Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XVI

1. Algorithmische Probleme in FunknetzwerkenXVI Klaus Volbert kvolbert@upb.de

2. Abschlußveranstaltungen • Prüfungstermine • Mo, 24.02.2003 • Mo/Di 10/11.03.2003 • Mo/Di 17/18.03.2003 • Abschlußbesprechung am Mi 19.02. 19:30 Uhr • Essen&Trinken (im Kachelöfchen)

3. Call-Control in Zellularen Netzwerken (I) • Zellulares Netzwerk und Interferenzgraph G=(V,E) • Relaisstationen V={1,..,n} mit Frequenzen {1,…,c} • Interferenz (u,v)  E heißt, dass u und v nicht gleichzeitig dieselbe Frequenz verwenden dürfen • Rufanforderungen (Request) r1,r2,r3,… mit ri = (vi,ti,di,bi) mobiler Teilnehmer (sortiert nach ti) • viV: (zuständige) Relaisstation • tiIN: Zeitpunkt der Rufanforderung • diIN{1}: Dauer der Übertragung • biIN: Belohnung (Gewinn des Netzwerkbetreibers, wenn Anforderung ribedient wird) • Calls können abgelehnt oder bedient werden

4. Call-Control in Zellularen Netzwerken (II) • Requests können abgelehnt oder bedient werden • Entscheidung muß zum Zeitpunkt ti getroffen werden • Ist im Moment keine Frequenz verfügbar, muß Request abgelehnt werden • Wird ein Request abgelehnt, geht der Betrag bi verloren • Wird ein Call angenommen, • dann wird dem Call eine Frequenz für den Zeitraum [ti,ti+di–1] zugewiesen • Diese Frequenz steht in dieser Zeit vi und allen Nachbarn von vi im Interferenzgraph G nicht mehr zur Verfügung • muß der Call vollständig bedient werden • Sinneswandel nicht möglich • erhält man die Belohnung bi

5. Beispiel 3 2 1 4 • Interferenzgraph: • 3 Frequenzen: • Call: r1=(2,1,100,1) • Akzeptiert auf Frequenz 1 • Blockierte Frequenzen: • Belohnung:1 • Call: (1,2,3,1) • Abgelehnt(warum auch immer)

6. Online-Problem • Optimale Lösung ist nur a-posteriori möglich: • Fall • Sei V={1} und betrachte Anfragesequenz:(1,1,10,2), (1,1,1,1), (1,2,1,1), (1,3,1,1), (1,4,1,1),…,(1,10,1,1) • Beste Lösung: Verwerfe (1,1,10,2) und akzeptiere alle anderen • Belohnung: 10 • Fall • Sequenz besteht nur aus (1,1,10,2), (1,1,1,1) • Beste Lösung: Akzeptiere (1,1,10,2) • Belohnung: 2 Problem: Entscheidung muß zum Zeitpunkt t=1 geschehen!

7. Analyse von Online-Algorithmen: Kompetitives Verhältnis • Optimale Offline-Lösung • Hinterher ist man klüger: Berechne optimale Strategie hinterher • Online-Algorithmus • Entscheidet sich jeden Tag online, ohne die Zukunft zu kennen • Kompetitives Verhältnis (competitive ratio) • (Kosten online-Algorithmus) / (optimale offline-Kosten) • Adversary • Ein Gegner versucht das kompetitive Verhältnis zu maximieren • Unser Ziel • Kompetitives Verhältnis optimieren (minimieren, maximieren)

8. Ergebnisrückblick • Greedy-Algorithmus A (Flatrate ohne Auflegen) • kompetitives Verhältnis (G)+1 für Calls mit Belohnung 1 und unendlicher Dauer • Übung: kompetitives Verhältnis (G) • Untere Schranke für deterministischen Greedy-Algorithmus • mindestens kompetitives Verhältnis (G) für Calls mit Belohnung 1 und unendlicher Dauer • Oblivious Adversary • Classify-and-Randomly-Select-Algorithmus hat erwartetes kompetitives Verhältnis (G) für Calls mit Belohnung 1 und unendlicher Dauer • Reduktion auf eine Frequenz • Jeder p-kompetitive Algorithmus für das Call-Control-Problem mit einer Frequenz kann in einen (p+1)-kompetitiven Algorithmus für das Call-Control-Problem mit c>1 Frequenzen umgewandelt werden

9. Algorithmus B:Block-and-Random-Serve • Annahme: • Einheitsbelohnung 1 und für immer, d.h. b=1 und d=1 • Interferenzgraph G und eine Frequenz gegeben, pro Station min. ein Request • Probabilistischer lokaler Algorithmus für eine Frequenz ohne Auflegen: Block-and-Random-Serve (BaRS) begin for i=1 to ∞ do if Frequenz in vi nicht verfügbar, weil Nachbar gefärbt then Blockiere vi else di ← Anzahl nicht blockierter Nachbarn von vi Mit W’keit 1/di bediene Request ri , sonst lehne ab für immer fi od end

10. Analyse BaRS I Lemma Die Anzahl der akzeptierten Requests ist mindestens n/(4(+1)), falls  der durchschnittliche Grad in G ist. Beweis: • Sei vi ein nicht isolierter und nicht blockierter Knoten. • Es gilt: di > 0, d.h. di + 1 > 1 • E[# gefärbter + # blockierter Knoten durch vi] = (di + 1) / di > 1 • E[# für immer abgelehnter Knoten durch vi] = (1- (1 / di)) < 1 • Sei x die erwartete Anzahl gefärbter Knoten, dann:

11. Analyse BaRS II • Sei x die erwartete Anzahl gefärbter Knoten, dann: • Für jeden gefärbten Knoten dj (N(vj) nicht-blockierte Nachbarn)): • Nun betrachten wir zwei ungefärbte und noch nicht blockierte Nachbarknoten vj und vk. O.B.d.A. dj  dk. Dann: • Insbesondere: E(dk)  E(dj)

12. Analyse BaRS III • Wir erhalten:

13. Analyse BaRS IV • Mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung:

14. Analyse BaRS IV • Der Beweis zu dem Lemma kann auch für einen nicht-oblivious Gegner erweitert werden: • Damit erhalten wir ein kompetitives Verhältnis von:

15. Bemerkung zur BaRS • Für beliebige Dauer di und beliebige Belohnung bi verlieren wir den Faktor log T bzw. log F • T: Verhältnis zwischen längster und kürzester Dauer • F: Verhältnis zwischen größter und kleinster Belohnung

16. Zusammenfassung • Physikalische Grundlagen der Funkübertragung • Datenschicht, Mediumzugriff (CDMA) • Zellulare Netzwerke: Voronoi-Diagramme (Effiziente Berechnung) • Das Frequenzzuweisungsproblem • Das Radio-Broadcasting-Problem • Mobile Ad-Hoc-Netzwerke • Call Control

17. Viel Spaß beim Nacharbeiten der Vorlesungund viel Glück für die Prüfungen! Und nicht vergessen: 19.02. um 19.30 Uhr im Kachelöfchen!