Fractales parte 2

1. Fractalesparte 2

2. Iteración de funciones • Para iterar una función f(x), se aplica inicialmente un valor x = a0. Obtenemos a1 = f (a0), a2 = f (f(a0)), etc. • Podríamos considerar una secuencia infinita de iteraciones. • a0, a1 = f (a0), a2 = f (a1), a3 = f (a2), ...

3. Iteración de funciones • Ejercicio 1 • Sea f(x) = x2 – 0.75 • Encuentre las primeras 30 iteraciones (usar Excel). • Para a0  = 1. • Para a0  = 2. • ¿Las iteraciones anteriores parecen converger a un número o región en particular?

4. Iteración de funciones Ejercicio 2 Considera la siguiente función, donde c es un número complejo cualquiera: • Encuentre las primeras 30 iteraciones (usar Excel). • Para c= -1, c= -0.1 + 0.75i, c= 0, c= -0.1 - 0.75i. • ¿Cuáles de las iteraciones anteriores parecen converger a un número o región en particular?

5. Iteración de funciones Ejercicio 3 Suponiendo el siguiente programa para la función M5: 1. function M5(complexz) { 2. complex c = z; 3. for(int i=0; i < 30; i++){ 4. if (5 ≤ modulo(z) ) then return(i); 5. z = z*z + c; 6. } 7. return(i); 8. } Determine: a) M5(-1+i) b) M5(-1-i) c) M5(0.4+0.1i) d) M5(5+3i) e) M5(0.1)

6. Iteración de funciones Ejercicio 4 Suponiendo el siguiente programa para la función J5: 1. function J5(complex z, complex c) { 2. for(int i=0; i < 30; i++){ 3. if (5 ≤ modulo(z) ) then return(i); 4. z = z*z + c; 5. } 6. return(i); 7. } Determine: a) J5(-1-i, 0.2+0.8i) b) J5(-1+i, 0.2+0.8i) c) J5(0.4+0.1i, 0.4+0.1i) d) J5(5+3i, i) e) J5(0.1, 0.1)

7. Fractales IFS (Iterated Function System) • Son fractales que se obtienen coloreando puntos en el plano complejo, de acuerdo al comportamiento de cada número complejo en funciones iteradas.

8. Conjunto de Mandelbrot Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción: Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo. Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

9. Conjunto de Mandelbrot

10. Conjunto de Mandelbrot

11. Conjunto de Mandelbrot: Autosimilitud Ver: http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

12. Conjunto de Mandelbrot Ejercicio 5 • ¿Cuáles de los siguientespuntospertenecen al conjunto de Mandelbrot? • c = 0.5 i • c = i • c = 0.5 – i • Puedes verificarlo usando las ligas: • http://www.bugman123.com/Fractals/Mandelbrot.html • http://facstaff.unca.edu/mcmcclur/java/Julia/

13. Conjunto de Mandelbrot Diferentes colores Defina un color para el conjunto (puede ser negro o el tono más oscuro) además de una escala de colores (1 a n). A cada punto cdel plano complejo aplique la siguiente estrategia de coloreo: • Si c es un punto que no escapa al infinito al iterar la función, entonces c pertenece al conjunto de Mandelbrot (coloree el punto del color elegido para el conjunto). • De lo contrario, observar cuál es la primera iteración en que • Coloree el punto c con el color asociado a esa iteración.

14. Conjunto de Mandelbrot Diferentes colores Hay distintas maneras de colorear el conjunto de Mandelbrot. Por ejemplo: Si en las iteraciones 1 – 4, elegir color 1. Si en las iteraciones 5 – 8, elegir color 2. Si en las iteraciones 9 – 12, elegir color 3. Etc.

15. Planos alternos para el Conjunto de Mandelbrot Plano 1/m Se itera esta función: Mandelbrot Set (in the 1/mu plane) :x in [-4.24221693,1.54934580];y in [-2.92373697,2.86782575].

16. Planos alternos para el Conjunto de Mandelbrot Plano 1 / (m + 0.25)

17. Conjunto de Julia Nombrados así en honor al matemático francés Gaston Julia, quien investigó sus propiedades en 1915 – 1918. Sea c un número complejo cualquiera. Elegir un valor de z0. Iterar la función: Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z0 pertenece al conjunto de Julia con parámetro c; y si no, queda excluido del mismo.

18. Conjunto de Julia Ejercicio 6 • ¿Cuáles de los siguientespuntospertenecen al conjunto de Julia con parámetroc = – 1 ? (usar Excel) • z = 0.5 i • z = i • z = 0.5 – i • Puedes dibujar el fractal: • http://www.bugman123.com/Fractals/Mandelbrot.html • http://facstaff.unca.edu/mcmcclur/java/Julia/

19. Conjuntos de Julia Si el parámetro c del conjunto de Julia, pertenece al conjunto de Mandelbrot, entonces se produce un conjunto conexo. Si el parámetro c del conjunto de Julia, NO pertenece al conjunto de Mandelbrot, entonces se produce un conjunto disconexo (también llamado polvo Fatou o conjunto de Cantor). Obsérvalo: http://www.bugman123.com/Fractals/Mandelbrot.html http://facstaff.unca.edu/mcmcclur/java/Julia/

20. Conjunto de Julia Tomando al parámetro c = -0.75 Pertenecen al conjunto los valores de z0 que no escapan al iterar la función.

21. Conjunto de Julia Tomando al parámetro c como el centro del círculo de arriba del conjunto de Mandelbrot.

22. Conjunto de Julia Tomando al parámetro c = 0.4

23. Un fractal clásico más:Conjunto de Cantor • El conjunto de Cantor toma su nombre de Georg F. L. P. Cantor que en 1883 lo utilizó como herramienta de investigación. • Su verdadero creador fue Henry Smith, un profesor de geometría de Oxford, en 1875. Es uno de los fractales más antiguos.

24. Construcción del Conjunto de Cantor n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

25. Conjunto de Cantor Completar la tabla:

26. Conjunto de Cantor Considerar la longitud del segmento que se elimina en cada iteración: 1/3, 2/9, 4/27, etc. ¿Cuál es la suma total de la longitud de los segmentos eliminados?

27. Conjunto de Cantor El conjunto de Cantor es el conjunto de los puntos que quedan al final: los 1/3n donde n corresponde a los números naturales. Es un conjunto disconexo de puntos sobre un segmento de recta con muy interesantes propiedades.