Seminário – LCS/LPS

1. Seminário – LCS/LPS Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações e Processamento Digital de Sinais Marcio Eisencraft

2. Sumário da apresentação • Introdução - Sinais caóticos • Modulação usando portadoras caóticas • Estimação de sinais caóticos • Espectro de sinais caóticos • Pesquisa e trabalhos atuais

3. 1. Sinais Caóticos • Sinais caóticos: • Limitados • Determinísticos • Aperiódicos • Dependência sensível com as condições iniciais • Características levam a aplicações de sinais caóticos em diversas áreas tecnológicas • Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação, codificação, criptografia entre outras

4. 1.1 Caos - Histórico • Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. • 1890 - Poincaré - Soluções muito complicadas • Década de 1960 - Assunto retomado: • Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas. • Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais • Década de 1970 - Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas • Década de 1980 - Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas • 1984 -Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua); • 1990 - Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos – Pecora e Carroll • Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se: • Cuomo e Oppenheim (MIT); Chua (Berkeley); Hassler (Swiss Federal Institute of Technology); Grebogi (IFUSP), .Rovatti, Setti (Ferrara), entre muitos outros

5. 1.2 Equações de diferenças • Modelo populacional exponencial • Exemplo: a = 2

6. Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente

7. 1.2 Equações de diferenças • Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais • a = 2,8

8. Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição inicial

9. 1.2 Equações de diferenças • a = 3,3

10. Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores

11. 1.2 Equações de diferenças • a = 3,5

12. Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores

13. 1.2 Equações de diferenças • a = 4

14. Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas; sensibilidade às condições iniciais • CAOS

15. Caos em Sistemas Discretos • Mapa Logístico

16. 1.3 Equações diferenciais

17. 1.4 Propriedades interessantes • Propriedades interessantes dos sinais caóticos para Telecomunicações: • Ocupam largas faixas de freqüências; • Função de autocovariância impulsiva; • Função de covariância cruzada com outras órbitas com valores muito baixos. • Propriedades desejadas para modulações spread spectrum.

18. Sumário da apresentação • Introdução - Sinais caóticos • Modulação usando portadoras caóticas • Estimação de sinais caóticos • Espectro de sinais caóticos • Pesquisa e trabalhos atuais

19. 2.1 Sistema de Wu e Chua • Sincronismo de sistemas caóticos • Mensagem inserida na geração do sinal

20. Exemplos - Sistema de Wu e Chua

21. 2.2 Influência da Limitação em Banda m(t) = sen(2500t) - fa = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB

22. 2.2 Influência da Limitação em Banda fcs = 0,7 fcs = 0,7 fci = 0,02 fci = 0,02 fci = 0,02

23. 2.3 Resolvendo o problema da limitação em banda • Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido. • EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000.

24. 2.4 Resultados Obtidos fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63 fcs = 0,7, fss = 0,9fcs = 0,63 fci =0,02, fli =0,05

25. 2.5 Diminuindo os efeitos do ruído • Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal • Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes • Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor

26. 2.6 Modulações digitais • Símbolo transmitido como os coeficientes de uma combinação linear de sinais caóticos • Receptor coerente • Transmissor – Nb=1 • Receptor não-coerente

27. 2.7 DCSK – Differential Chaos Shift Keying • CSK com Nb=2 em que as seqüências de base consistem em segmentos de sinais caóticos repetidos • Modulador DCSK • Demodulador diferencial

28. | 1 |  Magnitude-ângulo para complexo 2.8 FM-DCSK – Frequency Modulated DCSK • Modificação do DCSK – energia por símbolo constante • Antes da modulação insere-se o sinal caótico num modulador FM • Energia do sinal FM independe do sinal modulante Modulador em freqüência

29. 2.9 Simulações EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-6.

30. 2.10 Comparações entre os sistemas

31. Sumário da apresentação • Introdução - Sinais caóticos • Modulação usando portadoras caóticas • Estimação de sinais caóticos • Espectro de sinais caóticos • Pesquisa e trabalhos atuais

32. 3.1 CRLB - Formulação do problema • Sistema dinâmico • Seqüência observada sendo r (n)AWGN com média nula • Determinar o menor mse que um estimador sem viés de s0pode assumir dado s’ (n)e f (.)(CRLB).

33. Teorema 1 • uma órbita do sistema dinâmico Sejam • r(n) um processo ruído branco gaussiano de média nula e variância σr2 • o mapa f(.) derivável em todos os pontos dessa órbita • Então,

34. Teorema 2 • Nas mesmas condições do Teorema 1, o limite do CRLB quando N→ ∞ é • L≡L(s0) ≠ 1 é o número de Lyapunov do atrator para o qual a órbita s(n,s0) converge • Resultado válido para órbitas caóticas ou não. EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits. Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p. 132-139, 2008.

35. 3.2 O MLE • MLE: Valor de θque maximiza p(x; θ) • Simples para mapas com densidade invariante uniforme (Papadopoulos; Wornell, 1993) • Assintoticamente sem viés e eficiente. • Usando o Teorema 2, mostra-se que para o mapa fT(.)

36. MLE – Estimação da condição inicial – fI(.)

37. 3.3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi • Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de NSestados possíveis • Domínio Usegmentado em NSintervalos: U1, ..., UNs • Estado q(n) = j se • Dedieu e Kisel (1999)  partição uniforme • Mapas com densidade uniforme • Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição não-uniforme

38. Exemplos de matrizes de transição de estados

39. Simulações - mapa quadrático fQ(.) EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. . Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, 2006. p. 67-68.

40. 3.4. MLE x Viterbi

41. Decodificador de Viterbi Circuito de decisão Cálculo de verossimilhança Decodificador de Viterbi Cálculo de verossimilhança 3.5 O ML-CSK modificado com dois mapas • (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001) • Transmissor igual ao do CSK com 2 mapas • Receptor

42. Como escolher mapas? (1/2) • Caso mapa tenda: proposta adaptada de (Kisel; Dedieu; Schimming, 2001)

43. Como escolher o mapa? (2/2) • Procedimento não necessariamente ótimo e deve ser aplicado com cautela Ponto fixo superatrator!

44. Decodificador de Viterbi Circuito de decisão Cálculo de verossimilhança Decodificador de Viterbi Cálculo de verossimilhança -1 3.6 ML-CSK com um mapa • Transmissor igual ao do CSK bipolar com uma função de base: • Receptor:

45. 3.7 Simulações computacionais

46. 3.8 Trabalhos futuros (1/2) • Análise dos sistemas propostos para o caso M-ário • Análise da complexidade computacional • Generalização dos Teoremas 1 e 2 para o caso multidimensional • Uso de modelos de canais mais complicados • Análise estatística da energia de trechos de sinais caóticos • Otimização da escolha dos mapas e transformações utilizados no ML-CSK

47. 3.8 Trabalhos futuros (2/2) • Proposta de sistema de modulação com recepção diferencial e estimação com desempenho melhor do que o FM-DCSK. • Multiplexação – sistemas multiusuários

48. Sumário da apresentação • Introdução - Sinais caóticos • Modulação usando portadoras caóticas • Estimação de sinais caóticos • Espectro de sinais caóticos • Pesquisa e trabalhos atuais

49. 4.1 Aplicações - Caracterização Convencional • Larga faixa de freqüências • Seqüência de autocorrelação impulsiva • Seqüência de correlação cruzada com valores baixos • Apesar de essenciais, poucos resultados analíticos Objetivos: • Verificar se caos implica banda larga • Determinar a banda essencial de sinais caóticos • Gerar sinais caóticos com banda pré-definida

50. em que 4.2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA • Parâmetro  determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda