演讲者： 07 数教 57 号 詹小华

1. 非十进制的利与弊 演讲者：07数教 57号 詹小华

2. 认识进制 • 十进制 • 二进制 • 八进制 • 十六进制 • 其它进制 • 对进制的选择

3. 对进制的认识 人们在生产实践和日常生活中创造了多种表示数的方法，这些数的表示规则称为数制。进位制是一种记数方式，故亦称进位记数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值 。 可使用数字符号的数目称为基数或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。历史上曾经有过很多种计数进制，这些进制的产生有一定的偶然性，在人类早期的计数系统中，就像我们小时候数数字一样，用手指头开始。例如人们常用的十进制、计算机中采用的二进制，还有六进制，八进制，九进制，十二进制，十六进制，六十进制等等。 返回

4. 十进制 十进制是今天最为常用的系统。它被视为因为人类具有十根手指而产生。玛雅文明和其它前哥伦布时期中美洲文明使用二十进制，可能是源于人的手指和脚趾总数。 十进制的特征是： （1）有10个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。 （2）运算时逢十进一。 （3）每个数字在不同的数位上，其值的大小是不同的。 数位：个 十 百 千 万 …… 数值：100 101 102 103 104 …… 返回

5. 二进制计数法的加法规则是“逢二进一”，任意一个二进制数可用0、1两个数字符表示，其基数为2。二进制是计算机中采用的数制，计算机中之所以采用二进制而不采用十进制是因为二进制具有如下的几个特点：二进制计数法的加法规则是“逢二进一”，任意一个二进制数可用0、1两个数字符表示，其基数为2。二进制是计算机中采用的数制，计算机中之所以采用二进制而不采用十进制是因为二进制具有如下的几个特点： 1、简单易行，容易实现。因为二进制仅有两个数码0和1，可以用两种不同的稳定状态来稳定可靠。 2、运算规则简单。二进制的计算规则非常简单，运算时逢二进一。以加法为例，二进制加法规则仅有四条：0＋0=0；0＋1=1；1＋0=1，1＋1=10；而且每个数字在不同数位上，其值以2的倍数递增。即20，21，22，23，24，…… 3、适合逻辑运算。二进制中的0和1正好分别表示逻辑代数中的假值（False）和真值（True）。二进制代表逻辑值容易实现逻辑运算。 二进制在计算机编码中的应用，虽然它的效率很低，字符串很长，但是因为目前微电子技术和逻辑电路的实现0、1的状态存在两个重要的优势：技术实现容易、抗干扰能力强信噪比高。 二进制本身不复杂，但用二进制数表示一个数值时,位数比较长，不便书写和记忆。如，十进制的1000换成二进制需要用十位数才能表示。由于又有下面的关系：23=8及24=16，所以人们常用八进制数或十六进制数来表示二进制数。 二进制 返回

6. 八进制 基数8的系统（八进制）是北加利福尼亚的Yuki部落设计的，他们使用了手指间的间隔来数数。也有语言学证据显示青铜时代印欧人（多数欧洲和印度语言来源 于此）可能用基数10的系统取代了基数8系统（或者一个只能数到8的系统）。证据是代表9的词，newm，根据一些历史学家推测来源于“新”（'new', newo-），这表示数字9是当时最近发明的，所以称为‘新数’（'new number'） (Mallory & Adams 1997年)。 八进制数的特征： （1）有八个数字：0，1，2，3，4，5，6，7。 （2）运算时逢八进一。 返回

7. 十六进制 基数为16的系统（十六进制）曾经在中国的重量单位上使用过，比如，规定16两为一斤。现在的16进位则普遍应用在电脑领域，这是因为将二进制数字转化为十六进制数字非常容易，用十六进制表达数字比用二进制方便。1字节（一个8个位的二进制数字）可以很方便的表示成一个两个位的16进位数字。 十六进制数的特征： （1）有十六个数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。 （2）运算时逢十六进一。 在十六进制中，分别用A、B、C、D、E和F来表示十进制数的10、11、12、13、14和15。 返回

8. 六进制的容量比十进制的容量小，但实际上六进制是够用的。因为六进制中的10000换成十进制为1296。也就是说，六进制的四位数比十进制的三位数容量大，从而使用四个数为一个级次的六进制比使用三个数为一个级次的十进制有更大的容量。六进制相对十进制的另个优点是，六进制对3的倍数更敏感，也就是前面提到过的，六进制中很容易判断一个数是不是3的整数倍。六进制的容量比十进制的容量小，但实际上六进制是够用的。因为六进制中的10000换成十进制为1296。也就是说，六进制的四位数比十进制的三位数容量大，从而使用四个数为一个级次的六进制比使用三个数为一个级次的十进制有更大的容量。六进制相对十进制的另个优点是，六进制对3的倍数更敏感，也就是前面提到过的，六进制中很容易判断一个数是不是3的整数倍。 涅涅茨语曾经使用基数9的系统（九进制），但在俄语的影响下转变为十进制。yúq一词最初表示9，但在俄语影响下变成了10的意思；所以在现在的涅涅茨，9现在是xasu-yúq，也就是“涅涅茨yúq”，而10就是yúq，但在东部方言中也作lúca-yúq, 也就是“俄语yúq”。 基数12的系统（十二进制）曾经很流行，因为乘法和除法比十进制方便，12很有用，因为它有很多因子。它是1到4最小的公倍数。我们对十二有一个特殊的词“打”，并且使用12小时作为一个白天或者一个黑夜。十二进制可能来自于一只手除了拇指以外的四个手指的指节个数，它们曾被用来记数。 基数为60的系统(六十进制)是苏美尔人和他们在美索不达米亚的继承者所使用的，今天还在我们的计时系统中存在（所以一小时有60分钟而一分钟有60秒）。60也有大量因子，包括前六个自然数。六十进制系统被认为是因为十进制和十二进制合并过程中产生的。中国历法中，六十进制的甲子系统用于表示年，每个60年循环中的年用两个符号代表，第一个符号是十进制的天干，第二个符号是十二进制的地支。两个符号在后续一年中同时前进一，这样同样的组合在60年后再现。该系统的第二个符号也和12个动物的生肖系统对应。 其它进制 返回

9. 在这些进制中，对于人类，到底哪个最优秀？我们首先看一下使用十进制的好处。十进制中，不管一个整数有多大，我们可以很容易的判断它是不是2或5的倍数。因为，2的倍数个位都是0、2、4、6和8，5的倍数个位都是0和5。进一步分析，是因为10=2×5。因此，2和5是很特殊的数。当然，这是十进制中情况。其实，在现实生活中，我们往往需要判断一个数是奇是偶。也就是判断它是不是2的倍数。如果换成其他进制，还可以很容易的做出判断吗？不难发现，偶数进制可以，奇数进制不行。其原因就是奇数不是2的倍数。这个结论可以推广一下：若仅通过一个数（N）的个位便能判断这个数是否为另一较小数（n）的倍数，则使用的进制一定是kn进制（N、n、k均代表正整数）。单考虑这点，已有一半的进制被排除。在这些进制中，对于人类，到底哪个最优秀？我们首先看一下使用十进制的好处。十进制中，不管一个整数有多大，我们可以很容易的判断它是不是2或5的倍数。因为，2的倍数个位都是0、2、4、6和8，5的倍数个位都是0和5。进一步分析，是因为10=2×5。因此，2和5是很特殊的数。当然，这是十进制中情况。其实，在现实生活中，我们往往需要判断一个数是奇是偶。也就是判断它是不是2的倍数。如果换成其他进制，还可以很容易的做出判断吗？不难发现，偶数进制可以，奇数进制不行。其原因就是奇数不是2的倍数。这个结论可以推广一下：若仅通过一个数（N）的个位便能判断这个数是否为另一较小数（n）的倍数，则使用的进制一定是kn进制（N、n、k均代表正整数）。单考虑这点，已有一半的进制被排除。 一种进制是否优秀还有这样一个数学性较强的因素，那就是进制数的质分解是否没有出现相同的质数。如，十进制中，10=2×5；十二进制中，12=2×2×3。十进制是优秀的，因为没有出现相同的质数；十二进制则不好，因为有两个2。为什么会这样呢？这一因素涉及小数的表示问题。十进制的小数表示比较十进制合理得多。鉴于小数的进制转换相当麻烦，这里给出一个整数范围内的等价解释。十进制中，一个整数的5次方的个位与其本身的个位必然相等。这一现象只需要使用完全归纳便能得证。但十二进制中，不存在对应的性质。其中，6的N次方（N≥2，且为整数）个位必然为0。这一点使得十二进制的除法，在不能整除时，非常复杂。问题全出在2的倍数上。由此不难推测，八进制、十六进制、六十进制等有出现相同的质数的进制都不好。 对进制的选择

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