Pierangela Accomazzo Silvia Beltramino Ercole Castagnola Luigi Tomasi

1. Convegno UMI-CIIM, Salerno 17-18-19 ottobre 2013 Fare matematica nella scuola di tutti dedicato a Emma Castelnuovo Una proposta per la matematica del Primo Biennio tra contenuti e attività (scuola sec. di II grado) Pierangela Accomazzo Silvia Beltramino Ercole Castagnola Luigi Tomasi

2. La Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari di Matematica – I Biennio Pierangela Accomazzo Marilina Ajello Gianpaolo Baruzzo Silvia Beltramino Sebastiano Cappuccio Maria Angela Chimetto Rossella Garuti Raffaella Manara Paola Ranzani Riccardo Ruganti Luigi Tomasi Sergio Zoccante Coordinatore: Ercole Castagnola

3. Le linee guida indicate dalla CIIM: Coerenza con le Indicazioni Nazionali e la normativa in vigore sull’obbligo scolastico. Continuità con le Indicazioni Nazionali per la Scuola del Primo Ciclo. Flessibilità delle proposte didattiche per un facile adattamento a ogni corso di studi della Scuola secondaria di II grado. • Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di sicura affidabilità e già sperimentati. • Particolare attenzione alle “novità” delle Indicazioni relative agli ambiti “Geometria” e “Dati e previsioni”. • Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello strumento informatico. • Modalità per la realizzazione di momenti di Didattica laboratoriale. • Indicazioni su pratiche didattiche da evitare. • Indicazioni sulle prove di verifica.

4. Due proposte di percorso … MATEMATICA Percorso ‘analitico’ Percorso ‘sintetico’ … a seconda degli ordini di scuola e degli orari curricolari per la matematica

5. I quadri orari della scuola del riordino: i corsi con Matematica ‘debole’ COSA? Quali argomenti sono irrinunciabili? Che cosa considerare già svolto negli anni precedenti? COME? Con quale profondità, con quali metodologie? COME valutare?

6. Le scelte della Commissione: • Non penalizzare nessun ambito • Evidenziare i collegamenti tra i vari ambiti • in orizzontale (Nuclei diversi) • in verticale (primo/secondo Ciclo) • Articolare gli argomenti in ‘blocchi’ tematici, con • indicazioni metodologiche • numero di ore indicativo • Per ogni ‘blocco’ si suggeriscono una o più attività

7. Un esempio di attività di Aritmetica e algebrapresente in rete: Il livello del mare Si parte dal sito: http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/ e si apre la seguente pagina

8. Scendendo lungo la pagina si arriva a Si clicca su m@t.abel e si apre la pagina

9. Si clicca su NUMERI e si arriva alla pagina

10. dove sono contenute le attività m@t.abel attualmente disponibili per il nucleo NUMERI. Scorrendo lungo la pagina si arriva a

11. Cliccando su «IL LIVELLO DEL MARE» si arriva a

12. da cui è possibile sia scaricare la versione testuale («zippata») che utilizzare la versione multimediale

13. I parte – Aritmetica e algebra • Le Indicazioni/Linee guida (Aritmetica e algebra) • Una proposta di percorso (“sintetico”) per Aritmetica e algebra – I biennio • Un’attività da fare in classe (Il livello del mare, m@t.abel) • Cosa ci dicono le prove INVALSI su Aritmetica e algebra al termine del I biennio? • Considerazioni didattiche

14. La suddivisione oraria del primo anno Aritmetica e algebra Percorso “sintetico”

15. Percorso “sintetico” – Primo anno Percorso “sintetico”

16. Percorso “sintetico” – Secondo anno Percorso “sintetico”

17. ARITMETICA E ALGEBRA Nelle Indicazioni nazionali si legge: “il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico” […]“lo studente acquisirà la capacità di eseguire calcoli con le espressioni letterali sia per rappresentare un problema (mediante un’equazione, disequazioni o sistemi) e risolverlo, sia per dimostrare risultati generali, in particolare in aritmetica”

18. L’uso delle lettere non si riduca al solito calcolo algebrico, ma anzi lo preceda e serva ad esprimere le proprietà dei numeri Indicazioni del “Percorso Sintetico” • Pensa un numero intero • somma ad esso 12 • moltiplica il risultato per 5 • sottrai 4 volte il numero pensato • somma al risultato 40 • Che numero hai ottenuto? m@t.abel L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica Prova ora a “generalizzare” l’espressione scritta, in modo indipendente dal numero pensato 5( n + 12) – 4n + 40 = 100 + n

19. Eseguire operazioni tra numeri • a mente • con gli usuali algoritmi scritti • con strumenti • valutando quale strumento può essere più opportuno • Indicazioni del “Percorso Sintetico” La gara di calcolo mentale ovvero … altri trucchi “magici” Considera il prodotto 15·25 puoi riscriverlo come (20 − 5)·(20 + 5) quindi per la solita proprietà, hai 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5 dopo le semplificazioni ottieni 20·20 + 20·5 – 5·20 − 5·5 Cioè 202 − 52. Prova tu ora a “calcolare” in questo modo i prodotti seguenti: 28·32 =…………………………………………………………… 97·103 =…………………………………………………………… L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica • Interpretare geometricamente l’equivalenza di due formule • esprimere con parole e con formule le regolarità osservate • Indicazioni del “Percorso Sintetico”

20. Si sa che il prezzo p di un abito ha subìto una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito? Dalla congettura, all’argomentazione, alla dimostrazione: i simboli per esprimere, comunicare, generalizzare e risolvere problemi Indicazioni del “Percorso Sintetico” L’aritmetica aiuta l’algebra e l’algebra aiuta l’aritmetica

21. Un esempio di attività per il I anno m@t.abel Il livello del mare (m@t.abel). L'attività affronta i problemi legati alle stime degli ordini di grandezza. In effetti, saper stimare correttamente un ordine di grandezza, o saper approssimare dei valori, rappresenta una difficoltà diffusa. Proponendo problemi anche legati a situazioni reali, si capisce che in certi casi è importante l'ordine di grandezza, mentre il numero di cifre significative diventa secondario. All'inizio dell'attività si introduce la notazione scientifica per rappresentare i numeri e si discute l'uso di questa scrittura per valutare l'ordine di grandezza. Si tratta di strumenti fondamentali per un cittadino, perché spesso arrivano dai mass media informazioni che vengono accolte con scarsa capacità di analisi e senza un adeguato "senso dei numeri". Analizzando e ragionando su un importante tema d'attualità ("di quanto si innalzerebbe il livello dei mari se tutti i ghiacciai si sciogliessero?"), si affrontano in un caso concreto le diverse problematiche inerenti l'ordine di grandezza, la precisione, l'approssimazione. Il livello del mare

22. Notazione scientifica dei numeri: precisione e ordine di grandezza m@t.abel (5,6 E 5) + (1,4 E 5) (3,6 E 2) + (1,1 E 5) (7,2 E 3)  (5,4 E 2) (4 E 2)  (1,1 E 5) (4 E 8)  (3 E 1) (9,6 E 2) + (1,4 E 0) (3,6 E 2)  (1,1 E 5) (3,6 E 2)  (1,1 E 4) (3,6 E 2) : (4 E 5) Qual è il risultato? Un punto critico nel trattare le operazioni con la notazione scientifica è la propagazione degli errori nel calcolo approssimato. Il livello del mare

23. Consigli e sconsigli • È importante mantenere forte, soprattutto nelle prime manipolazioni algebriche, il significato delle formule e far capire all’allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso. • Nell’affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca del valore semantico (il ‘senso’ di una formula in un certo contesto) e l’abilità sintattica (cioè di calcolo formale) che è in parte legata all’addestramento.

24. Consigli e sconsigli • Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo • Invitare gli allievi ad analizzare tabelle di valori e a esprimere con parole e con formule le regolarità osservate (eventualmente anche mediante rappresentazioni grafiche), a fare previsioni … un utile strumento di lavoro è il foglio elettronico o la costruzione di alcuni semplici algoritmi implementabili sul calcolatore

25. Non trasferiscono all’ambito numerico il raccoglimento a fattor comune. Il calcolo simbolico è un campo di esperienza recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. L’algebra non è strumento di pensiero PROVE INVALSI Classe II sup. – 2011 Non risp A B C D 2,4 35,0 1,9 22,0 38,7

26. È difficile non essere d’accordo con quanto riportato sul Quaderno SNV • Solo poco più del 20% degli studenti riconosce che 1037 +1038 = 111037, nonostante le altre opzioni possibili dovrebbero risultare palesemente scorrette in base a semplici e immediate considerazioni sugli ordini di grandezza dei numeri in gioco. È plausibile supporre che se la domanda avesse fornito (anziché l'espressione numerica 1037 + 1038) l'espressione simbolica x37+ x38, un numero maggiore di studenti avrebbe raccolto x37 a fattor comune, trovando così l'espressione equivalente corretta x37(1 + x). Gli studenti non sembrano essere in grado di trasferire in un ambito più specifico il procedimento di raccolta a fattor comune, tipico della pratica didattica messa in opera nell'insegnamento-apprendimento del calcolo letterale. Il calcolo simbolico, quindi, lungi dal generalizzare le proprietà dei numeri, sembra essere visto, paradossalmente, come un campo di esperienza sintattica recintato e non comunicante con gli oggetti numerici. In altri termini non sembra che gli studenti siano in grado di usare l’algebra come strumento di pensiero. • In ogni caso la presenza di un numero così rilevante di risposte errate in domande che ricalcano esercizi tipici della prassi didattica, svolti sia nel primo, sia nel secondo ciclo di scuola secondaria, invita a una riflessione sull’opportunità didattica di molte attività di manipolazione simbolica fini a se stesse che sembrano avere come risultato, per tanti studenti, quello di inibire strumenti di controllo semantico (in questo caso più che sufficienti per determinare la risposta corretta).

27. Se il contesto è quello delle ‘lettere’ gli allievi individuano più facilmente la proprietà delle operazioni a cui fare ricorso. I registri numerico ed algebrico sembrerebbero costituire, per molti, campi di esperienza separati. PROVE INVALSI Classe II sup. – 2012

28. Ma già alla fine del I Ciclo i problemi non mancano! [da PN 2012] PROVE INVALSI Classe II sup. – 2012

29. Percorso “analitico” – Aritmetica e algebra

30. Un esempio di attività di Geometria presente in rete: Ombre e proporzionalità Si parte dal sito: http://risorsedocentipon.indire.it/home_piattaforma/ e si apre la seguente pagina

31. Scendendo lungo la pagina si arriva a Si clicca su m@t.abel e si apre la pagina

32. Si clicca su GEOMETRIA e si arriva alla pagina

33. dove sono contenute le attività m@t.abel attualmente disponibili per il nucleo GEOMETRIA. Scorrendo lungo la pagina si arriva a

34. Cliccando su «OMBRE E PROPORZIONALITÀ» si arriva a

35. da cui è possibile sia scaricare la versione testuale («zippata») che utilizzare la versione multimediale

36. II parte - Geometria • Le Indicazioni/Linee guida (Geometria) • Una proposta di percorso (“sintetico”) per la Geometria – I biennio • Un’attività da fare in classe (Ombre e proporzionalità, m@t.abel) • Cosa ci dicono le prove INVALSI sulla geometria al termine del I biennio? • Considerazioni didattiche

37. Geometria La suddivisione oraria del primo anno Geometria Percorso “sintetico”

38. Percorso “sintetico” – Primo anno Percorso “sintetico”

39. Percorso “sintetico” – Secondo anno Percorso “sintetico”

40. GEOMETRIA Nelle Indicazioni nazionali si legge: “Il primo biennio avrà come obiettivo la conoscenza dei fondamenti della geometria euclidea del piano…. l’approccio euclideo non sarà ridotto a una formulazione puramente assiomatica”. […]“La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata sia mediante strumenti tradizionali (riga, compasso,…) sia mediante strumenti informatici di geometria.”

41. Si affronta il nodo concettuale delle similitudini, partendo dall’analisi disituazioni reali fino a giungere al nodo cruciale del teorema di Talete, unitamente alle sue conseguenze nel piano favorendo l’acquisizione della consapevolezza del suo ruolo fondamentale nella geometria piana. Indicazioni del “Percorso Sintetico” Un esempio di attività per il II anno m@t.abel Ombre e proporzionalità (m@t.abel). Gli studenti sono coinvolti in situazioni problematiche, in cui devono individuare relazioni significative tra grandezze di varia natura (proporzionalità diretta,…), quindi costruire modelli a partire da dati, utilizzando le principali famiglie di funzioni (lineari,…). Infine entrando nello specifico delle similitudini, da un punto di vista teorico, ne analizzano proprietà e invarianti, collegandole alle situazioni reali ad esse riconducibili. Ombre e proporzionalità

42. Talete e l’altezza della piramide m@t.abel Ombre e proporzionalità Quanto è alto questo lampione?

43. Bastoncini, gnomoni, obelischi m@t.abel Ombre e proporzionalità

44. La similitudine: applicazioni ed approfondimenti con un software di geometria dinamica m@t.abel Ombre e proporzionalità

45. Consigli (geometria) GEOMETRIA • Mantenere la geometria connessa agli altri ambiti e sottolineare continuamente i collegamenti tra di loro • La geometria non è un formulario per trovare lunghezze, aree e volumi; è necessario presentarla come un ambito molto importante per scoprire, sperimentare, visualizzare, argomentare proprietà e collegamenti tra una teoria matematica e il mondo reale Non partire da un’impostazione assiomatica, ma mettere in evidenza l’importanza dei teoremi, senza far imparare troppe dimostrazioni; è impossibile, non c’è il tempo e si perderebbe il significato di quelle poche che sono veramente importanti: dimostrare tutto è come non dimostrare nulla. Argomentare e congetturare vengono prima di dimostrare

46. e… Sconsigli (geometria) Si sconsiglia di trascurare la geometria: vuol dire privare gli allievi di un ambito estremamente importante per l’apprendimento della matematica e tarpare le ali anche agli altri ambiti del sapere matematico Si sconsiglia di chiedere definizioni imparate solo a memoria; prima occorre capire e costruire i concetti e poi definire; gli allievi comprendono anche se non sanno ancora definire GEOMETRIA • Si sconsiglia di presentare una dimostrazione in modo dettagliato (mettendo cioè in evidenza i vari passi e che cosa si utilizza per giustificarli) se prima non è chiaro il significato che ha “il dimostrare” e che cosa esso presuppone (una teoria, degli assiomi,…)

47. GEOMETRIA - PROVE INVALSI Classe II sup. – 2011 Da fare!

48. GEOMETRIA - PROVE INVALSI Classe II sup. – 2012

49. Un cenno al problema della verifica e della valutazione • L’attenzione ai comportamenti degli studenti • Una griglia per l’osservazione in laboratorio • Prove che tendano a verificare la spendibilità delle nozioni apprese in contesti diversi

50. http://www.invalsi.it