Moderne logik og dens historie (jf. Allen 1987, 515)

1. Moderne logik og dens historie(jf. Allen 1987, 515) Den moderne logik begynder at udvikle sin nuværende form med Frege, Peano og Peirce i slutningen af det 19. årh.. De nævnte gælder som stamfædre for den form for logik, den såkaldte Første Ordens Logik (forkortet FOL), som vi i det følgende vil beskæftige os med. Logik har en lang historie der går tilbage til før Aristoteles. Den modernepropositions- eller sætningslogik (forkortet PL), som er en del af FOL, har ligeledes rødder i det 19. årh. hos G. Boole (1815-1864) og A. De Morgan (1806-1871). Den modelteoretiske semantik, som er den moderne logiks fremherskende betydningsteori, blev udviklet af den polske logiker A. Tarski i 1930erne og 1940erne. FOL-modul1

2. G. Boole 1815-1864 Aristoteles 384-322 f. Kr. A. de Morgan 1806-1871 Gottlob Frege 1848-1925 G. Peano 1858-1932 Alfred Tarski 1902-1983 Charles S. Peirce 1839-1914 FOL-modul1

3. Hvad logik kan bruges tili humanistiske studier? Logik kan bruges til at undersøge strukturer der kan bære en mening. Det man kan finde ud af vha. logik, er hvordan den mening tingene bærer, er afhængig af den struktur de er dele af. FOL-modul1

4. Hvad er struktur? Fagsprogligt: 1. (generelt) Den indbyrdes sammenhæng mellem dele, der danner en helhed; den måde, de forskellige dele i en helhed er ordnet på i forhold til hinanden. 'S.' kan også betegne den ordnede helhed. Leksikalt: lat. structura, afledt af struere, bygge, opbygge, ordne), (indre) opbygning, sammenføjning. 2. Mere specielt sammenhængen mellem elementer, der er indbyrdes forbundne efter bestemte love, regler el principper. S. er da de lov- el. regelbestemte relationer mellem elementerne. (Lübcke 1996, 414) FOL-modul1

5. Der følger to billeder, modelsituation1 og modelsituation2 der skal bruges til demonstration og øvelser FOL-modul1

6. modelsituation1 FOL-modul1

7. modelsituation2 FOL-modul1

8. Mulige verdener, situationer,strukturer De viste billeder kan opfattes som repræsentationer af små begrænsede VERDENer eller SITUATIONer. Logikken kan bruges til at finde ud af hvilken STRUKTUR en sådan verden har og hvad man kan slutte (dvs. drage viden ud) af denne struktur. FOL-modul1

9. Logisk struktur,prædikativ struktur En situations logiske struktur har noget at gøre med hvad man kan (ud)sige om situationen, dvs. hvilke GENSTANDE der findes og hvilke EGENSKABER og RELATIONER de har. Genstande, egenskaber og relationer udgør det ’stof”, en situation eller verden logisk set er bygget af. Hvordan dette stof hænger sammen, dvs. hvilke genstande der har hvilke egenskaber og relationer, udgør situationens prædikative struktur. FOL-modul1

10. Logisk syntaks, semantik Det logiske sprogs struktur reflekteres i reglerne for at danne korrekte udtryk i dette sprog og kaldes logisk syntaks. For at undersøge de logiske forhold i en verden eller situation opbygger man en symbol-struktur eller et logisk sprog, der kan repræsentere strukturen i situationer og verdener. En situation eller verden der har samme struktur som et logisk sprog, kaldes en model for dette sprog. Med forholdet mellem et logisk sprog og dets mulige modeller beskæftiger sig den logiske semantik. FOL-modul1

11. Figur 1 Logik situation Undersøger hvilken struktur der passer til en situation semantik model Undersøger hvilke situationer/modeller der passer til en struktur FOL-modul1

12. Genstande og deres relationer Genstande kan på forskellige måder være relateret til hinanden: • rumligt: fx TERMOKANDE1 er [i modelsituation1]ved sidenafMÆLKEKARTON2 • biologisk: fx PERSON1 er kusine tilPERSON2 • social: fx PERSON3 er nabotilPERSON1 FOL-modul1

13. tilstand, begivenhed, handling og deres relationer Tilstande, begivenheder og handlinger der kan være del af en situation, står ikke kun i rumlige, men også i tidslige relationer til hinanden. Eksempel: i modelsituation 1 kunne en begivenhed (begivenhed 4) være at person 1 kikker i retning af person 2. En anden, senere begivenhed (begivenhed 6) kunne være at person 4 drikker en slurk kaffe. Der gælder altså: BEGIVENHED4 finder sted førBEGIVENHED6 FOL-modul1

14. Lokalisering i tid og rum I den virkelige verden er genstande, tilstande, begivenheder, handlinger og hele situationer rumligt og tidsligt LOKALISEREDE. Dvs. de befinder sig et bestemt sted i tid og rum I forbindelse med modelsituation2 kan man forestille sig to begivenheder: Begivenhed1(B1) = BARN4løftes op påGED og Begivenhed2 (B2) = BARN4sidder påGED hvor der gælder B1 før B2. FOL-modul1

15. Mening, virkning, information Strukturer kan bære mening. Isolerede genstande har ikke mening. Mening opstår i sammenhæng med eller relation til andre genstande. I den virkelige verden opstår sammenhænge og relationer gennem de virkninger genstande udøver på andre ting. Informationsteoretisk set består information i virkninger af en genstand (sender/kilde) på andre genstande (modtager). Mening er resultat af en processering (bearbejdelse) af sådanne påvirkninger til information om hvad disse påvirkninger betyder formodtageren. FOL-modul1

16. Logik som strukturbeskrivelse af en verden eller situation Billeder som de ovenfor viste (modelsituation 1 og 2) repræsenterer en afgrænset statisk verden/situation. Enhver verden eller situation har en bestemt struktur eller form. Den består i de (forskellige typer af) elementer (genstande) der ”beboer” eller udfylder denne verden samt deres egenskaber og relationer. En logik for en bestemt verden eller situation består i en strukturel eller formal beskrivelse (vha. af et formalt sprog) af denne verden, dvs. af de genstande, egenskaber og relationer verdenen består af. Dertil kommer regler der bestemmer hvilke slutninger man kan drage af denne beskrivelse. FOL-modul1

17. Logik og naturlige sprog Moderne logik er blevet udviklet som et formalt sprog (se glossar: formalt system) for at få fat i de egenskaber i naturlige sprog og tænkning der gør dem til videnssystemer. Som følge deraf har mange logiske strukturegenskaber nogle paralleller i naturlige sprog. En grundlæggende strukturegenskab kommer sprogligt til udtryk i forskellen mellem udtryk der identificerer objekter og udtryk der tilskriver dem egenskaber eller relationer. FOL-modul1

18. Prædikatslogik I det følgende opbygges der et logisk sprog der kan betegne objekter og tilskrive egenskaber og relationer til disse. Det kaldes et prædikatlogisk sprog. Dette sprog bliver senere udvidet vha. sætningsoperatorer, også kaldet konnektiver. Disse konnektiver gør det muligt at danne komplekse sætninger. FOL-modul1

19. Termer og propositioner I naturlige sprog bruger man nominaludtryk (egennavne, navneord, navneordsforbindelse) eller stedord til betegnelse af objekter, mens sætninger tilskriver egenskaber eller relationer til objekter. I prædikatslogikken (mere præcist: Første Ordens Prædikats-Logik) differentierer man på en lignende måde mellem termersom betegner objekter i verden, og propositioner (udsagn) som påstår noget om objekter i verden. FOL-modul1

20. Anmærkning til FOL Udtrykket første ordens logik hænger sammen med spørgsmålet hvilke typer ting man i det benyttede sprog kan gøre til genstand for en prædikation. I naturlige sprog kan man fx både sige noget om individer og de egenskaber eller relationer individerne har (i en bestemt situation). Det kan man ikke i et første ordens sprog. Her kan man kun sige noget om individuelle ting, men ikke om deres egenskaber eller relationer. Har man fx i et første ordens sprog et prædikat RØD( ), så kan man ikke sige FARVE(RØD), fordi så ville man bruge et anden ordens prædikat FARVE(FOL-PRÆDIKAT(GENSTANDSTERM)). FOL-modul1

21. Konstanter Der findes to hovedformer af termer: konstanter og funktioner. Konstanter svarer mest til sprogets egennavne og vil blive skrevet kursiv med store bogstaver fulgt af ét eller flere taltegn. Navnet ’Henrik’ for en bestemt person i en bestemt situation kunne f.eks. svare til konstanter som HENRIK1, HENRIK2, osv., afhængigt af hvor mange individer der findes i den undersøgte verden med navnet Henrik (se anmærkning). FOL-modul1

22. Anmærkning: logikkens entydighed Hermed antydes en vigtig forskel mellem naturlige sprog og FOL: Mens naturlige sprog er flertydige, har i FOL ethvert symbol kun én betydning. Navnet ’Henrik’ kan i naturlige sprog blive brugt til at referere til mange forskellige mennesker, mens enhver af disse ville blive repræsenteret vha. sin egen konstant i FOL. FOL-modul1

23. Funktioner FOL’s funktioner (funktion) svarer til sammensatte natursproglige nominaludtryk og kaldes i logikken også bestemte beskrivelser. De refererer til et objekt vha. nogle af objektets egenskaber eller relationer – såsom Henriks far eller Danmarks dronning. De skrives i FOL som udtryk der består af et funktionsnavn, skrevet med kursive små bogstaver, efterfulgt af en liste af argumenter (andre termer) som sættes i parentes. Den funktion der svarer til Henriks far, ville f.eks. i FOL skrives som far(HENRIK1). FOL-modul1

24. Propositioner:simple (atomiske) Usammensatte (atomiske) propositioner består i FOL af et prædikatsnavn (prædikat), skrevet med store kursivbogstaver, normalt uden efterfølgende taltegn, og en liste af argumenter, dvs. termer, sat i parentes. Disse atomiske propositioner svarer til usammensatte sætninger i naturlige sprog hvor prædikatsnavne svarer til verberne (udsagnsord). Sætningen Henrik elsker sin far kunne f.eks. svare til FOL-formelen ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1)). FOL-modul1

25. Øvelse 1 • Kik påmodelsituation2. På billedet kan der ses 6 forskellige personer, 1 ged og forskellige andre objekter (fx planter, tøj). (seanmærkning) • Find på bestemte entydige betegnelser (fx egennavne, funktionsudtryk) for bestemte objekter i den viste situation. • Undersøg hvilke objekter der har hvilke egenskaber (fx menneske, dyr, plante, brugsgenstand, mand, kvinde, tøj) eller relationer til andre objekter (fx på, ved siden af, far til, barn til). • Skriv 10 propositioner i vores prædikatslogiske sprog (fx MAND(PICASSO) eller LER(kone(PICASSO)) der svarer til situationens fakta (data). FOL-modul1

26. ANMÆRKNINGtil modelsituation2 De to voksne personer på billedet er Pablo Picasso og hans sidste kone, Jacqueline Roque. Børnene er dels Picassos (Claude, Paloma), ét er Jacquelines datter (Kathy) og den lille dreng på geden er gartner/portnerens dreng (Meurice). Stedet er haven i Picassos villa ”La Californie” i Cannes, Frankrig. Tiden er slutningen af 1950er eller begyndelsen af 1960er. FOL-modul1