Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • III Liceum Ogólnokształcące w Ostrowie Wielkopolskim • ID grupy: 97/27_mf • Opiekun: Krystyna Chmielewska • Kompetencja: Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: Paradoksy nieskończoności • Semestr/rok szkolny: 2010/2011

3. ParadoksyNIESKOŃCZONOŚCI

4. Definicja paradoksu • Paradoks - rozumowanie pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu prowadzące do wniosków jawnie sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi założeniami. • Twierdzenie zaskakująco sprzeczne z przyjętym powszechnie mniemaniem, często ujęte w formę aforyzmu; też: sytuacja pozornie niemożliwa, w której współistnieją dwa całkowicie różne lub wykluczające się fakty.

5. Paradoks Zenona z Elei • To paradoks, który łączy ukazanie trudności w rozumieniu czasu i przestrzeni jako wielkości ciągłych, które można w związku z tym dzielić w nieskończoność. • Przedmiot, aby przemierzyć jakąś drogę, najpierw musi przebyć połowę tej drogi, ale zanim do niej dotrze, musi przebyć połowę połowy itd. W ten sposób, jako że zawsze można znaleźć połowę odcinka, ruch nie może się w ogóle rozpocząć.

6. Przykład: Achilles i żółw • Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala mu się oddalić o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 3/4+1/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie przegoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej.

7. Jak wyjaśnić paradoks Zenona? • Wświecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność. • Wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe jak w ujęciu Zenona.

8. PARADOKS HILBERTA Paradoks Hilberta – jest to paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia "ilości" elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.

9. OPIS PARADOKSU HILBERTA Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...

10. Nasuwa się tutaj pytanie czy recepcjonista będzie miał problem jeżeli do hotelu przyjedzie nieskończona liczba turystów? • Oczywiście, że nie. W takim przypadku gościa z pokoju 1 umieszcza się w pokoju 2, tego z pokoju 2 przemieszcza się do pokoju 4, ogólnie każdego przesuwa się do pokoju o numerze dwa razy większym. W ten sposób tylko pokoje o numerach parzystych będą zajęte, a w pozostałych pokojach o numerach 1, 3, 5... - będzie można umieścić wszystkich uczestników wycieczki.

11. Paradoks czarnego kruka • Paradoks czarnego kruka to błąd logiczny, potocznie zwany paradoksem pokazujący pewną niekonsekwencję w procesie poznawczym. • Za każdym razem kiedy widzimy, że pewne twierdzenie zachodzi, nasze poczucie, że jest ono prawdziwe, zwiększa się. Czyli np. jeśli twierdzenie to brzmi "wszystkie kruki są czarne", widzimy jakiegoś kruka - i okazuje się on rzeczywiście czarny - nasza wiara w to twierdzenie wzrasta. • Lecz twierdzenie to jest formalnie równoważne twierdzeniu "wszystko co nie jest czarne nie jest krukiem". Czyli jeśli widzimy np. szarego słonia, który jednocześnie nie jest krukiem, nasza wiara w to że wszystkie kruki są czarne również powinna wzrosnąć, co może być uznane za wniosek bardzo nie intuicyjny. • Paradoks czarnego kruka nie jest w rzeczywistości paradoksem, gdyż nie ma tu żadnej sprzeczności, pokazuje on jedynie, że pewne automatyzmy poznawcze nie przestrzegają praw logiki formalnej.

12. Słoń nie jest czarny, więc nie jest krukiem!

13. Paradoks głosowania • Paradoks głosowania (paradoks Condorceta) polega na tym, że preferencje grupy wyborców mogą być cykliczne - czyli że relacja "większość preferuje X nad Y" nie jest przechodnia, nawet jeśli dla każdego wyborcy "wyborca preferuje X nad Y" tak właśnie jest. • Na przykład preferencje wyborców dla 3 kandydatów to, od najbardziej preferowanego: • Wyborca 1 - A B C • Wyborca 2 - B C A • Wyborca 3 - C A B • Jak widać 2/3 wyborców uważa że A jest lepszy niż B, 2/3 uważa że B jest lepszy niż C, i 2/3 uważa że C jest lepszy niż A.

14. Przykład • Załóżmy, że obecnie obowiązującym rozwiązaniem jest wariant A. Zgodnie jednak z hierarchią swoich preferencji, zarówno Wyborca 2, jak i Wyborca 3 preferują rozwiązanie C nad rozwiązaniem A (jest ono w przypadku obu tych wyborców wyżej w hierarchii ich preferencji). Zatem porozumieją się oni, przegłosują Wyborcę 1 i ustanowią nowe rozwiązanie w postaci wariantu C. • W sytuacji, w której obowiązującym rozwiązaniem jest wariant C, dwóch wyborców - pierwszy i drugi preferują wariant B nad obowiązującym wariantem C. Dlatego tym razem Wyborcy 1 i 2 porozumieją się przeciwko Wyborcy 3 i przegłosują wprowadzenie rozwiązania B. • Jak łatwo zauważyć Wyborcy 1 i 3 wolą jednak rozwiązanie A od rozwiązania B, dlatego też w sytuacji gdy obecnie obowiązującym rozwiązaniem jest wariant B, porozumieją się oni i przegłosują wprowadzenie wariantu A, powracając w ten sposób do punktu wyjścia. • Głosowanie będzie więc miało charakter cykliczny i z tego powodu będzie niekonkluzywne. Nie istnieje trwałe rozwiązanie dla takiego układu preferencji, pomimo tego, że każdy z wyborców z osobna ma spójny system preferencji.

15. Paradoks monty halla • Paradoks Monty'egoHalla to jeden z paradoksów opartych na rachunku prawdopodobieństwa. Nazwa paradoksu pochodzi od Monty'egoHalla, autora teleturnieju Let's make a deal(w polskiej wersji Idź na całość).

16. OPIS paradoksu • Zawodnik stoi przed trzema zasłoniętymi bramkami. Za jedną z nich (za którą – wie to tylko prowadzący program) jest nagroda (umieszczana całkowicie losowo). Gracz wybiera jedną z bramek. Prowadzący program odsłania inną bramkę (co istotne – anonsując, że jest to bramka pusta) po czym proponuje graczowi zmianę wyboru . Intuicyjnie nie ma znaczenia, czy zawodnik pozostanie przy swoim wyborze, czy nie. Okazuje się jednak, że jest inaczej. Przy wyborze strategii pozostawania przy swoim pierwszym wyborze prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Natomiast przy wyborze "strategii zmiany" wynosi 2/3.Oznacza to, że zawodnikowi opłaci się zmienić bramkę, ponieważ ma wtedy dwa razy większe szanse na wygraną. Paradoks wynika z niedocenienia informacji jaką "między wierszami" przekazuje prowadzący. Informacją tą jest wskazanie (zawsze!) pustej bramki. • Łatwiej spudłować? • Załóżmy, że zawodnik wskazuje pierwotnie bramkę, za którą jest nagroda (zdarza się to z prawdopodobieństwem 1/3). Prowadzący program odsłoni wtedy jedną z pozostałych bramek i wówczas zmiana wyboru z pewnością doprowadzi do przegranej. • Jeżeli jednak zawodnik początkowo wskazuje bramkę pustą (a dzieje się tak z prawdopodobieństwem 2/3), wówczas prowadzący program musi odsłonić drugą z dwóch pustych bramek. Zmiana wyboru przez zawodnika w tym przypadku doprowadzi do pewnej wygranej.

17. Paradoks polega na tym, że intuicyjnie przypisujemy równe szanse dwu sytuacjom -- wskazanie wygranej w jednej z dwóch zakrytych ciągle bramek wydaje się "równie prawdopodobne" jak posiadanie bramki pustej, bo przecież "nic nie wiadomo". Tymczasem układ jest warunkowany przez początkowy wybór zawodnika i obie sytuacje nie pojawiają się równie często. • W pewnym sensie zmiana bramki zamienia miejscami prawdopodobieństwa – prawdopodobieństwo przegranej staje się prawdopodobieństwem wygranej i odwrotnie. Przy pierwszym wyborze łatwiej jest spudłować, zatem "strategia zmiany" prowadzi do łatwiejszej wygranej. • Załóżmy, że gracz początkowo wybrał bramkę numer 1. Poniższa tabela prezentuje 3 równie prawdopodobne możliwości, jakie wiążą się z takim wyborem. • Widać wyraźnie, że przeciętnie szanse na wygraną nagrody są 2 razy większe w przypadku zmiany wyboru: gracz, który dokonuje zmiany wyboru, nic nie wygrywa tylko w jednym przypadku, za to zdobywa nagrodę w dwóch przypadkach, a zatem prawdopodobieństwo wygranej w przypadku zmiany wynosi 2/3.

18. Paradoks Banacha-Tarskiego • Paradoks Banacha–Tarskiego(Hausdorffa–Banacha–Tarskiego) – słynne paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924. • Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a (nie da się określić ich objętości), więc naturalna argumentacja oparta na intuicjach związanych z objętością przedmiotów w świecie rzeczywistym nie ma tu zastosowania. • Podobnie nie intuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których przez izometrię (czyli przekształcenie geometryczne, które nie zmienia odległości punktów) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne. Należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym. • Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze na pewne przekształcenia przestrzeni euklidesowych.

19. Paradoks Banacha–Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową. • Stefan BanachAlfred Tarski

20. Paradoks Newcomba • Paradoks Newcomba – paradoks pojawiający się w pewnej grze, w której jeden z graczy ma zdolność przewidywania ruchów drugiego. • Wyobraź sobie dwóch graczy, Przewidującego i Wybierającego, którzy biorą udział w następującej grze: W ma do wyboru dwa pudełka – otwarte pudełko I z 1000 zł oraz zamknięte pudełko II z 1 000 000 zł lub bez – W tego nie wie. • W wybiera, czy chce dostać oba pudełka czy chce tylko pudełko II, • P dzień wcześniej przewidział, co wybierze W. Jeżeli W weźmie oba pudełka to pudełko II P pozostawi puste, jeżeli W wybierze tylko pudełko II to P włoży do niego 1 000 000 zł • W zdaje sobie sprawę, ze sposobu działania P opisanego powyżej, ale nie wie jaki jego ruch przewidział P w danej rozgrywce. • Pytanie: Czy W ma wybrać oba pudełka, czy jedno? • Jeżeli P przewiduje bezbłędnie, to W powinien wybrać tylko pudełko II i wygra wtedy 1 000 000 zł. Jeżeli W weźmie oba pudełka, pudełko II będzie puste i W wygra tylko 1 000 zł. Nawet, jeżeli P jest tylko w przybliżeniu pewny swoich przewidywań, W nie chce ryzykować, że dostanie tylko tysiąc. Zgodne z takim rozumowaniem W powinien zawsze wybierać zamknięte pudełko II.

21. Jednakże w momencie, kiedy W przystępuje do wyboru, zawartość pudełek jest już ustalona. Zamknięte pudełko II może być albo puste albo pełne. Na oczach W zawartość pudełek nie może ulec zmianie. Niezależnie od tego czy pudełko II jest puste czy pełne wybierając oba W zwiększa swoją szansę wygranej, bo może zabrać dla siebie zawartość obu z nich. Kierując się taką logiką W powinien zawsze wybierać oba pudełka. • Istnienie dwóch rozwiązań wybieranych przez różne osoby w roku 1969 tak podsumował Nozick: • To almosteveryone, itisperfectly clear and obviouswhatshould be done. Thedifficultyisthatthesepeopleseem to dividealmostevenly on the problem, withlargenumbersthinkingthattheopposinghalfisjustbeingsilly. • Dla prawie wszystkich jest całkowicie jasne i oczywiste jak należy wybrać. Problem tkwi w tym, że pytanie o rozwiązanie dzielą się na dwie prawie równe grupy, mające przeciwne zdanie na ten temat, a duża liczba pytanych osób sądzi, że ci wybierający drugie rozwiązanie są po prostu głupi. • Komentarz: W opisanej grze nie chodzi o to, że P przegra pieniądze tylko o to, że P przegra lub wygra przewidując przyszłość. Jeżeli jednak P przewiduje przyszłość bezbłędnie i to jest założenie gry, to wtedy P powinien zostawić w pudełku II zawsze 1 000 000 zł. Wtedy W, o którego wygranej decyduje suma jaką dostanie powinien zawsze wybrać dwa pudełka i wtedy otrzyma 1 001 000 zł.

22. KRZYWA PEANO Krzywa Peano – To ważny przykład fraktala pochodzącego od Giuseppe Peano, który w 1890 roku odkrył sposób konstrukcji krzywej pokrywającej w granicy kwadrat. Jest to ciągłe odwzorowanie odcinka na kwadrat. Krzywa jest to funkcja ciągła określona na odcinku [0,1]. Krzywa w tym rozumieniu nie jest co prawda "linią", lecz funkcją, ale "udziwnienie" jest pozorne, bo obraz odcinka [0,1] poprzez tę funkcję w "wielu naturalnych" przypadkach jest właśnie tym, co chcielibyśmy linią nazwać. Włoski matematyk Giuseppe Peano podał przykład krzywej, która jest ciągłym obrazem odcinka i pokrywa cały kwadrat! Kolejne etapy powstawania krzywej Peano

23. Fraktal Fraktalem nazywamy obiekt, który cechuje „samopodobieństwo”, tj. którego części są podobne do całości. Fraktalesą bardzo złożone, choć ich tworzenie zazwyczaj sprowadza się do powtarzania bez końca prostej operacji.

24. Paradoks długości odcinka • Odcinek AP=½ odcinka AB, ale liczba punktów znajdujących się na odcinku AP jest taka sama jak liczba punktów na odcinku AB (wyrażając to ściśle językiem matematycznym powiedzielibyśmy, że zbiór punktów odcinka AP ma taką samą moc jak zbiór punktów odcinka AB). Twierdzenie to wydaje się nam co najmniej dziwne, jest jednak prawdziwe. Mamy więc do czynienia z paradoksem.Z rysunku poniższego widać, że każdemu punktowi L odcinka AB możemy przyporządkować jeden i tylko jeden punkt L' na odcinku CD=AP i na odwrót.

25. Moc zbioru • Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na„) między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi. Liczba kardynalna jest naturalnym uogólnieniem liczby elementów zbioru skończonego, w szczególności moc zbiorun-elementowego wynosi dokładnie n.

26. Definicja liczby kardynalnej • Jeżeli zbiory A i B są równoliczne, to będziemy pisać w skrócie |A|=|B|. Warto zauważyć, że relacja równoliczności zbiorów ma cechy relacji równoważności. Dokładniej, dla każdych zbiorów A, B, C spełnione są następujące warunki: • | A | = | A | (każdy zbiór jest równoliczny ze sobą; równoliczność wyznacza np funkcja tożsamościowa f(x) = x) • jeśli | A | = | B | , to | B | = | A | (jeśli jest bijekcją, to również) • jeśli | A | = | B | oraz | B | = | C | , to | A | = | C | (jeśli i są bijekcjami, to również). • Biorąc pod uwagę powyższe cechy relacji równoważności, niektórzy definiują liczby kardynalne jako klasy abstrakcji powyższej relacji równoważności. Jest to jednak definicja poglądowa i nie jest poprawna matematycznie, gdyż klasa wszystkich zbiorów jest klasą właściwą (nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów, gdyż sam byłby swoim elementem, co prowadzi do sprzeczności - por. paradoks zbioru wszystkich zbiorów), a zatem klasy abstrakcji tej relacji nie byłyby zbiorami, co mogłoby prowadzić do wielu niedogodności z formalnego punktu widzenia.

27. Nowoczesne definicje liczby kardynalnej • Nowoczesne definicje liczby kardynalnej i mocy zbioru korzystają z pojęcia liczby porządkowej: • Liczbę porządkową λ nazywamy liczbą kardynalną, gdy nie jest ona równoliczna z liczbą porządkową od siebie mniejszą. • Mocą zbioru X nazywamy najmniejszą liczbę porządkową równoliczną ze zbiorem X. Liczbę tę oznaczamy symbolem | X | . • Należy zwrócić uwagę, że teraz symbol |X| może występować samodzielnie w oderwaniu od zapisu np. "|X|=|Y|". • Jeśli X jest zbiorem to | X | jest najmniejszym elementem klasy A={α € On: IXI = α }, a zatem jest liczbą kardynalną, gdyż żadna liczba porządkowa β < | X | nie jest równoliczna z | X | .

28. Hierarchia liczb kardynalnych • Mówi się, że zbiór X jest mocy nie większej niż zbiór Y, gdy istnieje funkcja różnowartościowa określona na X o wartościach w Y. Zdanie to można zapisać krótko IXI ≤ IYI • Oczywiście, IXI ≤ IYI ^ IYI ≤ IXI ↔ IXI = IYI • Okazuje się, że możliwość porównywania mocy dowolnych zbiorów jest równoważna aksjomatowi wyboru, to znaczy następujące zdanie (tzw. prawo dychotomii) jest z nim równoważne: • Dla dowolnych zbiorów X i Y prawdziwa jest alternatywa IXI ≤ IYI lub IYI ≤ IXI.

29. Arytmetyka liczb kardynalnych • Opierając się na pojęciu równoliczności zbiorów, można zdefiniować działania na liczbach kardynalnych: dodawanie, mnożenie, potęgowanie. Pozwala to zbudować arytmetykę liczb kardynalnych. • Sumę liczb kardynalnych a i b określamy jak następuje: niech X i Y będą takimi zbiorami rozłącznymi, że a = | X | i b = | Y | . Liczbę kardynalnęa + b definiujemy jako moc zbioru X U Y . Określenie iloczynu liczb kardynalnych nie wymaga założenia, by zbiory X i Y były rozłączne – liczbę określa się jako moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów X×Y. Również definicja potęgi liczb kardynalnych nie wymaga rozłączności zbiorów X i Y – przez liczbę ab rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji ze zbioru Y w zbiór X. • W przypadku operowania na liczbach kardynalnych skończonych, tak określone działania są tożsame ze "zwykłymi" działaniami arytmetycznymi na liczbach naturalnych. Własności działań na liczbach kardynalnych nieskończonych różnią się istotnie od własności "zwykłych" działań arytmetycznych. Na przykład, jeśli b jest nieskończona i a < b, to a + b = b, a jeśli ponadto a≠0, to a*b=b.

30. Równoliczność zbioru • Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych. Funkcja wzajemnie jednoznaczna między tymi zbiorami może być opisana, na przykład, w postaci ciągu: {(1,0), (2,1), (3,-1), (4,2), (5,-2), (6,3), (7,-3)...} • Zbiory skończone lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywane są zbiorami przeliczalnymi. Można wykazać, że zbiory liczb wymiernych i algebraicznych są przeliczalne (nieskończone). Ponadto, można wykazać, że dla każdego zbioru nieskończonego istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru liczb naturalnych na jego właściwy podzbiór - co oznacza, że moc zbioru liczb naturalnych jest najmniejszą spośród mocy zbiorów nieskończonych. Liczbę kardynalną odpowiadającą mocy zbioru liczb naturalnych oznacza się hebrajską literą alef z indeksem 0 - Ν0.

31. Dowód na równoliczność zbioru liczb wymiernych i naturalnych • Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Może to być zaskakujące, że jest tyle samo liczb wymiernych, co liczb naturalnych. By to uzasadnić, najpierw układamy dodatnie liczby wymierne w nieskończonej tablicy : • Na kolejnych przekątnych leżą ułamki o stałej sumie licznika i mianownika, każda taka przekątna składa się ze skończenie wiele takich ułamków. Każdy ułamek leży na jakiejś przekątnej. Dlatego układając kolejno ułamki najpierw z pierwszej przekątnej, potem z drugiej, potem z trzeciej i tak dalej, ustawimy liczby wymierne dodatnie w ciąg (z powtórzeniami): • Następnie, możemy ustawić w ciąg wszystkie liczby wymierne.

32. Przygotowali: • Mateusz Cierpka • Michał Biegański • Karolina Pławucka • Michał Walkowiak • Alicja Sobczak • Katarzyna Pałat • Pod opieką:p.Krystyny Chmielewskiej • Szymon Andrzejak • Łukasz Bartsch • Przemysław Cieluch • Mateusz Gierz • Mikołaj Tomczak • Robert Śledzik • Marcin Leja

33. bibliografia • http://geopolicraticus.wordpress.com • http://www.jankotlarz.pl • http://www.wikipedia.org • http://www.serwis-matematyczny.pl