ЕГЭ по математике в Калужской области: анализ и перспективы

1. ЕГЭ по математике в Калужской области: анализ и перспективы Докладчик: председатель областной экспертной комиссии по математике Степанов Сергей Евгеньевич

2. Количество участников ЕГЭ по математике В ЕГЭ по математике в Калужской области приняли участие 4776 человек, в том числе в основной волне ЕГЭ в июне – 4580 человек. 63 и более баллов – 1418 (31%) менее 24 баллов – 67 человек (1,5%) по России: 63 и более баллов – 17,1% менее 24 баллов – 2,6%

3. Шкала перевода первичных баллов в тестовые в 2013 году

4. Проблемы в преподавании математики • Мотивационное • Избыточное единство требований к результатам • Содержательные проблемы и неэффективность

5. Задача В1 (демонстрационный вариант 2014 года) Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%? Успешно справились в 2013 году 82,37% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • неполное решение задачи (в ответ записывали промежуточный результат); • вычислительные ошибки.

6. Задача В2 (демонстрационный вариант 2014 года) На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной. Успешно справились в 2013 году 97,01% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): неполное решение задачи (в ответ записывали значение или отсчёт начинали с конца)

7. Задача В3 (демонстрационный вариант 2014 года) Успешно справились в 2013 году 85,05% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): ошибочное вычисление длин по координатам; использование неверной формулы площади. Середины последовательных сторон прямоугольника, диагонали которого равны 10, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

8. Задача В4 (демонстрационный вариант 2014 года) Строительная фирма планирует купить 70 м3пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Постав- Стоимость Стоимость Дополнительные щикпеноблоков (руб.) доставки (руб. за 1 м3) условия доставки А 2 600 10 000 Нет Б 2 800 8 000 При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная В 2 700 8 000 При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная Успешно справились в 2013 году 88,90% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • вычислительные; • неверная трактовка условий.

9. Задача В5 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите корень уравнения log3 (x-3) = 2. Успешно справились в 2013 году 93,74% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • вычислительные; • неверное решение линейного уравнения; • незнание определения логарифма; • неверное решение логарифмического уравнения.

10. Задача В6 (демонстрационный вариант 2014 года) Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°. Успешно справились в 2013 году 78,04% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • отсутствие видения геометрической конструкции; • незнание свойств треугольников; • вычислительные.

11. Задача В7 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите sinα, если cosα = 0,6 и π<α<2π . Успешно справились в 2013 году 79,98% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • незнание соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла; • незнание знаков тригонометрических функций углов, принадлежащих определённым четвертям; • арифметические ошибки.

12. Задача В8 (демонстрационный вариант 2014 года) Успешно справились в 2013 году 73,83% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): неумение связать свойства функции с производной; невнимательное чтение условия. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

13. Задача В9 (демонстрационный вариант 2014 года) Успешно справились в 2013 году 78,83% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): отсутствие видения геометрической конструкции; неумение применить теорему Пифагора к решению прямоугольного треугольника; вычислительные. Найдите площадь осевого сечения конуса, радиус основания которого равен 3, а образующая равна 5.

14. Задача В10 (демонстрационный вариант 2014 года) В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. Успешно справились в 2013 году 70,46% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • неверное прочтения условия задачи; • нахождение вероятности другого события; • вычислительные.

15. Задача В11 (демонстрационный вариант 2014 года) Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Успешно справились в 2013 году 58,52% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • отсутствие видения геометрической конструкции; • ошибочная формула объёма тела; • вычислительные.

16. Задача В12(демонстрационный вариант 2014 года) Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением v = c·(f – f0)/(f + f0), где c= 1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частотаиспускаемого сигнала(в МГц), f — частота отражённогосигнала (в МГц). Найдите частотуотражённого сигнала,если батискаф погружается со скоростью 2 м/с. Успешно справились в 2013 году 61,81% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • вычислительные ошибки.

17. Задача В13(демонстрационный вариант 2014 года) Весной катер идёт против течения реки в 12/3раза медленнее, чемпо течению.Летомтечениестановится на 1 км/ч медленнее.Поэтому летом катер идёт против течения в1½ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). Успешно справились в 2013 году 65,14% Массовые ошибки (по итогам ЕГЭ-2013): • ошибки, связанные с неправильным прочтением условия задачи и составлением уравнения; • попытки получить ответ, манипулируя данными в условии числами; • вычислительные.

18. Задача В14(демонстрационный вариант 2014 года) Найдите наименьшее значение функции y= (x2+ 441)/x на отрезке [2; 32]. Успешно справились в 2013 году 59,61% При выполнении задачи В14 допущено многоошибок как вычислительного характера, так ипоказывающих незнание и непонимание темы «Применение производной к исследованиюфункции».

19. Задача C1(демонстрационный вариант 2014 года) а)Решите уравнение cos 2x = 1 – cos(/2 – x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5/2;-) Ответ: а) n, /6 +2n, 5/6 +2n, nZ б) -2; -11/6; -7/6 Критерии оценивания задачи: • 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах; • 1 балл — обоснованно получен верный ответ в пункте а или в пункте б; • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

20. Задача C1(основные ошибки) • Неверное преобразование тригонометрических выражений; • Потеря корней при решении sin x = a (берётся лишь одна серия) • Необоснованный отбор корней (должен быть либо проиллюстрирован, либо должны быть решены неравенства) Данные 2013 года: 0 баллов - 57%; 1 балл - 11%; 2 балла - 32%.

21. Задача C2 (демонстрационный вариант 2014 года) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB =3, DA = 2, AA1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1. Ответ: 133 Критерии оценивания: • 2 балла — обоснованно получен верный ответ; • 1 балл — решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано; • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

22. Задача C2 (основные ошибки) • Неверные геометрические построения; • Не обоснованы (но тем не менее используются) свойства планиметрических фигур Данные 2013 года: 0 баллов - 91,5%; 1 балл - 4%; 2 балла - 4,5%.

23. Задача C3 (демонстрационный вариант 2014 года) Решите систему неравенств log3 (x2 –x – 2) ≤ 1 + log3 ((x+1)/(x– 2)), 4x ≤ 9· 2x + 22 Ответ: (2, log211] Критерии оценивания задачи: • 3 балла — обоснованно получен верный ответ; • 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы; • 1 балл — обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве системы; • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

24. Задача C3 (основные ошибки) • ошибки, связанные с незнанием основных свойств логарифмических и показательных функций; • ошибки, связанные с неравносильностью переходов в неравенствах • ошибки, связанные с нахождением области определения. • неумение оценивать значение логарифма. Данные 2013 года: 0 баллов - 84%; 1 балл - 10%; 2 балла - 1% 3 балла - 5%.

25. Задача C4 (демонстрационный вариант 2014 года) Две окружности касаются внешним образом в точке K . Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D , прямая AK пересекает вторую окружность в точке C . а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. Ответ: 3,2

26. Задача C5 (демонстрационный вариант 2014 года) Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)= 2ax + |x2 - 8 x + 7| больше 1. Ответ: 0,5 < a < 4 + 6

27. Задача C6(демонстрационный вариант 2014 года) На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднееарифметическое этих чисел равно -3,среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно  -8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответ: а) 44, б) отрицательных, в) 17

28. Статистика по задачам С4-С6

29. Спасибо за внимание!