2-1 波函数 2-2 态迭加原理 2-3 Schr ö dinger 方程

1. 第二章　波函数与Schrödinger方程 2-1　波函数 2-2 态迭加原理 2-3　 Schrödinger方程 　　本章介绍量子力学最基本、最重要的概念与原理，含义深刻，重在理解。

2. 2-1　波函数 主要内容：微粒的波动性、测不准关系与力学　　　　　量平均值。 2.1.1 如何理解物质粒子的波动性？ 开始有二种典型理解： • 　一个实物粒子看成一个波包。 问题：波包会扩散；电子衍射，电子不可分。 波包说夸大了波动性一面。 • 　实物粒子看成疏密波。 问题： 电子衍射表明，单个粒子也有波动性。 疏密波说夸大了粒子性一面。

3. 2.1.2 几率波 这个波不再是经典概念下的波（不是实在物理量在空间呈现什么波动性），粒子也不再是经典概念下的粒子（没有轨道）。 微观粒子的波动性和粒子性统一应是微观客体的颗粒性与波的最本质的东西－－波的叠加性的统一。 1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。这样描写粒子的波叫几率波。 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果， 电子双缝衍射实验为例说明：

4. 1  2 (1)入射强电子流，一次性形成干涉条纹； (2)入射弱电子流，长时间积累形成干涉条纹。 （见书P20图2.3）

6. 波函数模的平方 代表时刻 ，在 处 粒子出现的几率密度。 时刻 粒子出现在 附近 体积内的几率为： 在底片上P点干涉条纹的强度， 一方面∝在 P点感光点数目∝在 P点出现电子数目　　　∝电子出现在 P点的几率。 　 另一方面∝波函数在 P点的强度，即　　　　　　　。 二方面结合起来，电子出现在 P点的几率∝波函数模平方　　　。  波函数的具体统计含义 即t时刻粒子的位置几率密度

7. 若一个未归一化波函数为 ，如何让其归一化？ （注：归一化波函数还有一个相因子　　的不确定。） 波函数必须满足以下几个条件： 单值、连续、有限 并要求波函数归一化 c 叫归一化系数。 Ψ，ψ΄描述的是同一个微观状态。

8. 经典波和微观粒子几率波的区别：　 （1） 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子位置的几率分布； （2） 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原 来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的相对几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变； （3） 对经典波，加一相因子 ，状态会改变，而对 几率波，一般讲，加一相因子 不会引起状态改变。

9. 　例子，自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量P。对应的德布罗意 波具有频率和波长： 或者用角频率和波矢量表示： 自由粒子波函数采用单色平面波，用其复数形式为： 一维实部就是平面波：

10. 自由粒子波函数模平方　　　　　是常数，符合自由粒子处处出现的几率相等的特点。自由粒子波函数模平方　　　　　是常数，符合自由粒子处处出现的几率相等的特点。 自由粒子波函数能否归一化？（P23练习题2） 不能！ 　　波函数的统计解释是量子力学的基本假设之一，刚开始曾受到爱因斯坦等人反对，涉及到很深的哲学问题。爱因斯坦说，上帝不与世人投骰 (shai)子。至今，尽管还有争论，已为整个物理界所普遍接受。 玻恩(Max Born, 1882-1970),　　　　1954年获得诺贝尔物理奖。

11. 引入符号：　　　　　　　　　， • 多粒子波函数为：　　　　　　　　。　 则 表示t时刻: 粒子1出现在　　　　　　中，　 同时粒子2出现在　　　　　　　中， ······ 同时粒子N出现在　　　　　　　中的几率。 称为内积。 多粒子波函数归一化为：

12. 作业－2 p23 1、练习题1。 2、练习题4。 　 3、氦原子的动能是E=3kT/2，其中k是玻尔兹曼常数。求T=1K时氦原子的德布罗意波长。 有关常数数值为： 　　k=1.381χ10-23J·K-1，h=6.626χ10-34J·S, 　　1μ=1.673χ10-27Kg. 　答：λ=1.26nm

13. 波函数小结 波函数模的平方 代表时刻 ，在 处 粒子出现的几率密度。 1、 波函数的具体统计含义 时刻 粒子出现在 附近 体积内的几率为： 即t时刻粒子的位置几率密度

14. 一个波函数　　　　如何归一化？ 2、波函数必须满足以下几个条件： 单值、连续、有限，要归一化 c 叫归一化系数。　

15. 自由粒子波函数采用单色平面波，用其复数形式为：自由粒子波函数采用单色平面波，用其复数形式为： 3、自由粒子的波函数 自由粒子波函数不能归一化（P23练习题2）

16. 2.1.3 动量几率分布 物理含义：表示t=0时刻粒子所处的态ψ（r)按平面波　　　　　　　　　　展开。 就表示此态中动量为　　　　　　的几率。 －－动量几率分布函数。 1、波函数富叶立变换与逆变换 波函数一般都可以作富叶立展开：

17. 例子，设t=0时，粒子的状态为： 　　求此时粒子的可能动量和对应几率。 • 波函数富叶立逆变换： （P24,（16）） 答：动量的可能值为 ： 对应的几率为 ：　　1/2, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8,

18. 2、动量几率分布函数归一化 只要波函数是归一化的, 则动量几率分布函数一定归一化的， （证明见P25）

19. 2.1.4 测不准关系 　测不准关系的物理表述及物理意义 x表示粒子在x方向上的位置的不确定 范围，px表示在x方向上动量的不确定 范围，其乘积不得小于一个常数。 若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间为 无限长， t= 。 1927年海森堡提出了测不准关系，它是自然界的 客观规律，不是测量技术和主观能力的问题。是量 子理论中的一个重要概念。（在4.3.1节，给出证明）

20. 例1：小球质量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒 x=10-6米，则： 因为普朗克常数在宏观尺度上很小，因此物理量的 不确定性远在实验的测量精度之内。 例2：电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的 x10-10米，则： 结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身 的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可 用不确定关系具体说明。

21. 可见 例3：在示波管中电子的x10-4米，V107m/s, 则： 这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。  测不准关系不是测量仪器不先进或精度不够，而是粒子具有波粒二象性的必然结果。为了避免误解，有的书上把测不准关系说为不确定关系（uncertainty relation）.以单缝衍射为例来说明。

22. a p x y p X  测不准关系是粒子具有波粒二象性的必然结果。下面以单缝衍射为例来说明。

23. 电子通过单缝位置的不确定范围 根据单缝衍射理论，第一极小处有公式： 电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少： 上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的 量值关系。量子力学严格证明给出：

24. 电子束缚在半径为r的球内，所以 按不确定关系  测不准关系的应用 在原子尺度内， 是个良好的近似。  估算氢原子可能具有的最低能量 当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量： 代入上式得：

25. 基态能应满足： 由此得出基态氢原子半径： 基态氢原子的能量： 与波尔理论结果一致。 本例还说明：量子体系有所谓的零点能。 因为若束缚态动能为零，即速度的不确定 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 即不被束缚。这与事实相左。

26. 原子中某激发态的平均寿命为  解释谱线的自然宽度 普朗克 能量子假说 不确定关系 它能解释谱线的自然宽度 谱线的 自然宽度

27. 2.1.5 力学量平均值与算符引进 （假定　　　已归一化） 注 • 坐标，势能与动量的平均值 （推导见P29（29）式）

28. 除了位置和动量以外，其他以坐标为自变量的函数除了位置和动量以外，其他以坐标为自变量的函数 的一类力学量，其所对应的算符就是函数本身。 如势能和作用力 。 • 算符引入 规定：与经典力学量对应的量子力学基本算符为： 另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学所对应的算符可用动量的对应关系得出，例如动能算符的表达式：

29. 角动量算符的表达式：

30. 能量算符 即哈密顿算符 普遍的平均值公式： 或写成： 若波函数未归一化，则平均值公式为：

31. 2.1.6 统计诠释对波函数提出的要求 • 单值、连续、有限、归一化 • 一般要求波函数连续可微，且一阶导数也连续可微（特殊点除外）。

32. 1、已知粒子波函数为　　　　　　（b>0), 求归一化系数A，　　。 2、在示波管中电子的x10-4米，V107m/s, 　　　＝？ 3、已知粒子波函数为　　　　　　　　，求证其动量几率分布函数为　　　　　　　　　， 作业－3：