170 likes | 513 Views
SAYISAL YÖNTEMLER. SAYISAL YÖNTEMLER. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü. 4.HAFTA İÇERİĞİ -Regula Falsi (Yer Değiştirme)Yöntemi -Sekant Yöntemi -Örnekler. Regula Falsi (Yer Değiştirme) Yöntemi. SAYISAL YÖNTEMLER.
E N D
SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 4.HAFTA İÇERİĞİ -Regula Falsi (Yer Değiştirme)Yöntemi -Sekant Yöntemi -Örnekler
Regula Falsi (Yer Değiştirme) Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER f(x) fonksiyonunun a ve b değerleri için f(a) ve f(b) ters işaretli ise ( f(a) ·f(b) < 0 ) bu aralıkta bir kök vardır. Bu yöntemde (a,b) aralığında fonksiyon uygun bir doğru ile yer değiştirilerek kök aranır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Kökün c ile b arasında olma şartı SAYISAL YÖNTEMLER f(a) ·f(c) > 0 Fks.nun f(a) ile f(b) arasında kalan yayı doğru halinde getirildiğinde x eksenini kesen c noktası kök değerine daha yakındır. y f(b) f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a c 0 b x kök f(c) f(a) c ile a aynı tarafta ise ( f(a) ·f(c) > 0 ) kökc ile b arasında aranır.
Kökün a ile c arasında olma şartı SAYISAL YÖNTEMLER f(a) ·f(c) < 0 Fks.nun f(a) ile f(b) arasında kalan yayı doğru halinde getirildiğinde x eksenini kesen c noktası kök değerine daha yakındır. y f(x) f(b) f(c) kök Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a 0 c b x f(a) c ile b aynı tarafta ise ( f(a) ·f(c) < 0 ) köka ile c arasında aranır.
c noktasının hesabı SAYISAL YÖNTEMLER f(a) ·f(c) < 0 a, c, f(a) üçgeni ile b, c, f(b) üçgeni benzerdir. y f(x) f(b) f(c) kök Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a 0 c b x f(a)
İşlem sırası SAYISAL YÖNTEMLER • Uygun alt (a) ve üst (b) değer seçilir (f(a) ·f(b) < 0 olmalı) • Bu değerler için f(a) vef(b)hesaplanır. • c değeri bulunur • f(c) değeri hesaplanır. Eğer f(c)= 0 ise kök c dir. • f(c)≠ 0 ise işleme devam • f(a) ·f(c) > 0 ise a = c • f(a) ·f(c) < 0 ise b = c • alınarak 1. basamağa geri dönülür. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
İterasyona son verme SAYISAL YÖNTEMLER • Regula Falsi (yer değiştirme) yönteminde iterasyona iki şekilde son verilir. • Bulunan c değeri için f(x) fonksiyonunun değeri 0 ise (f(x)= 0 ise); • |εt|< εkise; iterasyona son verilir. • Eğer bu durumlar sağlanmıyorsa c yer değiştirilerek işlemler tekrarlanır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
f(x) y 0,5 1 0 x 1,5 2 SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x) = x3 – 6x2 + 13,5x- 9 denkleminin kökünü, a=0,5 ve b=1,5 alarak Regula Falsi yöntemiyle çözünüz. (εk=0.001) 1) f(a) = -3,62 2) f(b) = 1,125 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(a) ·f(b) < 0 olduğundan (a,b) aralığında kök vardır 3)
SAYISAL YÖNTEMLER 4) f(c) = 0,4946 f(c) ≠ 0 ol.dan işleme devam 5) f(a) ·f(c) < 0 olduğu için b = c yazılarak 1. basamağa geri dönülür Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1) a = 0,5 b= 1,263157 2) f(a) = -3,62 f(b) = 0,4946 3) c = 1,171520 4) f(c) ≠ 0 ol.dan işleme devam f(c) = 0,1886 5) f(a) ·f(c) < 0 olduğu için b = c yazılarak tekrar 1. basamağa geri dönülür
SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kök c= 1.120643 | εt |< εk olduğu için iterasyona son verilir.
ÖDEV: • f(x)= 2x2 -5sinx denkleminin kökünü a =1,2 b=2 için εk = 0.0001 hassasiyetle Regula Falsi yöntemini kullanarak bulunuz. • x3 =79 denkleminin kökünü ikiye bölme ve Regula Falsi yöntemleriyle bulunuz εk = 0.0001 (alt ve üst değerleri grafik çizip kendiniz belirleyeceksiniz) SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
Sekant Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Newton-Raphson yönteminin uygulanması sırasında türev alınmasındazorluklarla karşılanabilir. Böyle durumlarda türev geriye doğru sonlu farklar yaklaşımı ile bulunur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y f(xk) f(xk-1) 0 x xk-1 xk kök
SAYISAL YÖNTEMLER Sonlu farklar yaklaşımıyla : y f(xk) f(xk-1) 0 x xk-1 xk Newton-R. nın genel hali Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü kök Bu yöntemde hesaplamalara başlamak için 2 taneilk tahmine ihtiyaç duyulur. Fakat tahminler arasında f(x)işaret değiştirmekzorunda değildir.
SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x) = e-x –x denkleminin kökünü Sekant yöntemiyle çözünüz. (xk-1= 0, xk=1, εk=0.001) f(xk-1) = f(0) = e0 – 0 = 1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f(xk) = f(1) = e-1 – 1 = -0,63212
SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kök = 0.56717
SAYISAL YÖNTEMLER • ÖDEV: • f(x)= 7.sinx.e-x -1 denkleminin kökünü Sekant yöntemini kullanarak bulunuz. (xk-1=0.5 , xk= -0.4, εk = 0.0001) • f(x)= 2.x2 - 5.sinx denkleminin kökünü Sekant yöntemini kullanarak bulunuz. (εk = 0.0001 , ilk tahmin değerlerini fonksiyonun grafiğini çizerek kendiniz belirleyiniz. ) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü