SEGUNDAS ECUACIONES DE LA HIPERBOLA

1. SEGUNDAS ECUACIONES DE LA HIPERBOLA • Teorema 3. La ecuación de una hipérbola de centro en el punto (h ,k) y paralelo al eje X, es de la forma ( x - h)2 – (y - k)2 = 1 a2 b2 Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación es ( y - k)2 – (x - h)2 = 1 a2 b2

2. Las ecuaciones de las transformaciones del sistema primitivo al nuevo sistemas de coordenadas son:x = x´ + h despejando x´ = x - h y = x´ + k despejando x ´ = y – kLas ecuaciones de la hipérbola con referencia a los nuevos ejes x´ y y´ x´ 2 – y´2 = 1 a2 b2sustituyendo estas nuevos valores de x´ y y´ ( x - h)2 – (y - k)2 = 1 a2 b2su eje focal es paralelos al eje X.

3. Puntos de una hipérbola • a es la longitud del semieje mayor transverso • b es la longitud del semieje conjugado • c la distancia del centro a cada uno de sus focos • a, b, y c están ligados por la relación • c2 = a2 + b2→c = • La longitud de cada lado recto 2b2 a • La excentricidad e = c › 1 • a

4. Teorema 4. Si los coeficientes A y C difieren en el signo, la ecuaciónAx2 + Cy2 + D x + E y + F = 0representa una hipérbola de ejes paralelos a los coordenadas, o un par de rectas que se cortan Demostración:Sabernos que por el teorema 3, se tiene la ecuación siguiente ( x - h)2 – (y - k)2 = 1 a2 b2 Desarrollando la expresión anterior se tiene ( x - h)2 – (y - k)2 = 1 a2 b2b2 (x - h)2 – a2 (y - k)2 = a2 b2 b² (x²-2hx+h²) – a² (y²-2ky+ k²) = a2 b2

5. continuación • b²x² - 2 b²hx + b²h² – a²y² - 2a²ky + a²k² = a2 b2 • b²x² - 2 b²hx + b²h² – a²y² - 2a²ky + a²k² - a2 b2 = 0 • Ordenando los términos, quedan de la siguiente manera • b²x² – a²y² - 2 b²hx - 2a²ky + b²h² + a²k² - a2 b2 = 0 • Donde A = b² B = – a² C = - 2 b²h D =- 2a²k F = b²h² + a²k² - a2 b2 • Quedando la ecuación general de la hipérbola • Ax² + By² + C x + Dy + F = 0

6. TEOREMA 7.La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radio vectores de ese punto. • Demostración. Tomando la ecuación de la hipérbola en su forma canoníca es b²x² - a²y² = a2 b2 • Sea α un ángulo formado por la bisectriz y los radio vector FP y β el ángulo formado por la bisectriz y el radio vector F´P . Demostrar que α = β. Por el teorema 4 del articulo 63, la pendiente de la hipérbola en el puntos P(x1, y1) es : • b²xx1 - a² y y1 = a2 b2 llevando a la forma y = mx+b y = b²x1x- a2 b2 por lo tanto m = b²x1 a² y1 a² y1 a² y1 De manera que necesitamos la pendiente de la bisectriz, entonces es a² y1 b²x1 Ahora las pendientes de los radio vectores FP y F´P son y1y1 x1 -c x1 +c

7. Por el teorema 5 del articulo 10, se tiene lo siguiente y1 - a²x1 tanα = x1 –c b²x1 =1 - y1 . a²x1x1 - cb²x1 • = a² x1 y1 + b²x1 y1 - a²cy1 = ( a² + b²)x1 y1 - a²cy1 = c² x1 y1 - a²cy1 = b²x12 - b²cx1 -a²y12 ( b²x12 -a²y12 )-b²cx1 a2 b2-b²cx1 Ahora factorizando se tiene lo siguiente = cy1 (cx1 – a²) = -cy1 (a² -cx1) = -cy1 b2 (a2-cx1) b2 (a2-cx1) b2

8. POR OTRO LADO SE TIENE EL OTRO ANGULO • - a²x1 - y1 tan β = b²x1 x1 –c = -a² x1 y1- a²cy1 - b²cy11 - y1 · a²x1b²x12 + b²cx1 -a²y12 x1 - cb²x1 • Factorizando y simplificando la expresión se tiene • = - (a² + b²)x1 y1 - a²cy1 = - c² x1 y1 - a²cy1 = - cy1 (c x1 + a² ) = - cy1 (b²x12 -a²y12 )+ b²cx1 (a²b2 + b²cx1 ) b²(a²+ cx1 ) b²