Desenvolvimento da compreensão dos números racionais nas crianças

1. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Didáctica da Álgebra 27 de Maio de 2006 Desenvolvimento da compreensão dos números racionais nas crianças Uma proposta pedagógica… Joan Moss & Robbie Case Professor Doutor João Pedro da Ponte Trabalho realizado por: Alexandra Simões Mª José Molarinho

2. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum Pertinência do estudo Os trabalhos teóricos e de pesquisa efectuados nos últimos 40 anos (p.e. Piaget, Kieren, Vergnaud, Behr, Post & Lesh...) sugerem que a construção do conhecimento do número racional é complexo e estruturado. (tradução de Kieren, 1988 p.162) Existindo consenso quanto à complexidade anteriormente referida não existe, no entanto, acordo sobre como facilitar a aprendizagem do conceito de número racional. (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992, p. 1 da versão digital) Kieren Behr, Harel, Post & Lesh

3. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum Introdução Quatro explicações possíveis para as dificuldades que os alunos apresentam ao trabalharem com os números racionais • os programas dão maior ênfase aos procedimentos (sintaxe) do que ao • verdadeiro significado dos conceitos (semântica) (Resnick, 1982); • os professores não levam em consideração as tentativas de explicação que as • crianças apresentam para que os números racionais tenham sentido para elas • (Kieren, 1992); • existem confusões entre as representações de número racional e inteiro quando, em especial, os racionais não estão suficientemente diferenciados dos inteiros (Kieren, 1995; Nunes & Bryant 1996); • a notação (em especial a dos decimais) é um problema real apesar dos • programas a abordarem como sendo algo óbvio e transparente (Hibert, 1992); • Os investigadores referem a necessidade de levar as crianças a desenvolver um conceito mais profundo dos números racionais para fazerem uma aprendizagem significativa. Assim, são recomendadas reformas curriculares e é nesta base que surge a proposta pedagógica apresentada neste artigo.

4. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum Enquadramento teórico Segundo Kieren, os investigadores que estudam os racionais podem adoptar duas perspectivas. • a natureza dos números racionais como construção matemática • as subconstruções que lhe são inerentes (ex: razão, quociente, medida, operador) epistemológica Perspectivas • identificar os esquemas que as crianças possuem acerca dos racionais • e o modo como desenvolvem esses esquemas quando é introduzido o carácter formal dos racionais psicológica Case (1985) Resnick & Singer (1993)

5. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum psicológica Duas unidades básicas relativas ao número racional: • estrutura global para a avaliação proporcional • (Noelting, 1980a, 1980b; Renick & Singer, 1993); • estrutura numérica para “splitting” or “doubling” (repartir ou dobrar) • (Case, 1985; Confrey, 1994, Kieren, 1992). Surgem isoladas por volta dos 9/10 anos Aparecem coordenadas por volta dos 11/12 anos com a compreensão semiabstracta da relação de proporção e das fracções simples (½ ou ¼) Consolidam-se no final do high school com a construção do sistema dos racionais TAREFAS

6. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum TAREFAS As tarefas utilizadas neste currículo experimental foram construídas assentes em 4 etapas: • visualizar objectos (ex: jarro de água) para inferir termos proporcionais (ex: cheio, quase cheio, com cerca de metade, quasevazio, vazio, ...) de forma a estimar percentagens; • encorajar as crianças a utilizar o seu conhecimento intuitivo de percentagem; • extrapolar, intuitivamente, das percentagens para os decimais tendo por base a visualização; • utilizar, indiferentemente, fracção, decimal e percentagem

7. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum • CURRÍCULO • As seguintes considerações levaram a alterar a ordem do currículo (percentagens, decimais e, depois, fracções): • aoiniciar o estudo dos racionais pelas percentagens permite às crianças utilizarem a sua intuição; • ao recorrer a algo que lhes é familiar (“number ribbon”) • dá-se a consolidação da aprendizagem de forma intuitiva; • o que permite às crianças não terem constrangimentos formais de cálculo (procedimentos) que lhe são estranhos; • ao permitir que as crianças façam as conversões intuitivamente entre percentagens, decimais e fracções alargamos o seu campo de compreensão e melhoramos a construção dos racionais; • ao recorrer a situações do quotidiano (ex: notas escolares, saldos, taxas, ...) existe uma contextualização das aprendizagens o que as potencializa e lhes atribui significado.

8. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum Metodologia Foi desenvolvido um currículo experimental para o ensino dos números racionais baseado na intuição de razões e na sua representação através de diagramas (“number ribbon”) e percentagens. PARTICIPANTES 29 alunos do 4º ano 16 alunos para o grupo experimental 13 alunos para o grupo de controlo DESENHO - The Rational Number Test - Ambos os grupos foram submetidos a aulas de 40 minutos durante cerca de 5 meses. O grupo experimental a 20 sessões e o grupo de controlo a 25. Pré-teste Pós-teste

9. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum CURRÍCULO EXPERIMENTAL - o ensino das fracções é introduzido através das percentagens encorajando a espontaneidade das crianças – intuição; CURRÍCULO DE CONTROLO - o ensino das fracções é introduzido seguindo o programa NOTA: Foram desenvolvidas actividades para pequeno e grande grupo seguidas de discussão, em ambos os currículos. ENTREVISTAS DE AVALIAÇÃO - Entrevistas Pré-teste com 41 itens Pós-teste com 45 itens

10. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum Resultados • Os resultados do estudo foram analisados em seis categorias: • Nonstandard Computation (Cálculo não padronizado) • Compare and Order (Comparação e ordem) • Misleading Appearance (Questões enganadoras) • Word Problems • Interchangeability of Representations (“Troca” entre representações) • Standard Computation (Cálculo padronizado) • A análise dos resultados globais mostraram um maior refinamento das explicações e conjecturas apresentadas pelo grupo experimental. No entanto, também o grupo de controlo revelou evolução do pré para o pós-teste.

11. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum Discussão dos resultados • Existe uma diferença qualitativa no grupo experimental, que mostra uma abordagem mais profunda da proporcionalidade e dos racionais. • Esta investigação sublinha as linhas mestras dos estudos de Confrey (1995), Kieren (1995), Mack (1993) e Streefland (1991), que apontam para: • a) maior ênfase no significado do racional do que nos procedimentos; • b) maior ênfase na natureza proporcional dos racionais, destacando a diferença entre racional e inteiro; • c) maior ênfase nas estratégias naturais e espontâneas das crianças para analisar e resolver problemas; • d) usar formas alternativas de representações como mediadora entre as quantidades proporcionais e a sua representação numérica convencional (ex: como alternativa às tartes)

12. Developing Children's Understanding of Rational Numbers: A New Model and an Experimental Curriculum • Os investigadores deste estudo acreditam que as crianças devem apropriar-se das várias representações dos racionais para um entendimento mais profundo do sistema dos racionais como um todo. • Os alunos do grupo experimental demonstraram mais confiança, flexibilidade e estratégias inovadoras (não ensinadas) para resolver problemas que envolviam racionais não standarizados, apropriando-se do number sense apresentado no NCTM (1989).