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Bloque I * Tema 009

Bloque I * Tema 009. ECUACIONES POLINÓMICAS. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Para resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA :

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  1. Bloque I * Tema 009 ECUACIONES POLINÓMICAS Matemáticas Acceso a CFGS

  2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO • Para resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. • PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: • Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta • x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a • SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: • Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta • a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a • TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA • Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. • Ello equivale a cambiar todo de signo. • - x = a  x = - a Matemáticas Acceso a CFGS

  3. Ejemplos • 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 • x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 • 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 • x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7 • x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE • 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 • x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x  INFINITAS SOLUCIONES • 4. Resolver la ecuación: (x / 3) – 2 = 6 • x / 3 = 6 + 2  x / 3 = 8 • x = 3.8  x = 24 • 5. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 • 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 • 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18 • – 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x Matemáticas Acceso a CFGS

  4. ECUACIÓN DE 2º GRADO • Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 • ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA • Tiene la forma a.x2 + c = 0 • a.x2 = - c  x2 = - c / a  x = +/- √ (- c / a) • EJEMPLO_1 • Sea 9.x2 - 16 = 0 • 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9)  x = 4 / 3 y x = - 4 / 3 • EJEMPLO_2 • Sea 5.x2 - 10 = 0 • 5.x2 = 10  x2 = 10 / 5 = 2  x = +/- √ 2  x = √ 2 y x = - √ 2 Matemáticas Acceso a CFGS

  5. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA • Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 • x . (a.x + b ) = 0  x = 0 es un raíz  •  a.x + b = 0  x = - b / a es otra raíz • EJEMPLO_1 • Sea 2.x2 + 8.x = 0 • x . (2.x + 8 ) = 0  x = 0 es una raíz  •  2.x + 8 = 0  x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz • EJEMPLO_2 • Sea 2.x2 + √2.x = 0 • x . (2.x + √2 ) = 0  x = 0 es una raíz  •  2.x + √2 = 0  x = - √2 / 2 es la otra raíz Matemáticas Acceso a CFGS

  6. Solución general de ecuaciones de segundo grado • 1.‑ Restamos c a ambos términos: • a.x2 + b.x = ‑c • 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: • 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c • 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: • 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c • (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c • 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: • 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) • 5.‑ Restamos b a los dos términos: • 2.a.x = ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) • 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: • ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) Con el + hallamos una • x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra • 2.a Matemáticas Acceso a CFGS

  7. EJEMPLO 1 • 3.x2 - 5.x – 2 = 0  a = 3 ,, b = -5 ,, c = – 2 • + 5 +/- √(25 + 24) (5 + 7)/6 = 12/6 = 2 • x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------‑---‑ = • 6 (5 – 7)/6 = -2/6 = - 1/3 • EJEMPLO 2 • x2 - 5.x + 8 = 0  a = 1 ,, b = -5 ,, c = 8 • + 5 +/- √(25 – 32) • x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑------‑ = No hay raíces reales • 2 • EJEMPLO 3 • 9.x2 - 12.x + 4 = 0  a = 9 ,, b = -12 ,, c = 4 • + 12 +/- √(144 – 144) 12/18 = 2/3 • x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------‑---‑--- = • 18 12/18 = 2/3 Matemáticas Acceso a CFGS

  8. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES • En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : • ‑ b c • x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ • 1 2 a 1 2 a • ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) • x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- • 1 2.a 2 2.a • Sumando ambas: • ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) • x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------- + ---------------------------------- = • 1 2 2.a 2.a • ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) - 2.b - b • = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------- = ------- = ----- • 2.a 2.a a Matemáticas Acceso a CFGS

  9. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES • En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : • ‑ b c • x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ • 1 2 a 1 2 a • ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) • x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- • 1 2.a 2 2.a • Multiplicando ambas: • [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] • x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------- . --------------------------------= • 1 2 2.a 2.a • (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) 2b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) 4.a.c c • = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = -------- = ----- • 4.a 2 4.a 24.a 2 a Matemáticas Acceso a CFGS

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