Ecuatiile lui Hamilton

1. Ecuatiile lui Hamilton Ecuatiile lui Newton: depind explicit de coordonatele x,y,z Ecuatiile Lagrange: sunt aceleasi pentru orice set de coordonate generalizate Formulari echivalente: Principiul lui Hamilton nu se refera la nici un fel de coordonate totul este legat si inclus in integrala actiunii F. Newtonian F. Lagrangian F. Hamiltonian • Desciu aceleasi fizici si conduc la aceleasi rezultate • Diferentele constau in: - Problemele legate de simetrii si invarianta mai evidente - Flexibilitate in alegerea transformarilor de coordonate F. Hamiltonian puternic conectat cu dezvoltarea: • Ecuatia Hamilton-Jacobi. Teoria clasica a perturbatiilor • Mecanica Cuantica. Mecanica Statistica

2. F. Lagrangian F. Hamiltonian n ecuatii diferentiale de ordinul 2 cu 2n conditii initiale Putem transforma acest set de n ecuatii diferentiale de ordin 2 intr-un set de 2n ecuatii diferentiale de ordinul 1, mult mai usor de integrat ? Introducem notiunea de moment conjugat Spatiul Configuratiilor Spatiul Fazelor Care este trucul matematic ce permite o asemenea transformare ?

3. Transformarea Legendre Definim o functie de doua avriabile: Derivata sa totala este Definim:

5. Definim functia Hamilton Semn opus celui din transf. Legendre Derivata totala: Ecuatiile canonice ale lui Hamilton

6. Deci 2n ecuatii diferentiale de ordinul intai Legatura dintre moment si viteze • Relatie “data” de formalismul Newtonian Echivaleta cu ecuatiile de miscare Newton/Lagrange Pentru sisteme inchise functia lui Hamilton este energia totala a sistemului Pentru un sistem in care T este o functie omogena cuadratica de viteza energia totala a sistemului este o constanta a miscarii si este functia lui Hamilton.

7. Exemplu: Fie un corp de masa m supus actiunii unei forte Hooke: Proprietatile functiei Hamilton a) Conservarea Hamiltonianului

8. Hamiltonianul se conserva daca nu depinde explicit de timp Hamiltonianul poate fi sau nu energia totala • Daca este, inseamna conservarea energiei • Chiar daca nu este, H ramane inca o constanta a miscarii b) Cordonata Ciclica Orice coordonata care nu este continuta in Hamiltonianul sistemului se numeste “coordonata ciclica”, iar impulsul canonic conjugat cu coordonata respectiva este o marime care se conserva

9. Transformari canonice Hamiltonieni si Kamiltonieni a) Cazul independent de timp este canonica daca si numai daca Transformarea exista o functie astfel incat b) Cazul dependent de timp este canonica daca si numai daca Transformarea exista o functie astfel incat pentru un t arbitrar fixat t=t0 unde

10. Fie o transformare de coordonate in spatiul fazelor Kamiltonianul sist. Cum stabilim legatura dintre Hamiltonian si Kamiltonian ? Conform principiului lui Hamilton, traiectoria reala a unui sistem clasic se poate obtine din variatia integralei actiunii Daca transformarea este canonica

11. In acord cu transformarea Legendre relatie care nu se schimba daca L este inlocuit cu Relatii care difera doar prin termeni constanti, a caror variatie este nula la aplicarea principiului lui Hamilton Hamiltonianul si kamiltonianul sunt legati prin relatia: F= FUNCTIE GENERATOARE F poate fi exprimata ca o functie de orice set arbitrar de variabile independente

12. Rezultate convenabile se pot obtine daca F este exprimat ca o functie de n variabile vechi si altele n noi si bineinteles timp. Cele n variabile vechi sunt exact si daca noile variabile sunt toate Combinatiile posibile: Variabile independente

13. Un calcul analog TEOREMA Consideram un sistem asupra caruia actioneaza o forta externa data. Presupunem ca starea dinamica a sistemului este determinata de un set de variabile q,p=q1,…qn, p1,…,pn iar hamiltonianul sistemului H=H(q,p,t) Evolutia in timp a variabilelor q si p este data de ecuatiile lui Hamilton

14. Daca efectuam o transformare de coordonate si daca transformarea este canonica, adica exista o functie F(q,p,t) astfel incat pentru un moment de timp fixat t=t0avem: unde atunci ecuatiile de miscare in termenii noilor variabile Q si P vor fi unde Daca determinantul matricii nenul

15. Prin TRANSFORMARE CANONICA intelegem acea transformare care independent de forma Hamiltonianului, pastreaza neschimbata forma ecuatiilor lui Hamilton !!!