Corso di biomatematica lezione 9: test di Student

1. Corso di biomatematica lezione 9:test di Student Silvia Capelli

2. Sommario • Distribuzione di Student • Media osservata e attesa • Medie di due campioni • Test F

3. t di Student • La distribuzione t di Student • Abbiamo già incontrato la distribuzione t di Student come • distribuzione campionaria diversa dalla distribuzione • normale Z ed espressa dalla formula • Vedremo ora come questa distribuzione, che tiene conto oltre • che della variazione della media di un campionamento, • anche derlla variazione della deviazione standard, e possa • essere applicata a piccoli campioni anche con meno di una • decina di osservazioni Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

4. t di Student • La distribuzione t di Student • La forma della distribuzione t di Student è a campana con • una dispersione maggiore rispetto alla gaussiana • standardizzata, ed esiste un’intera gfamiglia di distribuzioni t • in funzione dei gradi di libertà (la distribuzione normale • rapresenta una t quando i g.d.l. aumentano…). • Valori critici: per l’area in una coda alla probabilità a • coinicidono con quelli a probabilità 2a nella distribuzione a • due code e viceversa. • Con il t di student calcolerò un intervallo fiduciale! Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

5. t di Student • La distribuzione t di Student • Condizioni di validità: • Distribuzione di dati normale • Osservazioni indipendenti • La t di Student è robusta, ovvero vale anche per una serie di • dati che devia dalla normalità.. • Applicazioni per il confronto tra: • Media campione e media universo • Singolo dato e media di un campione • Media delle differenze di due campioni dipendenti con differenza attesa • Media di due campioni indipendenti Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

6. t di Student • Media osservava e media attesa • La t di Student con n-1 g.d.l. è data da • Con m valore atteso e errore standard, n numero di • dati e s la deviazione standard calcolata sui dati del • ampione. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

7. t di Student • Media osservava e media attesa -ipotesi • Per verificare l’ipotesi relativa alla media nel caso di un test • bilaterale avremo: • Ipotesi alternativa H1 :m m0 • Ipotesi nulla H0 :m = m0 • Mentre nel caso di un test unilaterale l’ipotesi relativa alla • media nel caso di un test bilaterale avremo: • Ipotesi alternativa H1 :m< (>) m0 • Ipotesi nulla H0 :m  () m0 • Per verificare se la media è significativamente inferiore a • quella attesa Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

8. t di Student • Media osservava e media attesa -ipotesi • Quindi dalla formula per la differenza tra media attesa e • campionaria avremo • E da questo posso stimare l’intervallo fiduciale (o intervallo • di confidenza) entro il quale è compresa la media reale della • popolazione da cui ho estratto il campione (prob a/2). Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

9. t di Student • Media osservava e media attesa - esempio • Abbiamo un vivaio con pianticelle di tipo A, che dopo due • mesi raggiungono un’altezza media di 25 cm (m0), nel • terreno vengono versate sostanze tossiche e per verificare • l’incidenza negativa sulla crescita delle piante ne vengono • seminate 7 che dopo 2 mesi raggiungono le altezze di • 22,25, 21,23,24,25,21 cm • Voglio sapere: • Le sostanze tossiche inibiscono la crescita? • Qual è la media reale dell’altezza delle piante nel nuovo terreno? Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

10. t di Student • Media osservava e media attesa - esempio • Le sostanze tossiche inibiscono la crescita? • Questo è un test ad una coda con • Ipotesi alternativa H1 :m< m0 • Ipotesi nulla H0 :m  m0 • Il test ovviamente assume significato solo se la media • campionaria assume valore minore della media attesa m0, e • serve per verificare se la differenza sia casuale o significativa • Scegliamo una probabilità a =0,05 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

11. t di Student • Media osservava e media attesa - esempio • Avremo dunque la formula • Con i nostri 7 dati abbiamo • X =23,0 • s =1,732 • t0,025;6 =2,447 • n=7 • m0=25 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

12. t di Student • Media osservava e media attesa - esempio • Ed il calcolo di t con 6 g.d.l. mi dà • Cioè t(6) =-3,053 • Dove il segno meno indica solamente che la differenza è • negativa rispetto al valore atteso. Per la significatività prendo • il modulo. • Per il test ad una coda abbiamo con a =0,05 • t0,05;6 =1,943 • Accetto dunque H1 e rifiuto H0 con il 5% di prob. di errore Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

13. t di Student • Media osservava e media attesa - esempio • Qual è la media reale dell’altezza delle piante nel nuovo terreno? • L’altezza media reale può essere stimata tramite l’intervallo • di confidenza, ovvero • Prendendo i dati del nostro campione con la probabilità • associata ad a =0,05 per un test a due code t0,025;6 =2,447 • Cioè l1= 21,398 e l2= 24,602 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

14. t di Student • Media osservava e media attesa una o due code? • Resta da sottolineare che se voglio solamente evidenziare una • differenza tra due medie (di cui una attesa) dovrò effettuare • un test a due code (come nel caso precedente in cui ad • esempio voglio considerare che le piante subiscono una • mutazione ma non so se le piante saranno più alte o più • basse a priori..) • Invece una volta che si vada a stimare un intervallo fiduciale • posso effettuare un test a due code (ovvero andro’ a leggere I • corrisponenti valori nelle tabelle di test bilaterale), con • probabilità ad esempio a =0,01 oppure un test ad una coda • (tabelle unilaterali) con probabilità a =0,005 (a/2) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

15. t di Student • Confronto una misura e media di un campione • Voglio ora stabilire se una misura (per ragioni non note) si • possa considerare errata. Questo può essere effettuatro con • un test unilaterale o bilaterale a seconda delle ipotesi • mediante la formula: • Con nA numero di oservazioni del campione, x1 misura da • verificare, xA,media del campione s2A misura varianza del • campione A Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

16. t di Student • Confronto una misura e media di un campione • Ad esempio voglio “rigettare” una misura (x1 =49,7) nel • campione A=(40,3 - 38,8 – 33,5 – 38,6 – 31,9 – 37,6) • Dove nA =6, xA= 36,873, s2A=12,206, ottenendo • Ora dalle tabelle per il test bilaterale abbiamo i valori critici • 2,571 per a =0,05 • 4,032 per a =0,01 • Mentre il test unilaterale dà • 3,365 per a =0,01 • 5,893 per a =0,001 • Rifuto l’ipotesi nulla con a tra 0,05 e 0,01 (0,01 e 0,001 uni) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

17. t di Student • Confronto le medie di due campioni • Posso derivare la distribuzione t di Student dal rapporto tra • la differenza delle due medie campionarie ed il suo errore • standard, ovvero • Dove nell’ipotesi nulla H0 le due medie sono identiche, • Ovvero m1 = m2 oppure m1 - m2 =0 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

18. t di Student • Confronto le medie di due campioni DIPENDENTI • Se ho due campioni dipendenti, posso accoppiare ogni • osservazione di un campione con UNA ed UNA SOLA • osservazione dell’altro (senza entrare nello specifico • dell’appaiamento). • L’analisi dunque è applicata ad una nuova serie di dati, • risultanti dalle differenze tra gli elementi di ciascuna coppia. • Per il test di Student bilaterale, abbiamo • H0 : d =0 mentre H1 : d 0 • Il test unilaterale invece è • H0 : d < (>) 0 mentre H1 : d () 0 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

19. t di Student • Confronto le medie di due campioni DIPENDENTI • La significatività della media delle differenze viene verificata • con: • Dove dm è la media delle differenze, è la media attesa (spesso • ma non sempre 0), n è il numero di differenze e sd è la • deviazione standard delle differenze. • L’intervallo di confidenza entro cui è compresa la media • reale d è Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

20. t di Student • Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI • In questo caso aumenta la variabilità tra I due gruppi, ovvero • potrò • Utilizzare numero diverso di osservazioni • Avere dati che sono variabili casualmente • Confrontare il proprio campione con quello raccolto da altri • Nel caso di due campioni indipendenti i calcoli per il test di • significatività vengono effettuati sulle due serie di • osservazioni Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

21. t di Student • Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI • Nel caso di un test bilaterale l’ipotesi nulla H0 è che i due • campioni A e B siano estratti dalla stessa popolazione o da • due popolazioni diverse ma con media m uguale • le due medie sono identiche, ovvero • mA = mB oppure mA - mB =0 • L’ipotesi alternativa H1 sarà • mA mB oppure mA - mB 0 • Mentre nel test unilaterale avremo • H0mA ()mB oppure mA - mB () 0 • H1mA< (>)mB oppure mA - mB<(>) 0 Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

22. t di Student • Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI • Per due campioni indipendenti i gradi di libertà di t sono dati • da (nA-1) + (nB-1) =(nA+ nB-2) =(N-2) • Il valore di t è ottenuto così: • Con xAe xB medie dei due campioni, mA+ mb medie attese • nAe nB numero di osservazioni e s2p è la varianza pooled Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

23. t di Student • Confronto le medie di due campioni INDIPENDENTI • s2p la varianza pooled è in pratica una varianza media • ponderata calcolata a partire dalle due devianze e dai loro • g.d.l. ed è data dalla formula: • Questo test si può quindi applicare anche ai risultati di due • ricercatori diversi (che saranno ora A e B), al patto di • disporre dei dati, delle rispettive varianze, e delle medie Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

24. t di Student • Validità del t-di Student • Le assunzioni per la validità del test di Student sono • essenzialmente tre: • Indipendenza dei dati entro i campioni • Omogeneità della varianza • Dati (o scarti rispetto alla media) distribuiti normalmente • E’ importante soprattutto che le varianze dei due campioni • siano statisticamente uguali. • Infatti la varianza pooled s2p che è una quantità • fondamentale ha significato solo se è rappresentativa delle • varianze di ogni gruppo. Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

25. t di Student • Validità del t-di Student • Per applicare il test t , la cosiddetta omoschedasticitrà tra due • gruppi A e B è verificata con un test bilaterale, dove làipotesi • nulla e l’ipotesi alternativa sono: • H0s2A=s2B e • H1 s2A s2B • Esistono vari test per verificare quella che si chiama • omoschedasticità bilaterale o unilaterale, in particolare • accenneremo solo al test F bilaterale Silvia Capelli - Dottorato in Biologia

26. t di Student • Validità del t-di Student: test F • Il test F bilaterale è fondato sul rapporto tra la varianza • campionaria (s2) maggiore e quella minore: • Dove s21 è la varianza maggiore e s22 è quella minore • (e ovviamente i rispettivi numeri di dati). Una volta calcolato • il rapporto (che non sarà mai 1) lo si confronta con una • tabella di distribuzione F relativa ai due g.d.l. (di solito entro • a =0,05) Silvia Capelli - Dottorato in Biologia