Estruturas de Dados, Algoritmos e Complexidade

1. Estruturas de Dados, Algoritmos e Complexidade Katia Guimarães

2. Conteúdo Programático • Conceitos básicos: Algoritmos, procedimentos, funções, compilação vs. Interpretação, complexidade de computação, notação assintótica. • Algoritmos em grafos – Conectividade, bi-conectividade, árvore geradora de peso mínimo, distâncias, fluxo, problemas NP-completos (Clique, cobertura, etc.) • Caracterização e abordagens para problemas NP-completos

3. Conceitos Básicos • Algoritmos - Processo sistemático para a solução de um problema. • Procedimentos – Algoritmos curtos, visando a execução de tarefas simples, muitas vezes repetitivas. Ex: • Funções - Procedimentos que retornam valores. • Ex: Fatorial(n)

4. Conceitos Básicos • Linguagem de programação • Linguagem bem menos sofisticada que a linguagem natural (Ex. Português), capaz de expressar os comandos que se deseja executar de forma que o computador possa compreender. • Característica importante: Não ambigüidade • Compilação vs. Interpretação

5. Algoritmos Algoritmo é um processo sistemático para a resolução de um problema. Algoritmo é uma seqüência finita de passos bem definidos que levam à execução de uma tarefa. Exemplo clássico: Receita culinária  Note que a noção de “bem-definido” é em si mesmo vaga. Ex: Mexer até ficar consistente.  A palavra algoritmo não tem acento.

6. Algoritmos Ex: Algoritmo para trocar um pneu 1. Folgar os parafusos do pneu a ser trocado 2. Instalar o macaco e levantar o carro do lado do pneu a ser trocado. 3. Remover completamente os parafusos do pneu e retirá-lo do suporte. 4. Remover o pneu estepe do local onde é guardado, colocar o pneu no suporte e recolocar os parafusos. 5. Baixar o carro ao nível da rua. 6. Apertar os parafusos. 7. Guardar o pneu retirado, o macaco e demais ferramentas.

7. Algoritmos Note 1. Pré-suposições do algoritmo Existem operações que você já sabe fazer, que podem ser básicas ou mais elaboradas. 2. Nível de detalhamento PASSO 2: Instalar o macaco e levantar o carro do lado do pneu a ser trocado. 1. Tire o macaco da mala 2. Instale o macaco sob o carro próximo ao pneu a ser trocado. 3. Se o carro está em local ladeiroso, colocar um suporte de madeira para evitar que ele se mova. 4. Alavanque o macaco até que haja espaço para o pneu estepe entrar.

8. Algoritmos Computacionais Entrada: Informações inicialmente conhecidas e que permitem encontrar a solução do problema. Saída: Resultado obtido pelo processamento de uma entrada específica (instância). Saída Entrada Algoritmo Definição alternativa de Algoritmo Computacional: Procedimento que transforma dados em informação.

9. Algoritmos Computacionais • Aspectos Básicos • Correção: Consiste em verificar a exatidão do método, o que é realizado através de uma provas • formais usando as premissas do problema. • Ex. - Todos os valores da entrada são positivos; • - A entrada está em ordem alfabética. • Complexidade: Visa a obtenção de parâmetros que possam avaliar a eficiência do algoritmo em termos de recursos computacionais (tempo de execução, memória ocupada, no. de nós se o processamento for distribuído).

10. Algoritmos vs. Programas • Especificação do problema: Entendimento das relações • existentes entre os dados que são relevantes para o problema • (estruturação lógica). • 2.Projeto em alto nível: Que operações/transformações deverão • ser efetuadas pelo algoritmo para resolver o problema. • 3.Análise de alternativas. • 4. Refinamento e codificação: Refinar o item 2 em termos dos • mecanismos disponíveis na linguagem em que o programa • será codificado. • 5. Verificação de Comportamento: Avaliar o programa obtido • para ver se satisfaz as especificações do problema e quanto ao • desempenho (tempo e memória), modificando-o se for o caso.

11. Três Pontos Importantes • Estruturas de Dados • Representam os dados, retratando as relações • lógicas entre eles (como um modelo matemático • para a realidade do problema). • Operações • Manipulam estas estruturas de dados gerando • novas estruturas • Estruturas auxiliares • Armazenam dados relevantes para a solução • do problema. (Servem como um bloco de notas.)

12. Conclusão A escolha de estruturas de dados, suas operações e representações podem ser fatores decisivos na eficiência do programa final. Complexidade vs. Algoritmos e Estruturas de Dados O conhecimento de princípios de complexidade com- putacional é requisito básico para a escolha correta da estrutura de dados adequada a cada problema.

13. Como medir ? Métodos Empíricos Obtemos o tempo de execução através da execução propriamente dita do algoritmo, considerando-se entradas diversas. (Muito dependente de máquina) Métodos Analíticos Obtemos uma ordem de grandeza do tempo execução através de expressões matemáticas que traduzam o comportamento de um algoritmo.

14. Um exemplo simples Considere o trecho de código: prod = 0; cont = x; repetir os comandos prod = prod + y; cont = cont - 1; ate que cont=0

15. Que parâmetros usar nas expressões matemáticas que representam o custo de um algoritmo? Usamos o tamanho da entrada, que depende do problema. Exemplos Ordenação: Número de itens da entrada (Tamanho n do vetor a ordenar). Multiplicação de 2 inteiros: Número total de bits necessários para representar a entrada em notação binária. Grafos: Número de vértices e arestas do grafo.

16. IDÉIA CENTRAL Tempo de execução = No. de passos efetuados pelo algoritmo Exemplo Algoritmo Inversão de sequência Entrada: sequência de elementos armazenados no vetor S[i], i = 1 .. n. Saída: sequência invertida dos elementos de S[i]. Início Para i := 1, ..., n/2 faça temp := S[i] S[i] := S[n – i + 1] S[n – i + 1] := temp Fim

17. Classificação (complexidade de tempo) Notação: A - um algoritmo. E = {E1,...,Em} – conjunto de entradas possíveis de A. ti = No. de passos efetuados por A com entrada Ei. Definição: Complexidade de pior caso = Max (Ei E) {ti}, Complexidade do caso médio = Σ (1 <= i <= m)(pi * ti) onde pi é a probabilidade de ocorrência da entrada Ei.

18. As Notações O, Ω e Θ Definição (notação O) = Limite superior para o tempo de execução. Definição (notação Ω) = Limite inferior para o tempo de execução. Definição (notação Θ) = Tempo de execução exato.

19. Tempo de execução = No. de passos dominantes efetuados pelo algoritmo. Obs: Nas definições de complexidade desprezamos as constantes aditivas ou multiplicativas. Ex: Número de passos = 3n  Aproximado = n Obs: Também desprezamos os termos de menor grau. Ex: No. de passos = n2 + n  Aproximado = n2 No. de passos = 6n3 + 4n – 9  Aproximado = n3 Por que? Porque o interesse é assintótico.

20. Definição (notação O): Sejam f,h funções positivas de variável inteira n. Diz-se que f é O(h), escrevendo-se f = O(h), quando existirem (1) uma constante c > 0 e (2) um inteiro n0, tais que: n > n0 => f(n)  c . h(n) Ex: f = n2 + 1  f = O(n2) (c=3, n0 = 4) f = n2 + 1  f = O(n3) (c=3, n0 = 4) f = 403  f = O(1) (c= ?, n0 = ?) f = 3n + 5 log n + 2  f = O(n) f = 5 · 2n + 12 ·5n10  f = O(2n)

21. Definição (notação ): Sejam f,h funções positivas de variável inteira n. Diz-se que f é (h), escrevendo-se f = (h), quando existir uma constante c > 0 e um valor inteiro n0, tal que: n > n0 => f(n)  c . h(n) Ex: f = n2 – 1 f = (n2) f = (n) f = (1) Mas não vale: f = (n3)

22. Definição (notação ): Sejam f e h funções positivas de variável inteira. Diz-se que f é (h), escrevendo-se f = (h), quando ambas as condições acontecem: f = O(h) e f = (h).

23. Referência Bibliográfica Introduction to Algorithms Cormen, Leiserson, Rivest - Capítulo 1: Introduction (págs. 1 a 11) - Capítulo 2: Growth of Functions (págs 23 a 29)