Introduzione

1. Introduzione Geometria descrittiva dinamica Presentazione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Si propone una metodologia di lavoro didattico che pone al centro dell’insegnamento non tanto il “disegno come strumento grafico” quanto il “disegno come pensiero” e, quindi, come linguaggio scientifico della comunicazione iconica e della rappresentazione descrittiva. La metodologia propone l’approccio ad una “Geometria descrittiva dinamica” intesa come supporto concettuale propedeutico alla rappresentazione geometrica cercando una relazione interdisciplinare con le materie scientifiche come esplicita il sottotitolo “Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge”. Questa metodologia attualizza il rapporto docente-discente in un lavoro didattico di condivisione in cui la verifica va fatta sul processo e quindi sulle singole e diverse capacità degli studenti di codificare e/o decodificare un medesimo messaggio. La disciplina della rappresentazione geometrica non è trattata come momento grafico ma come sostegno concettuale propedeutico alla rappresentazione stessa, in collegamento alle operatività digitali con supporto informatico. L’elemento grafico viene presentato come un insieme di singole entità geometriche distribuite seguendo precise e definite leggi ed operazioni geometriche che costituiscono la “grammatica” e la “sintassi” della comunicazione descrittiva per definire, al termine del processo dinamico del lavoro di rappresentazione, un messaggio grafico chiaro quale inequivocabile e rigorosa simulazione del pensiero creativo.

2. Al sommario Ritorno a Introduzione Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge DEFINIZIONI INSIEMISTICA, DINAMICA E DESCRITTIVA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI PUNTO, RETTA, PIANO Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1992/93 da Vanina Facciolà della classe 5°A dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Autore Prof. Elio Fragassi IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

3. Copertina Sommario Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a

4. Sommario Gli elementi geometrici fondamentali: punto, retta, piano (1) L’ambiente in cui viviamo, sia esso naturale che artificiale, è costituito da elementi e forme fisiche che hanno consistenza bidimensionale e/o tridimensionale; esse possono essere ricondotte, comunque, a forme geometriche elementari sia solide che piane. Per fare questo è necessario scomporre ogni elemento negli enti fondamentali: punto, retta e piano. Scomposizione Ambiente Le foto sono state estratte da “Ville e Giardini” nn° 269 – 280 –Editore Elemond s.p.a. Milano

5. Gli elementi geometrici fondamentaliPunto,Retta,Piano (2) • Le forme geometriche fondamentali si compongono ed articolano nello spazio in modo vario e diverso dando vita ad elementi più o meno complessi che costituiscono l'ambiente e caratterizzano il luogo ove si collocano, sia per generazione naturale che per produzione manuale ed artificiale . • Riveste perciò particolare importanza acquisire la capacità di leggere ed analizzare gli elementi che ci circondano per ricondurli a figure geometriche piane e/o forme geometriche solide . • Operata questa prima lettura è possibile analizzare le forme individuate scomponendole negli elementi geometrici primari. • Questa operazione di scomposizione ci dà l'opportunità di individuare le leggi e le strutture elementari, ma fondamentali, delle figure e delle forme geometriche che, poi, trattate sulla superficie definiscono l'ambiente e caratterizzano il luogo fisico ove si collocano.

6. Sommario Aspetto dinamico degli elementi fondamentali della geometria descrittiva Se pensiamo alle forme ed alle figurazioni geometriche non come oggetti ed elementi finiti, definiti e conclusi, ma come risultanti di articolazioni spaziali in divenire degli elementi fondamentali, è necessario immaginare una descrizione dinamica della geometria e delle relative forme e figurazioni che si definiscono in una elaborazione dinamica e rispondono a precise e definite leggi ed operazioni geometrico-descrittive. Per questo, gli appunti che seguono, definiscono anzitutto gli elementi della geometria descrittiva nel loro aspetto dinamico con origine dall'ente principale: il "punto" per passare, poi, all’insieme "retta" ed ai suoi sottoinsiemi per arrivare alla definizione degli insiemi "piano” e semipiano , ciascuno con le specifiche caratteristiche insiemistiche-dinamico-descrittive (fig.01). Pertanto, costituiscono, in sintesi, gli elementi di base di tutte le forme geometriche che definiscono l'ambiente in cui viviamo. PUNTO , RETTA e PIANO

7. Sommario Codifica e decodifica degli elementi geometrici Per questo, volendo descrivere graficamente, con linguaggio geometrico, gli elementi che determinano l'ambiente è necessario acquisire capacità di lettura delle immagini per conoscere, bene, (Fig.02, Fig.03, Fig. 04) sia gli elementi geometrici singoli che gli insiemi costituitisi, che le leggi mediante le quali gli stessi si articolano e si compongono in insiemi di figure e forme geometriche (codifica) che le operazioni grafiche per mezzo delle quali è possibile la lettura e la descrizione (decodifica) dinamica degli stessi.

8. Dall’analisi degli elementi alla sintesi della forma Sommario Su quanto considerato si innesta la necessità di definire alcune considerazioni per ragionare di dinamicità nella rappresentazione geometrica in modo da poter passare da una descrizione geometrica statica ad una elaborazione descrittiva dinamica mediante la ricerca, lo studio, l'applicazione, la lettura, la composizione e la definizione di processi creativi fondati su elementi geometrici che si compongono, nel tempo e nello spazio, sulla base di leggi insiemistiche-geometrico-descrittive che fanno riferimento ai concetti di una GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA L’oggetto rappresentato (Fig.05) è stato ottenuto componendo, nello spazio e nel tempo , mediante un processo elaborativo mentale e pratico, gli elementi geometrici analizzati nella pagina precedente: un pentagono, un rombo e un rettangolo. Queste sono figure piane delimitate da un perimetro chiuso costituito da lati che, geometricamente, sono segmenti di rette complanari; mentre le rette, intersecandosi, generano i vertici che, dal punto di vista geometrico, sono punti. Questa immagine, pur se complessa, può essere scomposta negli elementi geometrici primari delle precedenti figure 02, 03, 04: Punto, Retta, Piano. Infatti: I VERTICI possono essere riguardati come PUNTI. Gli SPIGOLI possono essere riguardati come segmenti di RETTE. Le FACCE possono essere riguardate come porzioni diPIANI. Così operando la figurazione risultante rappresenta la sintesi di un processo elaborativo e descrittivo che integra, in continuo, nel suo divenire, concetti teorici geometrici ed insiemistici, acquisizioni metodologiche ed elaborazioni grafiche tra elementi aventi caratteristiche comuni.

9. Sommario Il punto geometrico ENTEGEOMETRICOADIMENSIONALE • Perché deve essere inteso come qualcosa che esiste concettualmente • Perché riferito, in modo specifico al campo della geometria • Perché privo di ogni dimensione: altezza, lunghezza, larghezza, peso, Alcuni esempi dipunto geometrico

10. Sommario Caratteristiche fisiche: punto reale e punto improprio Ampliando l'ambito operativo dello spazio geometrico-descrittivo con il concetto di infinito (¥) il punto può caratterizzarsi come "ente reale" o "ente improprio" a seconda che la sua ubicazione spaziale sia riconducibile all'interno di un luogo geometrico; finito e reale, oppure in un luogo geometrico dello spazio infinito Contraddistinguiamo, pertanto, il "punto reale" (Fig.14) come l'elemento geometrico primario collocato nello spazio finito di un determinato luogo geometrico e lo indichiamo, sia nei disegni e nelle figure, che nello scritto di questi appunti, con le lettere maiuscole dell'alfabeto A, B, C, D Punto reale: Ente geometrico collocato nello spazio finito Caratterizziamo, invece, il "punto improprio" (Fig.15) come l'ente geometrico primario collocato in un luogo dello spazio infinito, e lo indichiamo, sia nei disegni che nelle figure, che nello scritto di questi appunti con le annotazioni, come di seguito: A¥, B¥, C¥, D¥ ,.... Punto improprio: Ente geometrico collocato nello spazio infinito

11. Sommario La linea Tra le forme geometriche di terza specie, di norma, vi si colloca il cosiddetto "spazio di punti" o "spazio punteggiato”, intendendo con esso il luogo geometrico costituito da tutti i punti dello spazio fisico tridimensionale. Se immaginiamo questo "spazio di punti" non statico ma dinamico, allora vuol dire che ogni punto può muoversi liberamente, occupando, istante per istante, posizioni diverse all'interno di un luogo o di un ambito definito. Sulla base di questa presupposizione, un punto in movimento nello spazio descrive, con il suo spostarsi, una linea l. Le linee curva, spezzata e mista possono essere, a loro volta, aperte, chiuse, semplici o intrecciate Linea curva(fig.16) Linea spezzata (fig.17) Linea mista (fig.18) • Linea retta (fig.19)

12. La linea: caratterizzazione dinamica ed insiemistica Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni punto in movimento nello spazio si può associare una linea, che assume, a seconda del percorso che descrive una specifica caratterizzazione con relativa denominazione (Fig.20). Dal punto di vista geometrico e dinamico-descrittivo possiamo riassumere il concetto di cui sopra con la seguente espressione insiemistica: Ogni punto in movimento casuale nello spazio implica l’esistenza di una ed una sola linea l Legenda dei simboli " = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). P = Punto in movimento casuale. = Appartiene W = Spazio Þ = Implicazione logica. $ ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). l = Linea generata da un punto dinamico. | = Quantificatore insiemistico universale (tale che).

13. La linea: caratterizzazione spaziale e descrittiva Dalle considerazioni dinamiche e dalle esemplificazioni grafiche di cui sopra possiamo dedurre quanto di seguito. Se il punto P si muove, nello spazio, in modo casuale, si può affermare che esso descrive una linea che può caratterizzarsi come quella della fig. 21 e configurarsi come "linea sghemba" (se il punto, nel movimento, occupa un luogo geometrico tridimensionale), o come "linea piana" (Fig.22) (se il punto, nello spostarsi occupa un luogo geometrico piano).Pertanto, nell'uno o nell'altro caso, si può concludere, sintetizzando il concetto con la seguente formalizzazione dinamico-descrittiva della linea l. l = Linea l generata da un punto P in movimento casuale. S = Sommatoria delle posizioni di P in movimento casuale. - + = Estremi impropri della sommatoria. {P} = Insieme delle posizioni del punto geometrico in movimento casuale. La linea dinamico-geometrica- è costituita dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove in modo casuale nello spazio bidimensionale e/o tridimensionale

14. La linea: caratterizzazione spaziale e descrittiva (2) Volendo estendere la natura dinamico-descrittiva del punto quale ente generatore fondamentale della geometria in generale e della geometria descrittiva in particolare, si può enunciare, come di seguito, la proprietà principale dell'elemento "linea" della "Geometria descrittiva dinamica In uno spazio geometrico punteggiato, per ogni punto in movimento casuale, si genera un insieme, non vuoto, chiamato "linea" costituito dalla sommatoria, estesa da - a +, dell’insieme di tutte le posizioni del punto P in movimento casuale nella spazio bidimensionale e/o tridimensionale. La formalizzazione sintetica insiemistica-dinamico-descrittiva assume, pertanto, il seguente aspetto. dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito Ogni punto in movimento casuale implica l’esistenza di uno ed un solo insieme linea costituito dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni del punto P in movimento nello spazio stesso

15. Sommario La linea retta: caratteristiche geometriche e descrittive Se il punto P si muove nello spazio secondo una direzione unica e definita, allora si dirà che il punto è in "movimento orientato" (Fig.23). In questo caso la linea l sarà contenuta da un piano (fig.24) assumendo il nome di "linea retta", che per facilità di esposizione si indicherà semplicemente con il termine "retta". Didascalicamente, verrà indicata, sia nei disegni che nelle figure che negli scritti dei seguenti appunti, con le lettere minuscole dell'alfabeto: esempio a, b, c, d,... La caratterizzazione descrittiva ed insiemistica verrà definita nelle pagine successive.Come il punto, anche la retta può essere un elemento geometrico reale oppure un elemento geometrico improprio. La retta sarà un elemento reale quando il suo campo di esistenza ricade in un luogo geometrico reale; viceversa sarà un elemento geometrico improprio quando il suo campo di esistenza ricade in un logo geometrico improprio come ad esempio nel caso di retta intersezione tra due piani paralleli.  Le didascalie sono le seguenti: rette reali = a, b, c, d, ... rette improprie = a, b, c, d, ...

16. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive La retta r è costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove secondo una direzione stabilita nello spazio. dove:  r = Linea retta { } = Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato. = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio. -;+= Estremi impropri della sommatoria. Quanto sopra può applicarsi ad ogni punto riguardato in senso dinamico per cui, poiché nello spazio i punti sono infiniti e le direzioni sono anch'esse infinite, possiamo sintetizzare, per la retta, la seguente espressione insiemistica: = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). = Punto in movimento definito ed orientato.  = Appartiene W = Spazio  = Implicazione logica.  ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). r = Linea retta | = Quantificatore insiemistico universale (Tale che). che si legge Per ogni punto in movimento definito ed orientato nello spazio, esiste una ed una sola retta

17. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive (2) Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemistico-geometrico-descrittiva della retta come di seguito, la cui formalizzazione sintetica assume la seguente forma dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito. Ogni punto in movimento orientato implica l’esistenza di una ed una sola linea che assume il nome di “retta” r ed è costituita dalla sommatoria orientata, estesa da - a + , dell'insieme costituito dalle posizioni del punto P in movimento orientato e definito nello spazio

18. Elementi necessari alla definizione della retta Sulla base delle considerazioni sviluppate, dato uno spazio, sia piano che solido, per definire, univocamente, una retta possiamo utilizzare due metodi, a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive. La definizione geometrica classica postula che una retta è tale, ed univocamente definita, quando coincide con la linea che passa per due punti distinti con il minore sviluppo (Fig.25). Per cui dati due punti A e B si possono tracciare infinite linee che passano per essi ma una, ed una sola linea retta. Se i due punti, pur diversi, coincidono A º B siamo, fisicamente, in presenza di un unico punto e pertanto per un punto possono passare infinite rette complanari determinando un fascio di rete , oppure infinite rette dello spazio determinando una stella di rete. Se consideriamo l’aspetto dinamico della geometria e quindi la retta come elemento generato da un punto in movimento orientato, sarà sufficiente definire un solo punto P ed una direzione d per determinare univocamente una ed una sola retta (Fig. 26) . Date infatti le infinite direzioni esistenti nello spazio e/o sul piano, se si assegna una determinata direzione d di spostamento ad un punto P, ci sarà solo una retta che con quella direzione assegnata passerà per il punto P dato. Concludendo, per definire descrittivamente una retta possiamo utilizzare, a secondo dei casi, uno dei seguenti metodi: a) retta passante per due punti distinti e non coincidenti. b) retta passante per un punto secondo una direzione assegnata.

19. La semiretta:caratteristiche dinamiche Sommario Se sulla retta, come già definita, viene fissato un punto X, da cui, per un motivo qualsiasi, si analizza la retta stessa, allora siamo in presenza dell'elemento geometrico denominato "semiretta" (Fig. 27). La retta, infatti, resta divisa, così operando, in due parti ciascuna delle quali si chiama, appunto, "semiretta" e viene indicata, sinteticamente, come r/2. La nomenclatura degli elementi geometrici è riportata nel disegno di fig.27 mentre lecaratteristiche fisiche sono le seguenti. Il punto da cui si analizza la porzione della retta si chiama "origine della semiretta" la cui caratteristica fisica è quella di essere un "punto reale"; mentre l'altro estremo della porzione della retta r/2 è un “punto improprio” N¥ Nel caso della semiretta si considera che il movimento orientato del punto P avvenga in una delle due porzioni della retta in modo indifferente e senza alcun verso predefinito

20. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive della semiretta (1) Sulla base di quanto esposto precedentemente l'espressione dinamico-descrittiva della "semiretta" può sintetizzarsi con la seguente formalizzazione dove r/2 = semiretta. = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed orientato nella porzione di retta. X = Estremo della sommatoria ed origine reale della semiretta. ±¥ = Estremo della sommatoria e punto improprio della semiretta. { }= Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato che si legge come appresso La semiretta r/2 è costituita dalla sommatoria orientata dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove all'interno di una porzione di retta i cui limiti sono costituiti da un’origine reale e da un estremo improprio

21. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive della semiretta (2) Quanto sopra è valido per ogni retta per cui è possibile generalizzare il concetto sintetizzandolo nella seguente espressione insiemistica " = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). X = Punto reale ed origine dell’elemento geometrico.  = Minore o uguale ad. = Punto in movimento definito ed orientato. N±¥ = Punto improprio ed estremo dell’elemento geometrico.  = Appartiene W = Spazio Þ = Implicazione $ ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). r/2 = Insieme semiretta dove i simboli hanno i seguenti significati e la formalizzazione si legge come di seguito Per ogni punto, in movimento definito ed orientato nello spazio, compreso tra un estremo reale X (origine) ed un estremo improprio N±¥, esiste uno ed un solo insieme di punti, non vuoto, chiamato "semiretta" r/2

22. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive della semiretta (3) Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemistica-dinamico-descrittiva di questo sottoinsieme con la seguente formalizzazione sintetica dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si recita come di seguito In uno spazio rigato (formato da rette) ogni punto in movimento orientato e definito all’interno di una porzione di retta avente origine reale ed estremo improprio implica l’esistenza di una semiretta costituita dalla sommatoria orientata estesa tra un punto reale X ed un estremo improprio ±¥ delle posizioni del punto P in movimento definito ed orientato all'interno di questo sottoinsieme

23. Il segmento: caratteristiche dinamiche Sommario Se sulla retta, come sopra definita, vengono individuati due punti reali e distinti X e Y, allora siamo in presenza di una determinata e definita porzione della retta stessa, porzione di retta che prende il nome di "segmento di retta" o, semplicemente "segmento" (Fig. 28) Così operando, dell'elemento geometrico retta, viene staccato un tratto finito e definito negli estremi da due punti reali. Questi punti costituiscono le soglie entro le quali si analizza il punto P che con il suo movimento orientato e definito costituisce la retta. I due "punti reali", indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto, costituiscono gli "estremi del segmento" e rappresentano i limiti entro cui analizzare il movimento del punto. Anche nel caso del segmento si considera che il movimento orientato del punto P possa avvenire, nel tratto contraddistinto, indifferentemente in entrambi i versi, secondo la direzione assegnata per cui gli estremi delimitano il campo di esistenza del segmento e dell'insieme dei punti della retta oggetto di indagine geometrico-rappresentativa.

24. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive del segmento (1) Sulla base di quanto esposto precedentemente l'espressione descrittiva del “segmento" può sintetizzarsi con la seguente formalizzazione: dove i simboli hanno il seguente significato. = Segmento staccato sulla retta in esame = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento orientato = Insieme definito dal punto in movimento orientato e definito X,Y = Estremi reali della sommatoria delimitante il segmento Il segmento XY è costituito dalla sommatoria orientata dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove all'interno di una porzione di retta definita da due estremi reali (due punti) non coincidenti

25. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive del segmento (2) Quanto sopra è valido per ogni retta per cui, volendo generalizzare il concetto dinamico di segmento, come sopra definito, si può utilizzare la seguente espressione insiemistica dove i simboli acquistano il significato esplicitato di seguito " = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). X,Y = Punti reali e distinti della retta costituenti i limiti di esistenza del segmento.  = Minore o uguale ad. = Punto in movimento definito ed orientato. W = Spazio Þ = Implicazione $! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). = Insieme segmento.  = Appartiene | = Quantificatore insiemistico universale (tale che). e la formalizzazione si legge come di seguito Ogni punto in movimento definito ed orientato nello spazio, compreso tra due estremi reali, implica l’esistenza di uno ed un solo insieme di punti, non vuoto, che si chiama "segmento".

26. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive del segmento (3) Riferendo il tutto alla retta come elemento geometrico in discussione, si può asserire che per ogni coppia di punti reali e distinti, staccati su una medesima retta r e non coincidenti X Y, si può definire una porzione di questa di cui i due punti rappresentano gli estremi del sottoinsieme chiamato "segmento". Pertanto è possibile generalizzare la caratterizzazione insiemistica-geometrico-descrittiva di questo sottoinsieme della retta secondo la seguente formalizzazione sintetica dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si esprime, verbalmente, come di seguito Ogni punto in movimento orientato e definito nello spazio compreso tra due punti reali implica l’esistenza di un elemento denominato “segmento”; detta porzione di retta è costituita dalla sommatoria orientata, in un intervallo finito e delimitato da due punti reali, dell’insieme delle posizioni del punto P in movimento.

27. Sommario La superficie piana rigata o piano geometrico CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE E PRESENTAZIONE DINAMICA DELL’ELEMENTO GEOMETRICO (1) Una retta, come quella descritta e definita nelle pagine precedenti, che si muove liberamente nello spazio genera una “superficie” generica S (Fig. 29). Quindi, utilizzando la stessa simbologia dei paragrafi precedenti, si può specificare la caratterizzazione dinamico-descrittiva, in forma insiemistica, di una retta in movimento casuale nello spazio tridimensionale mediante la seguente formalizzazione insiemistica " = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). = Retta in movimento casuale. Î = Appartiene W = Spazio Þ = Implicazione logica. $ ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unica). S = Superficie generica. | = Quantificatore insiemistico universale (tale che). che si legge come di seguito. Ogni retta r in movimento casuale nello spazio implica l’esistenza di una ed una sola “superficie rigata” S.

28. CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE E PRESENTAZIONE DINAMICA DELL’ELEMENTO GEOMETRICO (2) Da questa osservazione discende, poi, la conseguente formalizzazione descrittiva della superficie generica intesa in senso dinamico S = Superficie rigata generica.å = Sommatoria delle infinite posizioni della retta r in movimento casuale nello spazio. +¥; -¥ = Estremi impropri della sommatoria delle posizioni della retta. { } = Insieme costituito dalla retta in movimento libero nello spazio. per cui si dirà che: Una superficie S è generata dalla sommatoria dell’insieme delle infinite posizioni di una retta r che si muove in modo casuale nello spazio tridimensionale Unificando, poi, le due espressioni si ottiene la seguente formalizzazione insiemistica-dinamico-descrittiva della superficie rigata Ogni retta in movimento casuale nello spazio genera una superficie che si chiama "superficie rigata" S costituita dalla sommatoria, estesa da -¥ a +¥, dell’insieme non vuoto di tutte le posizioni della retta r in movimento casuale nello spazio dove i simboli hanno il significato esplicitato nelle precedenti enunciazioni, e la formula può essere enunciata come di seguito

29. Caratteristiche dinamiche della retta generatrice Se la retta r con le caratteristiche dinamiche già definite, si muove, invece che in modo casuale, parallelamente a se stessa (Fig. 30), secondo una direzione definita, allora, il suo spostamento nello spazio genera una superficie rigata piana che prende il nome di "piano geometrico" (Fig. 31) o più semplicemente di "piano" Questo nuovo elemento geometrico viene indicato, sia nelle didascalie dei disegni che nelle figure, che negli scritti di questi appunti, con le lettere minuscole dell'alfabeto greco a , b , g , d , e

30. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive (1) Sulla base delle caratteristiche dinamiche già analizzate l'enunciazione sintetica dell'elemento geometrico "piano" può schematizzarsi con la seguente formalizzazione descrittiva dove i simboli acquistano il significato esplicitato di seguito. p = Superficie rigata piana o più semplicemente "piano". = Sommatoria orientata di tutte le posizioni di r in movimento definito ed orientato (parallelamente a se stessa). = Insieme costituito da una retta in movimento definito ed orientato (la retta si sposta parallelamente a se stessa) secondo una unica direzione (-¥, +¥) = Estremi impropri della sommatoria che si legge Il piano p è costituito dalla sommatoria orientata dell’insieme di tutte le posizioni di una retta r che si sposta nello spazio infinito secondo una direzione prefissata muovendosi parallelamente a se stessa

31. Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-descrittive (2) Poiché la retta, per sua natura infinita, si muove parallelamente a se stessa in uno spazio infinito, possiamo dimensionare il piano come spazio ¥2 Per quanto detto possiamo generalizzare e sintetizzare il concetto espresso con la seguente formalizzazione insiemistica del piano dove i simboli acquistano il significato esplicitato di seguito " = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). = Retta in movimento orientato e definito.  = Appartiene W = Spazio Þ = Implicazione logica. $! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). = Piano inteso come elemento geometrico bidimensionale. | = Quantificazione insiemistico universale (tale che). che si recita come di seguito Per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, esiste una ed una sola superficie piana detta "piano" Definito quanto alle pagine precedenti, si possono sintetizzare le caratterizzazioni insiemistiche-geometrico-descrittive di questo terzo elemento con la seguente formula dove i simboli hanno il significato esplicitato nelle pagine precedenti e la formula può essere enunciata come di seguito Per ogni retta in movimento definito ed orientato si genera una superficie chiamata “piano” che è costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle posizioni che la retta r occupa muovendosi nello spazio secondo una direzione definita ed orientata

32. Elementi necessari alla definizione di un piano (1) Sulla base delle considerazioni sviluppate relativamente alla superficie piana intesa in senso dinamico, per definire, univocamente, un piano possiamo fare riferimento a quattro metodi utilizzabili a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive o in relazione all'economia grafica, se l'elaborazione si presenta complessa 1° metodo Un piano resta univocamente determinato se vengono assegnati tre punti non allineati e non coincidenti A m B m C (Fig.32). La formalizzazione specifica insiemistica e descrittiva assume l’aspetto seguente 2° metodo Un piano può essere univocamente determinato se vengono assegnati una retta r ed un punto esterno a questa A Ï r (Fig.33) La formalizzazione specifica insiemistica e descrittiva assume l’aspetto seguente

33. Elementi necessari alla definizione di un piano (2) 3° metodo Un piano può essere univocamente definito se vengono date due rette parallele e distinte a//b; a m b (Fig.34 La formalizzazione specifica insiemistica assume l’aspetto seguente 4° metodo Un piano può essere univocamente definito se vengono assegnate due rette incidenti a Ç b (Fig.35) La formalizzazione specifica insiemistica assume l’aspetto seguente

34. Il semipiano: caratteristiche geometriche e descrittive Sommario CARATTERISTICHE DINAMICHE DEL SEMIPIANO Se, sul piano come sopra definito, viene individuata una retta a dalla quale, per un motivo qualsiasi, si analizza il piano stesso, allora si genera l’elemento geometrico in discussione, denominato "semipiano" (Fig.36). Il piano, infatti, resta diviso, così operando, in due parti, ciascuna delle quali si chiama semipiano e viene indicato sinteticamente come p/2. Definiti gli elementi geometrici, descriviamo come di seguito gli specifici aspetti fisici. Per il resto, il piano, non ha altri elementi reali identificativi data la sua caratteristica fisica di essere costituito da una retta (monodimensionale ed infinita) che si sposta parallelamente a se stessa secondo una direzione anch'essa infinita La retta da cui si analizza la porzione di piano si chiama "retta origine del semipiano" e si caratterizza come "elemento geometrico reale” (retta reale) Poiché, infine, la retta che genera dinamicamente il piano può essere comunque orientata, anche la “retta origine del semipiano" può essere comunque orientata nello spazio

35. FORMALIZZAZIONE DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICO-DESCRITTIVE (1) Sulla base delle caratteristiche dinamiche già analizzate l'enunciazione sintetica di questo elemento geometrico denominato "semipiano", sottoinsieme del piano, può sintetizzarsi con la seguente formalizzazione dinamico-descrittiva dove p/2 = Semipiano. = Sommatoria orientata di tutte le posizioni di r in movimento nello spazio. = Insieme determinato dalla retta dinamica in movimento definito ed orientato. (Parallelamente a se stessa secondo una direzione assegnata). a = Estremo della sommatoria ed origine reale del semipiano. n±¥ = Estremo della sommatoria e retta impropria del semipiano che si legge Il semipiano p/2 è costituito dalla sommatoria definita ed orientata dell’insieme delle posizioni di una retta r che si muove all'interno di una porzione di superficie piana avente per estremi una retta reale a ed una retta impropria n. Poiché quanto sopra è valido per ogni retta è possibile generalizzare il concetto sintetizzandolo così i simboli hanno i seguenti significati " = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni). a = Retta origine reale del semipiano.  = Minore o uguale a. = Retta dinamica in movimento definito n±¥ = Retta impropria del semipiano.  = Appartiene W = Spazio  = Implicazione logica. ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). | = Quantificatore insiemistico universale (Tale che). = Insieme semipiano. Per ogni retta in movimento definito ed orientato compreso tra una retta reale (a = origine) ed una retta impropria n±¥ esiste un solo insieme di rette, non vuoto, chiamato "semipiano" che si legge

36. FORMALIZZAZIONE DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICO-DESCRITTIVE (2) Precisato quanto ai paragrafi precedenti, si può sintetizzare la caratterizzazione insiemistica-geometrico-descrittiva di questo sottoinsieme secondo la seguente formalizzazione dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si espone come di seguito Ogni retta in movimento orientato e definito tra un estremo reale ed un estremo improprio implica la formazione dell’elemento geometrico “semipiano” costituito dalla sommatoria orientata, estesa dalla retta a, detta origine del semipiano, ad una retta impropria n ± ¥, dell’insieme delle infinite posizioni della retta r in movimento definito ed orientato nello spazio

37. Tipologia del piano geometrico (1) Sommario TIPOLOGIA DEL PIANO IN RELAZIONE AGLI ELEMENTI GENERATORI: IL PIANO RIGATO Tenendo conto delle specifiche caratteristiche geometriche dinamiche e descrittive dell'elemento in trattazione, se immaginiamo la superficie piana come determinata da una retta in movimento definito ed orientato (Fig. 37) (la retta può essere comunque orientata ma si muove parallelamente a se stessa secondo una direzione definita), avremmo la formalizzazione descrittiva del piano, come quella già esaminata. Conseguentemente a questa natura si dirà di essere in presenza di un elemento geometrico definito piano rigato

38. TIPOLOGIA DEL PIANO GEOMETRICO(2) TIPOLOGIA DEL PIANO IN RELAZIONE AGLI ELEMENTI GENERATORI: IL PIANO PUNTEGGIATO Ricordiamo anche che, a sua volta, la retta che genera la superficie piana (piano rigato) è determinata da un punto anch'esso in movimento definito ed orientato nello spazio espresso dalla formula descrittiva già analizzata e trascritta di seguito Pertanto, anche il piano, a sua volta, può essere riguardato come una superficie costituita da punti; anzi da un punto che si muove in modo tale da generare una retta che a sua volta genera la superficie piana. Data, infatti, l’espressione relativa al “piano rigato” ricordando che la retta dinamica è espressa come “retta punteggiata” sostituendo si determina la seguente espressione mediante la quale possiamo indicare, simbolicamente, il “piano punteggiato” ”.(Fig.38) Essendo il piano un “elemento geometrico bidimensionale”, la doppia  sta proprio a definire e dare significato a questa caratteristica, se si riporta la natura dell’elemento all’ente primario: al “punto geometrico” come ente generatore.

39. Caratterizzazioni dimensionali e formali del piano Sommario Le due espressioni sintetiche relative al piano Piano punteggiato Piano rigato evidenziano le specifiche caratteristiche geometriche Pertanto, stante le caratterizzazioni esposte e le relative determinazioni geometriche, il piano, come elemento bidimensionale della geometria in generale e della geometria descrittiva in particolare si caratterizza essere dimensionalmente infinito morfologicamente indefinito Per questi suoi aspetti e queste caratteristiche descrittive, in tutti i disegni, il contorno di un piano sarà sempre costituito da una linea curva qualunque, come nei disegni già eseguiti.

40. Abaco delle formalizzazioni (1) Sommario Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Linea l punteggiata Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Retta r punteggiata Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva

41. Abaco delle formalizzazioni (2) Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Semiretta r/2 Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Segmento Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva

42. Abaco delle formalizzazioni (3) Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Superficie S Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Semipiano  / 2 Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva

43. Abaco delle formalizzazioni (4) Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Piano  rigato Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva Elementi geometrici Espressioni Formalizzazioni Piano  punteggiato Insiemistica Descrittiva Insiemistico-descrittiva