Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ MIEJSKICH NR 1 W WAŁCZU • ID grupy: 98/82 MF G2 • Opiekun: MARTA KAŁAMAJA • Kompetencja: MATEMATYCZNO - FIZYCZNE • Temat projektowy: PARADOKSY W MATEMATYCE • Semestr/rok szkolny: SEMESTR V 2011/2012

3. Paradoksy w matematyce

4. Spis Treści • Co to jest paradoks? • Równość 1=0,(9) • Wyznaczenie średniej prędkości • Paradoks zagubionej złotówki • Paradoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniach • Paradoksy logiczne • Paradoks Monty Halla • Hotel Hilberta • Paradoks Zenona z Elei  (Achilles i żółw) • Płatek Kocha • Paradoks Olbersa • Inne ciekawe paradoksy

5. Co to jest paradoks? • Jest to twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego lub nieostrości wyrażeń prowadzące do wniosków sprzecznych ze sobą lub z uprzednio przyjętymi założeniami. A przynajmniej tak podpowiedziała nam Encyklopedia… Spis Treści

6. Równość 1=0,(9) • Na początek dowód, który uzasadni tę równość. 10x – x = 9x Pod x podstawiamy 0,(1) : 10 ∙ 0,(1) - 0,(1) = 1,(1) - 0,(1) = 1, a zarazem 9x = 0,(9), czyli: 1 = 0,(9). • 0,(9) = 1 jest prawdziwą równością. Tak samo jak ⅓ =0,(3). 0,(9)=0,(3) + 0,(3) + 0,(3) = ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1 Spis Treści

7. Wyznaczanieśredniej prędkości • PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA jest to całkowita droga jaką przejechał dany obiekt podczas czasu trwania jego ruchu (całego czasu). • Wartość całkowitą prędkości obliczamy ze wzoru v=s/twięc na początku obliczamy wartość konkretnych szybkości, a następnie sumujemy je i dzielimy przez ich ilość. Jednym słowem jest to nic innego, jak tylko średnia arytmetyczna, którą chyba każdy z Was potrafi obliczać. Spis Treści

8. Przykładowe zadanie • Samochód jechał z prędkością 72 km/h przez 1 min. podczas wyprzedzania w czasie 5 s uzyskał prędkość 90 km/h. Następnie zwolnił w 10 s zwolnił do 54 km/hprzez 2 min. jechał z tą prędkością. Oblicz jego szybkość średnią. Spis Treści

9. Rozwiązanie: • v=s/ts=v∙t  dla ruchu jednostajnegos= ½ a∙t²  dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego s= ½ v∙t  dla ruchu jednostajnie opóźnionego • s1= 20 m/s ∙ 60 s = 1200 ms2= ½ 25 m/s ∙ 5 s = 125 ms3= ½ 10 m/s ∙ 10 s = 100 ms4= 15 m/s ∙ 120 s = 1800 ms= 1200 m + 125 m + 100 m + 1800 m = 3225 mt = 60 s + 5 s + 10 s + 120 s = 195 sv = 3225m/ 195 s = 16,5 m/s Spis Treści

10. Paradoks zagubionej złotówki • Myślę, że każdy z Was chociaż raz (nawet przypadkowo) napotkał zadanie typu: 3 osoby postanowiły złożyć się na pizze za 30 złoty. Każda osoba dała po 10 złoty. Gdy już ją zakupili i wyszli z pizzerii sprzedawcy przypomniało się o obniżce ceny, był uczciwym człowiekiem więc postanowił oddać im 5 złoty reszty nie wiedział jednak jak podzielić 5 złoty na 3 osoby więc postanowił dać im po 1 zł a sobie wziąć 2 zł. Wychodzi na to że każda z osób zapłacił 9 złoty. 9 ∙ 3 = 27 + 2 zł które wziął sprzedawca = 29 zł. Co się stało ze złotówką? Nie zastanawiało Was, o co w tym tak naprawdę chodzi? Spis Treści

11. NIC PROSTSZEGO! Jest to po prostu błąd w zapisie. Prawidłowo powinno to wyglądać w taki sposób:(9 ∙ 3) – 2 + 5 = 27 – 2 + 5 = 25 + 5 = 30 (zł) Dlaczego? Nie można dodać do całości 2 zł, skoro wcale ich nie dostaliśmy. Jeżeli ubyło nam dwóch złotych to należy je odjąć od całości. Kiedy to zrobimy otrzymujemy 25 zł. Następnie trzeba dodać te 5 zł, które udało nam się teoretycznie „zaoszczędzić” na promocji. Spis Treści

12. Paradoksy zawarte w pozornie łatwych zadaniach • Jeśli butelka z sokiem kosztuje 1,10 zł, a sam sok jest o 1 zł droższy od butelki, to ile kosztuje butelka, a ile sok? Takie zadania najlepiej rozwiązywać układając równanie – mamy wtedy pewność, że nie pomylimy się w pozornie prostych obliczeniach. Rozwiązanie:x – cena butelkix+1 – cena sokux + x + 1 = 1,10 zł2x = 1,10 zł – 1 zł2x = 0,10 zł / :2x = 0,05 zł  cena butelki1 zł + 0,05 zł = 1,05 zł  cena sokuJeszcze tylko upewnienie się, że wynik na pewno nam się zgadza :)1,05 zł + 0,05 zł = 1,10 zł Spis Treści

13. Jeśli cenę towaru obniżono o 10%, a później podwyższono o 10%, to jaka jest aktualna cena?Na pierwszy rzut oka każdy odpowie, że cena się nie zmieniła. Jest to jeden z najczęstszych błędów. Tak, dobrze przeczytaliście – błędów. Jeśli cena została obniżona o 10% to oznacza, że nie jest już taka sama. Tym samym podwyższenie o 10% obecnej ceny nie da nam początkowej liczby. Cena po takich zmianach będzie niższa od początkowej. Nie wierzycie? Sprawdźmy. Spodnie kosztowały 250 zł, jednak w promocji przedświątecznej cenę tą obniżono o 20%. Zaraz po świętach cenę ponownie zmieniono – zwiększono ją o 20%. Ile kosztują one aktualnie? Rozwiązanie:20% z 250 zł to 50 zł250 zł – 50 zł = 200 zł20% z 200 zł to 40 zł200 zł + 40 zł = 240 złOdp.: Aktualnie spodnie te kosztują 240 zł. Spis Treści

14. Może jeszcze jedno zadanie na utrwalenie wiadomości? :) • Pan Marcin przed urlopem ważył 80 kg, ale w czasie urlopu przytył o 15%. (uuu współczuje) Po półroczu ciężkiej pracy schudł o 10%. O ile procent musiałby schudnąć, aby uzyskać swoją poprzednią wagę? Ile waży teraz po zgubieniu 10%? • Rozwiązanie:15% z 80kg to 12 kg80 kg + 12 kg = 92 kg10% z 92 kg to 9,2 kg92 kg – 9,2 kg = 82,8 kg  aktualna waga92 kg – 100%80kg – x92x – 8000x = 86,9% w przybliżeniu 87%100% - 87% = 13%Odp.: Aby odzyskać początkową wagę musiałby schudnąć 13%. Aktualnie waży 82,8 kg. Spis Treści

15. Paradoksy logiczne • Na czym polegają? Paradoks kłamcy– pewien człowiek twierdzi: "ja teraz kłamię". Jeśli zadamy sobie pytanie, czy jest on kłamcą czy też twierdzi prawdę dojdziemy niechybnie do sprzeczności. Jeśli kłamie, to stwierdzając "ja teraz kłamię" wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, bo to oznacza wypowiadane przez niego zdanie. Paradoks golibrody – W pewnym mieście jest golibroda, który goli tych, którzy nie golą się sami. Czy golibroda powinien się sam ogolić? Paradoks Arystotelesa– „Dlaczego woda, która jest niezbędna do życia jest tania, podczas gdy diamenty są bardzo drogie, choć można się bez nich obejść?". Spis Treści

16. Jakie jest rozwiązanie? Paradoks kłamcy – rozwiązanie jest dość brutalne i może być dość irracjonalny dla większości ludzi. O co chodzi? Po prostu stwierdza się, że zdania nie powinny wypowiadać się same o sobie. Tego rodzaju wnioskowanie jest nieuprawnione. Prawdziwość zdań (także teorii) jest określana „z zewnątrz", przez „metajęzyk", metateorię. Paradoks Golibrody – W gruncie rzeczy jest to uproszczona wersja paradoksu Cantora, pokazującego, że nie może istnieć zbiór wszystkich zbiorów. Paradoks Arystotelesa – Diament jest czymś bardzo rzadko spotykanym na Ziemi w porównaniu do wody, której jest naprawdę dużo. Ludzie już tak mają, że jeśli mają czegoś pod dostatkiem nawet jak jest to niezbędne do życia to od razu traci to dla nich na wartości. Spis Treści

17. Paradoks Monty Halla • Może zaczniemy od samego początku. Czyli odpowiedzi na pytanie – kim właściwie jest Monty Hall? Monty Hall, urodzony 25 sierpnia 1921 roku, kanadyjski aktor i piosenkarz, gospodarz popularnych programów telewizyjnych. Od jego nazwiska pochodzi znany w rachunku prawdopodobieństwa paradoks Monty Halla. Każdy z nas spotkał się z tym paradoksem oglądając chociażby teleturniej „Idź na całość”. Spis Treści

18. Wszyscy pamiętamy przebieg rozgrywki. Gracz wybiera jedną z trzech bramek. Bramkę nr 1, nr 2 lub nr 3. Następnie prowadzący otwiera jedną z bramek, które nie zostały wybrane i ukazuje nagrodę niższej rangi. Na placu gry pozostają dwie bramki. Wybrana przez gracza i ta nieodsłonięta. Pytanie brzmi: czy gracz powinien zmienić swój wybór, czy raczej pozostać przy wyborze pierwotnym? Jakie znaczenie ma zmiana decyzji? • Innymi słowy, jeśli gracz wybrał bramkę nr 1, a prowadzący odsłonił zawartość bramki nr 2 ukazując „zonka” (czyli przegraną), to czy nowy samochód kryje się za bramką nr 1 czy raczej za bramką nr 3? Spis Treści

19. W tym miejscu, górę biorą neurony i sposób ludzkiego pojmowania. Mózg informuje bowiem, że skoro jedna z bramek została otwarta, to szanse na to, że nagroda kryje się w jednej z pozostałych dwóch, wynoszą 50% czyli inaczej pół na pół. Jednak prawda jest inna. Zostało matematycznie dowiedzione, że jeśli gracz dokona zmiany wyboru z bramki nr 1. na bramkę nr 3. (zgodnie z przykładem na poprzednim slajdzie), jego szanse na wygraną wzrosną dwukrotnie. Spis Treści

20. Jak to możliwe? Nie jest to intuicyjne, ale poprawne. Wielcy matematycy głowili się nad tym problemem przez długi czas. Rozwiązanie jest znane dzisiaj. • Rozpatrzmy problem od strony matematycznej: Wyobraźmy sobie trzy teleturniejowe bramki i gracza, który wybiera jedną z nich. W tym momencie dzieli on bramki na dwa zestawy. Zestaw A) wybrana bramka Zestaw B) bramki, które nie zostały wybrane W tym miejscu, każda z bramek posiada indywidualną szansę na zwycięstwo równą 1 do 3. Biorąc jednak pod uwagę istnienie zestawów A i B, szanse te wyglądają nieco inaczej. Zestaw A jest zestawem zwycięskim z prawdopodobieństwem 1/3. Zestaw B natomiast posiada dwie bramki, a zatem prawdopodobieństwo, że to właśnie B zawiera zwycięską bramkę wynosi 2/3. Zestaw A) - szansa na zwycięstwo = 1/3 Zestaw B) - szansa na zwycięstwo = 2/3 Spis Treści

21. Kiedy prowadzący odsłania jedną z bramek - w zestawie B - ukazując, że jedna z nich nie jest zwycięska, zestaw B wciąż z prawdopodobieństwem równym 2 do 3 jest w naszym schemacie zestawem najlepszym, podczas gdy szansa na zwycięstwo w zestawie A wciąż wynosi tylko 1 do 3. Odsłaniając zawartość jednej z bramek w zestawie B, szanse na to, że druga z nich zawiera nagrodę główną są większe niż początkowy wybór gracza - bramka z zestawu A. Spis Treści

22. Spis Treści

23. Hotel Hilberta • David Hilbert -  niemiecki matematyk; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej. • Paradoks Hilberta – paradoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia „ilości” elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta. Spis Treści

24. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta... Spis Treści

25. Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona (ale przeliczalna) liczba autobusów z nieskończoną (przeliczalną) liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów. Spis Treści

26. Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7n. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m(n)ngdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze. Potęgi liczb pierwszych większych od 2 są nieparzyste, a że zbiory kolejnych potęg liczb pierwszych są parami rozłączne, więc nie ma ryzyka, że poślemy nowych klientów do już zajętych pokojów. Wreszcie klientów, wcześniej wykwaterowanych z pokojów nieparzystych, wysyłamy do pokojów o numerach m(n+1)n i wszyscy są już szczęśliwi... Spis Treści

27. Paradoks Zenona z Elei • Może najpierw powiemy kim był Zenon z Elei? • Zenon z Elei (ok. 490-430 p.n.e.) - filozof grecki, wg Arystotelesa - twórca dialektyki. Posługując się wyszukanymi argumentami rozumowymi bronił tezy o niezmienności i niepodzielności bytu. Sformułował słynne paradoksy, które miały dowodzić, że ruch (zmiana) nie istnieje. Przeciwko wielości rzeczy wysuwał twierdzenie, że nie można w nieskończoność dzielić czegoś, bo uzyska się w końcu części nie posiadające wymiarów, a suma części bez wymiarów musi być równa zeru. Spis Treści

28. Achilles i żółw • W tej prezentacji zajmiemy się tylko jednym paradoksem opracowanym przez Zenona z Elei – ciekawscy zawsze mogą zajrzeć na google i poszukać więcej informacji ;) • Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o ½ całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do ½ dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do ¾ dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie ¾ dystansu, żółw znowu mu „ucieknie” pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność. Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość. Spis Treści

29. Jakie jest rozwiązanie tego paradoksu? • W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony. • Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem. Spis Treści

30. Spis Treści

31. Płatek Kocha • Na początku wspomnieć można, że teoretycznie nie jest to nic trudnego, jednak w praktyce wszystko wygląda nieco inaczej. O co dokładnie chodzi? • Płatek Kocha nazywany inaczej krzywą Kocha. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni. Można więc narysować pewne jej przybliżenie. • Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na trzy części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej ⅓ odcinka) tak, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka. Spis Treści

32. W przybliżeniu wygląda to właśnie tak: Spis Treści

33. Paradoks Olbersa • Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers - niemiecki astronom, lekarz i fizyk, z wykształcenia inżynier. Po 1780 r. praktykował medycynę w Bremie i prowadził obserwacje komet. • 28 marca 1802 r. odkrył drugą w historii planetoidę - 2 Pallas.29 marca 1807 r. odkrył planetoidę 4 Westa.6 marca 1815 r. odkrył także periodyczną kometę nazwaną jego imieniem 13P/Olbers. Ogólnie odkrył sześć komet. • Sformułował także Paradoks Olbersa. Na cześć uczonego jedną z planetoid nazwano 1002 Olbersia. Spis Treści

34. Dlaczego w nocy niebo jest ciemne, skoro patrząc w każdym kierunku patrzę na jakąś gwiazdę? • Jeśli Wszechświat jest nieskończony i jednorodny, to patrząc w każdym kierunku powinienem widzieć światło gwiazdy. Co prawda – gwiazdy im są dalej, tym słabiej świecą, jednakże jest to jedynie pozorny argument. Rozważmy trzy sfery o środku w Ziemi i promieniach równych odpowiednio 1a, 2a, 3a. Gwiazdy leżące pomiędzy sferą 2 i 3 świecą średnio cztery razy słabiej niż te położone pomiędzy sferą 1 i 2, ale też jest ich osiem razy więcej, ponieważ natężenie światła maleje proporcjonalnie do powierzchni sfery, a ilość gwiazd rośnie proporcjonalnie do objętości kuli, ograniczanej przez tę sferę. Spis Treści

35. Drugim kontrargumentem jest nieprzeźroczystość Wszechświata. Być może światło z odległych gwiazd nie dociera do nas, gdyż napotyka po drodze na jakieś przeszkody w postaci nieświecącej materii. I ten kontrargument możemy jednak zbić. Zgodnie z pierwszym prawem termodynamiki owa zasłaniająca światło materia powinna się nagrzać i po odpowiednio długim czasie sama zacząć świecić. Jeśli Wszechświat byłby zatem taki, jak w założeniach Olbersa, noc wcale nie powinna być ciemna. • Alternatywne rozwiązanie paradoksu Olbersa podał Benoit Mandelbrot. Stwierdził on, że nie musimy koniecznie negować nieskończoności Wszechświata. Możemy zanegować jego jednorodność – materia według Mandelbrota nie jest rozłożona w przestrzeni jednorodnie. Dla kosmosu fraktalnego nie można zastosować modelu Friedmana, przewidującego jednorodną ekspansję Wszechświata. Spis Treści

36. Paradoks dziadka • Twórcą tego paradoksu jest Albert Einstein – chyba wszystkim znany niemiecki fizyk, który stworzył teorię względności, którą można zapisać wzorem E=mc² • Treść tego paradoksu:„Jeśli ktoś podczas podróży w czasie wstecz zabije własnego dziadka przed poczęciem swojego ojca, to ten ktoś się nie narodzi i nie odbędzie podróży w czasie i nie zabije własnego dziadka, więc się narodzi i zabije własnego dziadka” i tak w nieskończoność. Spis Treści

37. Paradoks dziadka jest szczególnym przypadkiem sytuacji, gdy podczas podróży w czasie uniemożliwia się ją. Jednak jest proponowanych kilka rozwiązań tej sprzeczności, mających uczynić ją sprzecznością pozorną: • Podczas podróży w czasie wstecz podróżnik przedostaje się tunelem czasoprzestrzennym do alternatywnego wszechświata, więc zabicie dziadka spowoduje jedynie to, że podróżnik nie narodzi się we wszechświecie do którego się dostał i w którym zabił dziadka, a nie nienarodzenie się podróżnika we wszechświecie, z którego przybywa; Spis Treści

38. W czasie podróży w czasie wstecz nie można dokonać niczego, co mogłoby ją uniemożliwić; [nie można się cofać przed moment, w którym powstaje możliwość podróży w czasie wstecz]. • Inną kwestią dotyczącą możliwości podróży w czasie jest istnienie twierdzenie fizyka Stephena Hawkinga na temat wehikułu czasu. Argumentem za tym, że nie istnieje on i nigdy nie powstanie, jest to, że w przeciwnym razie obecnie żyliby podróżnicy z przyszłości i dali tego świadectwo. Spis Treści

39. Paradoks ciotki • Jedna z poglądowych ilustracji paradoksu Russella. Dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi. • Łatwo zauważyć można podobieństwo tego paradoksu do paradoksu kłamcy czy golibrody, o których mówiliśmy wcześniej. Spis Treści

40. Paradoks Proklosa • Średnica dzieli koło na dwie równe części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże sie, ze półkoli Bedzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele. Spis Treści

41. Dziękujemy za uwagę