1 / 45

PROBLEME REZOLVATE

Profesor TIT CUPRIAN. PROBLEME REZOLVATE. GEOMETRIE. SEMESTRUL II. CLASA a VII-a. ASEM Ă NAREA TRIUNGHIURILOR. Realizat de prof. TIT CUPRIAN. PROBLEMA 1.

silas
Download Presentation

PROBLEME REZOLVATE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Profesor TIT CUPRIAN PROBLEME REZOLVATE GEOMETRIE SEMESTRUL II CLASA a VII-a .

  2. ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILOR . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  3. PROBLEMA 1 Fie triunghiul ABC, AB = 12cm, BC = 18cm, AC = 15cm, MN = 12cm, MN||BC, M[AB] si N[AC]. Aflati lungimile segmentelor AM si AN. Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta: Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor: Rezolvare: A AM = 122:3 = 8cm AN = 152:3 = 10cm M N B C . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  4. PROBLEMA 2 Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 12cm si CD = 6cm. Diagonalele ACBD={O}; daca BD = 15cm, aflati lungimile segmentelor BO si OD. ODCOBA (cazul U.U.) Rezolvare: D C x Daca notam OD = x, atunci BO = 15 –x. Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor: O 15-x A B  2x = 15 – x  3x = 15  x = 15:3 = 5cm. Asadar OD = 5cm si BO = 15 – 5 = 10cm. . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  5. PROBLEMA 3 Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 6cm si CD = 5cm; AD = 2cm; BCAD={O}. Se cere sa aflati lungimea lui AO. Rezolvare: Daca DC||AB atunci ODCOAB si rezulta: O Daca notam OD = x, atunci OA = 2 +x x Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor: x+2 5 C D  6x = 5x + 10 2  x = 10 • OD = 10cm si AO = 10 + 2 = 12cm. A B 6 . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  6. PROBLEMA 4 Fie ABC cu AB = 15cm; MN||BC, M[AB], N[AC]. Aflati lungimea segmentului AM astfel incat aria AMN sa fie 44,(4)% din aria ABC. Rezolvare: Daca MN||BC atunci AMNABC si rezulta: A unde i este raportul de asemanare; Notam AM = x; x = 10 x Din relatia (1) rezulta: N M B C . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  7. PROBLEMA 5 Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 20cm si BC = 15cm. BE este perpendiculara pe AC, E[CD]. Aflati lungimea segmentului [CE]. Rezolvare: In conditiile in care unghiul BACunghiul CBE (sunt unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare, si triunghiurile ABC si BCE sunt dreptunghice atunci avem: ABCBCE din care rezulta: D E C Inlocuim in sirul de rapoarte egale lungimile segmentelor: 15 A 20 B . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  8. PROBLEMA 6 Fie ABC un triunghi dreptunghic in A; daca AB = 30cm, AC = 40cm, BC = 50cm sa se afle lungimea lui AD, unde ADBC. Rezolvare: Daca ADBC si BAAC atunci <BAD  <BCA A ABD  ABC  40 30 Mai cunoasteti si o alta metoda de rezolvare? C B D 50 . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  9. PROBLEMA 7 Fie ABC dreptunghic in A, AB = 10cm, AC = 24cm si BC = 26cm. In mijlocul O a lui BC se ridica o perpendiculara pe aceasta care taie pe AC in N. Aflati lungimea lui ON. A Rezolvare: ONCABC N 10 24 OB = OC = BC/2 = 26:2 = 13cm. 13 C B O 26 . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  10. PROBLEMA 8 Fie triunghiul ABC dreptunghic in A cu AB = 8cm; ADBC, D[BC]. Daca BD = 4cm sa se afle lungimile laturilor BC, AC si AC. Rezolvare:    A ABDBCA  CD = 16 – 4 = 12cm. 83 cm 8 cm  ADCABC  AC2 = 192 AC = 192 AC= 83. 12 cm 4 cm C B D 16 cm    ABDACD . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  11. PROBLEMA 9 Avem triunghiul isoscel ABC, AB = AC, AD = 8cm si BC = 12 cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului prin metoda asemanarii triunghiurilor. ABDBDE Rezolvare: A  8 cm O AE = AD + DE = 8 + 4,5 = 12,5 D 6 cm B C R = AE:2 = 12,5:2 = 6,25 cm. E .

  12. RELAŢII METRICE . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  13. PROBLEMA 1 Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB = 10cm si AD = 53cm, ADBC. Aflati lungimea lui BD, BC si AC. Rezolvare: 1) Aplicam teorema lui Pitagora in ABD pentru a afla BD: BD2 = AB2 – AD2 BD2 = 100 – 75 = 25  BD = 25 = 5cm. A 2) Aplicam teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC: AB2 = BDBC  100 = 5BC  BC = 100:5 = 20cm. 10cm 103cm 53cm 3) Pentru a afla lungimea lui AC aplicam teorema lui Pitagora in ABC: AC2 = BC2 – AB2  AC2 = 400 – 100 = 300 5cm  AC = 100 = 103cm. B C D 20cm Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, incercati sa rezolvati problema aplicand si teorema inaltimii. . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  14. PROBLEMA 2 Fie ABCD un patrat de latura AB = 10cm; punctul E se afla in interiorul patratului astfel incat AEB sa fie echilateral. Aflati lungimea lui [EC]. Rezolvare: Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E. D F In EGB avem: BE=10cm, BG=5cm. C GE2 = BE2 – BG2  GE2 = 100-25=75 E FE = GF – GE = 10 - 53cm. 10 53 In CEF: CE2 = FE2 + FC2 5 G B A . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  15. PROBLEMA 3 Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 25cm si DE = 4cm unde DEAB, Aflati lungimile celor doua diagonale. Rezolvare: In ADE aflam pe AE: C D AE2 = AD2 – DE2 = 20 – 16 = 4. AE = 4 = 2cm.  BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm. 4 4 25 In BDE aflam pe BD: 2 8 2 BD2 = BE2 + AD2 = 64 + 16 = 80. F A B E  BD = 80 = 45cm. 10 Coboram o perpendiculara din C pe dreapta AB: BF = AE = 2cm. CF = DE = 4cm. In ACF avem: AC2 = AF2 + CF2 = 122 + 42 = 144+16=160. . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  16. PROBLEMA 4 Fie triunghiul ABC isoscel, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului inscris triunghiului ABC. Rezolvare: Construim: ADBC; OEAC, O=centrul cercului inscris A In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm. Notam OD=OE= x; Daca CD=6 atunci si CE=6; AE=AC-EC=4cm. 4 Daca AD=8 atunci AO = AD – OD = 8–x. 10 8-x In AOE: AO2 = AE2 + OE2  (8 – x)2 = 42 + x2  64 – 16x + x2 = 16 + x2 x E O  16x = 64 – 16  16x = 48  x = 3cm. 6 Deci Rcercului inscris= 3 cm. x 6 Gasiti si o alta metoda de rezolvare! B C D 12 .

  17. PROBLEMA 5 Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului ABC. Rezolvare: Daca BC = 12cm, atunci BD = BC:2 = 6cm. A Notam AO=OB= x(raza cercului circumscris). In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm. x Rezulta ca OD=AD-AO=8-x. 10cm Aplicam teorema lui Pitagora in OBD: O OB2 = BD2 + OD2 x 8-x x2 = 62 + (8-x)2  16x = 100  C B 6cm D Gasiti si o alta metoda de rezolvare! . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  18. PROBLEMA 6 Fie ABCD un trapez dreptunghic, cu bazele AB=a, CD=b, astfel incat se poate inscrie un semicerc. Cum se poate calcula media aritmetica, media geometrica si media armonica cu ajutorul acestei probleme, urmariti rezolvarea. Rezolvare: Pentru ca acest trapez sa fie circumscris unui semicerc trebuie indeplinita conditia: BC=AB+CD=a+b. Urmariti figura. D b C 1) Sa calculam linia mijlocie OM (media aritmetica): b N P 2) Sa calculam ON=raza semicercului (media geometrica): AD2=BC2–(AB–CD)2=(a+b)2–(a–b)2=4ab. M O a 3) Sa calculam lungimea segmentului NP (media armonica): NPOCEB  A E B a . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  19. PROBLEMA 7 Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 10cm si BC = 16cm. Se cere sa se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC. Rezolvare: Prelungim pe AD pana taie cercul in E. A Unind E cu C se formeaza triunghiul ACE dreptunghic in C. Aplicam teorema lui Pitagora in ADC: AD2 = AC2 – CD2 = 100 – 64 = 36 6 AD = 36 = 6cm. 10 Aplicam teorema catetei in ACE: O AC2 = ADAE  100 = 6AE  AE = 100:6 = 16,(6) cm. 8  Raza=AO=AE:2=8,(3)cm. B C D E . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  20. PROBLEMA 8 Fie ABCD un patrat cu latura de 12cm. Fie punctele EAB si FAD astfel incat triunghiul CEF sa fie echilateral. Aflati lungimea lui BE. Rezolvare: Notam pe BE = x. C D 12cm Atunci AE = AF = 12 – x. Aplicam teorema lui Pitagora in BEC CE2 = BC2 + BE2 = 144 + x2 F Aplicam teorema lui Pitagora in AFE FE2 = AE2 + AF2 = 2(12 – x)2 12-x Dar FE = CE, asadar  2(12 – x)2 = 144 + x2 12-x x x2– 48x + 144 = 0  A B E Pentru a finaliza aceasta problema este necesar a se cunoaste rezolvarea ecuatiei de gradul II. . Realizat de prof. TIT CUPRIAN .

  21. PROBLEMA 9 Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm si CD = 8cm. Sa se calculeze perimetrul trapezului si lungimile diagonalelor. Rezolvare: Daca trapezul este isoscel atunci si triunghiurile AOB si COD sunt isoscele. D 8 C O Aplicam teorema lui Pitagora in BOC BC2 = BO2 + OC2 = 128 + 32 = 160 A B 16 Realizat de prof. TIT CUPRIAN .

  22. FUNCTII TRIGONOMETRICE . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  23. PROBLEMA 1 Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si masura unghiului cuprins intre ele egala cu . Sa se afle lungimea celei de-a treia laturi. Rezolvare: Construim inaltimea pe latura de lungime b. O notam cu h. In triunghiul din stanga avem: h= asin si x = acos Inseamna ca y = b – x = b - acos c a h Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul din dreapta: c2 = h2 + y2 = (asin)2 + (b - acos)2  c2 = a2sin2 + b2 – 2abcos + a2cos2 y x c2 = a2(sin2 + cos2)+b2 – 2abcos b Dar sin2 + cos2 = 1, asadar  c2 = a2 + b2 – 2abcos ( Teorema lui Pitagora generalizata sau teorema cosinusului ) . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  24. PROBLEMA 2 Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 600, masura unghiului A de 750 si AB = 8cm. Se cere sa se afle perimetrul si aria triunghiului. Rezolvare: A m(<BAC) = 1800 – m(<B) – m(<C) = 1800 – 600 – 450 = 750. In ABD: BD = ABcos60 = 80,5 = 4cm. AD = ABsin60 = 83/2 = 43cm. In ADC: CD = AD = 43cm. (ADC=isoscel si dreptunghic.) AC = CDsin45 = 432/2 = 26cm. 8cm PABC = AB + AC + BC = = 8 + 26 + 43 + 4 = = 12 + 43 + 26cm. 600 450 B D C . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  25. PROBLEMA 3 Trapezul ABCD cu baza mica CD = 3cm are AD = 4cm si masura unghiului A de 600 iar masura unghiului B de 300. Se cere sa aflati perimetrul si aria trapezului. AE = ADcos60 = 40,5 = 2cm. Rezolvare: D C 3cm DE = CF = ADsin60 = 43/2 = 23cm. BC = CF:sin30 = 23/0,5 = 43cm. 4cm BF = BCcos30=433/2=6cm. EF = CD = 3cm. 600 300 E F A B 8cm . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  26. PROBLEMA 4 Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm si AC = b = 8cm. Sa se afle sinA, sinB si sinC. Rezolvare: Folosim urmatoarea formula de calcul a ariei unui triunghi: A Unde p = semiperimetrul triunghiului. 7cm 8cm p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12 Folosim alta formula de calcul a ariei unui triunghi: B C 9cm Analog vom calcula la fel si sin B sau sin C. Se poate aplica in continuare si teorema sinusului: . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  27. PROBLEMA 5 Printr-un anume procedeu calculati tg150 Rezolvare: Luam un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300 si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui BC = 2 si apoi urmariti pasii de rezolvare: A 300 bisectoarea Daca BC =2, atunci: AC = 2BC = 4. AB = ACcos300 = 43/2 = 23. Aplicam teorema bisectoarei: 150 B D C Calculati singuri si sin150 si sin750. . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  28. PROBLEMA 6 Fara a utiliza tabele trigonometrice, calculati sin750. Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 750, 450 si 600. A Notam BD = 1 Rezulta: AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6. 7 50 Aria triunghiului ABC: 6 2 3 Dar aria ABC cu formula sinusului este: 450 1 600 3 B Asadar avem: D C . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  29. PROBLEMA 7 Deduceti urmatoarea formula in trigonometrie: sin2 + cos2 = 1. Rezolvare: A Scriem teorema lui Pitagora: AB2 + AC2 = BC2 Impartim relatia de mai sus prin BC2 si obtinem:  B C Atunci rezulta: . Realizat de prof. TIT CUPRIAN

  30. CERCUL SI POLIGOANE REGULATE .

  31. PROBLEMA 1 Fie un cerc de raza 6cm. Aflati lungimea cercului, aria cercului, lungimea arcului de cerc si aria sectorului de cerc de  = 600. Rezolvare: Lungimea cercului: L = 2R = 26 = 12 cm. A Aria cercului: A = R2 = 62 = 36 cm2. 6cm O 600 Lungimea arcului de cerc: B Aria sectorului de cerc: .

  32. PROBLEMA 2 Intr-un cerc este inscris triunghiul MNP cu m(<MPN)=450si MN = 82 cm. Se cere sa se afle raza cercului. Rezolvare: Fie O centrul cercului; daca m(<MPN) = 450, atunci m(<MON) = 900. Deci MON este dreptunghic isoscel. M Explicatii:<P = 450 rezulta ca arcul MN are masura de doua ori mai mare decat masura unghiului P, adica egala cu 900; unghiul MON, inscris in cerc cu varful in centrul cercului va avea masura egala cu masura arcului MN, adica 900. O 450 P 82 N .

  33. PROBLEMA 3 Perimetrul unui triunghi ABC este de 60 cm, iar latura [BC] are lungimea de 20 cm. Sa se calculeze lungimea segmentului AM, unde M este punctul de tangenta al laturii [AB] cu cercul inscris in triunghi. Rezolvare: A Daca cercul este inscris in triunghiul ABC atunci avem: AM = AP = x; BM = BN = y; CN= CP = z. Perimetrul = x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)=60 x x Rezulta cax+y+z = 30 P M Dar y+z = BC = 20 cm. z y Rezulta cax = AM = 10 cm. C B y z N .

  34. RE Ţ INE Ţ I ! Pentru triunghiul echilateral este specific numarul: Pentru un patrat este specific numarul: R R l l Pentru hexagonul regulat este specific numarul: R l .

  35. PROBLEMA 4 Sa se afle latura, apotema si aria unui triunghi echilateral daca raza cercului circumscris triunghiului este de 6 cm. Rezolvare: A AO = OB = R (raza cercului) AC = l = latura triunghiului OD = a = apotema triunghiului R l O R a C B D sau .

  36. PROBLEMA 5 Sa se afle apotema, aria triunghiului si raza cercului circumscris acestuia daca latura triunghiului este de 6 cm. Rezolvare: A AO = OB = R (raza cercului) AC = l = latura triunghiului OD = a = apotema triunghiului R l O R a C B D .

  37. PROBLEMA 6 Daca raza cercului circumscris unui patrat este de 8 cm, aflati latura, apotema si aria patratului. Rezolvare: l = R2 = 82 cm. A B O l R a C D E .

  38. PROBLEMA 7 Daca latura unui patrat este de 8 cm aflati apotema, aria patratului si raza cercului circumscris acestuia. Rezolvare: A B a = l/2 = 8/2 = 4 cm. O A = l2 = 82 = 64 cm2. l R a C D E .

  39. PROBLEMA 8 Daca raza cercului circumscris unui hexagon regulat este de 4 cm, aflati latura, apotema si aria hexagonului regulat. Rezolvare: A B l = R = 4 cm. O F C R l a E D .

  40. PROBLEMA 9 Daca latura unui hexagon regulat este de 6 cm, aflati apotema si aria hexagonului si raza cercului circumscris acestuia. Rezolvare: A B O F C R = l = 6 cm. R l a E D .

  41. CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC A 1. Construim un cerc; 2. Construim diametrul AP; 3. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OP; O 4. Unim punctele A cu B si A cu C; C B M 5. Daca nu avem nevoie de diametrul AP si de punctul M, le stergem. P .

  42. CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC A 1. Construim un cerc; 2. Luam un punct pe cerc; B F 3. Cu varful compasului in punctul A, trasam un arc de cerc (de aceeasi raza cu a cercului) obtinand punctul B; O 4. Acelasi lucru continuam din B s.a.m.d., obtinand punctele C, D, E, F. C 5. Unim punctele A, C si E. E 6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem. D . .

  43. CUM CONSTRUIM UN PATRAT INSCRIS INTR-UN CERC B 1. Construim un cerc; 2. Construim un diametru; 3. Construim un alt diametru perpendicular pe primul; O A C 4. Unim consecutiv punctele A, B, C, D. D .

  44. CUM CONSTRUIM UN HEXAGON REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC A 1. Construim un cerc; 2. Construim diametrul AP; E D N 3. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OP; O 4. Construim o coarda perpendiculara pe mijlocul razei OA; 5. Unim consecutiv punctele A, E, C, P, B, D; B C M 6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem. P .

  45. CUM CONSTRUIM UN HEXAGON REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC A 1. Construim un cerc; 2. Luam un punct pe cerc; B F 3. Cu varful compasului in punctul A, trasam un arc de cerc (de aceeasi raza cu a cercului) obtinand punctul B; O 4. Acelasi lucru continuam din B s.a.m.d., obtinand punctele C, D, E, F. C E 5. Unim consecutiv punctele A, B, C, D, E, F, A. 6. Daca nu avem nevoie de constructiile ajutatoare, le stergem. D .

More Related