO DE DIRAC Conjugación de carga Ricardo Pérez M. Mayo 2005

25. Inversión del tiempo hace el cambio en el vector de momento y en la dirección de espín. 25 CAMPO DE DIRAC Inversión del tiempo T Ricardo Pérez M. Mayo 2005

26. Notamos que es invariante ante la aplicación sucesiva de T,P y C. 26 Campo electromagnético Ricardo Pérez M. Mayo 2005

27. Constituye una de las predicciones mas fundamentales de la teoría cuántica de campos. Descubierto por Schwinger y G. Luders, (1954). 27 EL TEOREMA CPT Para cualquier teoría cuántica de campo local que pueda ser descrita por una densidad lagrangiana invariante de Lorentz, hermiteana y cuyos operadores de campo satisfacen el teorema espín-estadística, la siguiente relación se cumple • La acción integral, las ecuaciones de campo y las relaciones de conmutación son invariantes ante PTC TCP es un invariante de la naturaleza. • Consecuencia. Las masas y tiempos de vida • de partículas y sus antipartículas son exactamente • iguales Ricardo Pérez M. Mayo 2005

28. Campo escalar Campo espín 1/2 Campo electromagnético 28 Transformación de los campos bajo PTC Ricardo Pérez M. Mayo 2005

29. escalar pseudoescalar vector vector axial tensor 29 Propiedades de transformación de los covariantes bilineales bajo C, P, T y PTC.

30. 30 REFERENCIAS Bjorken J.D. y S.D. Drell. Relativistic quantum fields. New York: McGraw-Hill, 1964. Peskin M. y Schroeder. An introduction to quantum field theory. Perseus Books Group,1995. Greiner W. Field quantization. Springer-Verlag, Berlin,1986. Lee T.D. y C.N. Yang, Phys Rev, 104, 254 (1956). Mori T. y C.S Lim, The physics of the standard model and beyond. World Scientific Publishing, 2004. Ricardo Pérez M. Mayo 2005

31. Simetrías discretas pueden emplearse para relacionar el comportamiento de diferentes sistemas físicos, por ejemplo, aquellos que difieren por un intercambio de partículas y antipartículas. • Todas las teorías de campo no interactuantes son invariantes bajo P,T y C pero puede cambiar si interacciones presentes rompen la simetría. • Cualquier teoría de campo relativista debe ser invariante bajo el grupo propio de Lorentz, pero no necesita serlo bajo P,C y T. Sin embargo la operación conjunta TPC (en cualquier orden) es un invariante de la naturaleza. • Esquemas de gravedad cuántica han sugerido un ligero • rompimiento en la simetría de Lorentz o de CTP. • Diversas observaciones astrofísicas y experimentos • de alta precisión están siendo investigados actualmente. 31 CONCLUSIONES Y COMENTARIOS FINALES GRACIAS. Ricardo Pérez M. Mayo 2005