Valuing Stock Options:The Black-Scholes-Merton Model

1. Valuing Stock Options:TheBlack-Scholes-Merton Model Chapter 13

2. Black-Scholes modellen • Vi skal nå se på ”arbeidshesten” i moderne finansiell styring, nemlig Black – Scholes modellen • Presentert i artikkel i 1973 • Myron Scholes fikk Nobelprisen i 1997 for å ha utviklet modellen (Fischer Black døde i 1995) • Det er meget komplisert å utlede modellen, men modellen er relativt enkel å bruke • I kapitlet skal vi prise aksjeopsjoner med Black-Scholes, men først skal vi se utdype drøftingen av volatilitet

3. Myron S Scholes

4. Black-Scholes Random Walk forutsetning • Vi må gjøre noen grunnleggende forutsetninger om hvordan aksjekurser endres over tid • Vi ser på en aksje med kurs S • Aksjekursene følger en lognormal fordeling • Over en kort tidsperiode Dt antar vi at avkastningen på aksjen (DS/S) er normalfordelt med gjennomsnitt mDt og standardavvik • m er forventetr avkastning og s er standardavvik

5. Lognormalfordelingen • Disse forutsetningene gir at ln ST er normalfordelt med gjennomsnitt: og standardavvik: • En variabel som følger en lognormal fordeling har den egenskap at logaritmen er normalfordelt

6. Lognormalfordelingen hvorm,v] er en normalfordeling med gjennomsnitt m og varians v

7. Lognormalfordelingen

8. Eksempel 13.1

9. Eksempel 13.1, forts. • Sannsynligheten for at en normalfordelt variabel har en verdi innen 1.96 standardavvik fra gjennomsnitt er 95 %. Med 95 % konfidens har vi at:

10. Forventet avkastning • Forventet aksjekurs er S0emT • Forventet avkastning med kontinuerlig renteregning er m – s2/2 • Aritmetisk avkastning over korte tidsperioder Dt er m • Gjennomsnittlig geometrisk avkastning er m–s2/2

11. Eksempel 13.2 • En aksje har forventet avkastning på 17 % pr. år og standardavvik 20 % pr. år. Sannsynlighetsfordelingen for avkastningen over et år er normalfordelt med gjennomsnittlig verdi • 0.17 – 0.22/2 = 0.15 eller 15 % og standardavvik 20 %. • Siden sannsynligheten for at en normalfordelt variabel ligger innen 1.96 standardavvik fra gjennomsnittlig verdi er 95 %, kan vi med 95 % konfidens si at avkastningen vil ligge mellom – 24.2 % og 54.2 %

12. Business snapshot 13.1 • Aksjefond og andre presenterer ofte misvisende opplysninger om oppnådd avkastning. • Anta at avkastningen de siste 5 år har vært 15 %, 20 %, 30 %, - 20 %, 25 % • Aritmetisk gjennomsnitt er (15 + 20 + 30 – 20 + 25)/5 =14 % • En investor som har plassert penger i 5 år har ikke oppnådd slik avkastning • 100 kr plassert 5 år ville vokst til 100 ∙1.15 ∙ 1.2 ∙ 1.3 ∙ 0.8 ∙1.25 = 179.40. • Dette er en årlig avkastning på 1.7940.2 – 1 = 12.4%

13. Volatilitet (standardavvik) • Volatilitet er standardavviket til kontinuerlig beregnet avkastning i løpet av et år • Standardavviket over tid Dt er • Hvis en aksjekurs er $50 og volatiliteten er 25% årlig, hva er standardavviket for daglige prisendringer?

14. Estimeringavvolatilitetfrahistoriske data (page 295-297) 1. Registrer aksjekurser S0, S1, . . . , Sn med intervall på t år 2. Vi definerer kontinuerlig avkastning som 3. Beregn standardavvik, s , til ui ene 4. Estimatet for historisk volatilitet er

15. Standardavvik

16. Eksempel 13.3

17. Vi kan også bruke STDAV i Excel

18. Forutsetninger i Black-Scholes • Aksjekurser følger en lognormal fordeling • Ingen transaksjonskostnader eller skatter. Aksjene er delbare • Ingen dividende i løpet av opsjonens levetid • Ingen risikofrie arbitrasjemuligheter • Kontinuerlig omsetning av verdipapirer • Investorer kan låne eller plassere til samme risikofrie rente • Risikofri rente r er konstant

19. Resonnementer i Black-Scholes • Opsjonspris og aksjekurs avhenger av den samme grunnleggende risikokilde • Vi kan konstruere en portefølje bestående av aksjen og opsjonen som eliminerer risikoen • Denne porteføljen er risikofri og gir risikofri avkastning

20. Black-Scholes uttrykkene(See page 299)

21. N(x) funksjonen • N(x) er den standardisertenormalfordelingenogangirsannsynligheten for at en normalfordeltvariabel med forventetverdi 0 ogstandardavvik 1 har en verdimindreennx • Vi brukertabell (side 586 og587 iHull) eller Excel sin NORMSFORDELING

22. Egenskaper ved Black-Scholes • Hvis S0 blir veldig høy cgår mot S0– Ke-rTog p går mot 0 • Hvis S0 blir veldig liten går c mot 0 og p mot Ke-rT– S0

23. Eksempel Black-Scholes • Anta at aksjekurs er 42, innløsningskurs 40, risikofri rente 10 % årlig, standardavvik 20 % årlig og det er 6 mnd til bortfall. • Hva er henholdsvis en kjøpsopsjon og en salgsopsjon på aksjen verdt?

24. Eksempel Black-Scholes

25. Eksempel Black-Scholes

26. http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5.http://www.oslobors.no/ob/opsjonskalkulator?menu2show=1.3.1.5.

27. Risikonøytral verdsetting • Variabelen m inngår ikke i Black-Scholes ligningen • Ligningen påvirkes ikke av noen variabler som er avhengig av holdning til risiko • Dette er konsistent med risikonøytral verdsetting

28. Risikonøytral verdsetting • Anta at forventet avkastning fra et papir er lik risikofri rente • Beregn forventet pay off fra derivatet • Finn nåverdi diskontert med risikofri rente

29. Risikofri verdsetting av en terminkontrakt • Payoff er ST – K • Forventet pay off i en risikonøytral verden er S0erT –K • Nåverdi av forventet pay off er f = e-rT[S0erT –K]= S0– Ke-rT

30. Implisitt volatilitet • Implisitt volatilitet er den volatilitet som gir at verdi kalkulert med Black-Scholes tilsvarer markedsverdien • Vi kan finne implisitt volatilitet ved å “backe” ut av Black-Scholes siden alle andre inputs en standardavvik er kjent • Målsøkeren i Excel kan brukes

31. Eksempel Black-Scholes Hva måtte standardavviket være for at verdien på en kjøpsopsjon skulle bli 5?

32. Dividender • Vi finner verdi på europeiske opsjoner hvor aksjen betaler dividende ved å trekke fra nåverdien av dividenden fra aksjekursen, og legge denne verdien inn i Black-Scholes • Dagen en aksje går “ex-dividend” faller kursen med utbetalt dividende • Bare dividender som betales i løpet av opsjonens levetid skal med

33. Eksempel Black-Scholes med dividende • Anta at aksjekurs er 40, innløsningskurs 40, risikofri rente 9 % årlig, standardavvik 30 % årlig og det er 6 mnd til bortfall. • Det betales dividende på 0.5 om 2 mnd og om 5 mnd • Hva er en kjøpsopsjon og en salgsopsjonpå aksjen verdt? • Nåverdi av dividende:

34. Eksempel Black-Scholes

35. American Calls • En amerikansk call på en aksje som ikke betaler dividende bør aldri utøves tidlig • En amerikansk call på en aksje som betaler dividende kan eventuelt utøves umiddelbart forut for ex-dividend date