ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICA

1. ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICA Bloque II * Tema 064 Matemáticas Acceso a CFGS

2. ECUACIÓN VECTORIAL • Por el punto A pasan infinitas rectas (r, s, t, etc). • Asimismo hay infinitas rectas que tengan la misma dirección que el vector u (q, p, h, etc). • Pero sólo habrá una recta, r, que pase por el punto A y tenga la misma dirección que el vector u. • Por lo tanto una recta viene determinada por un punto A y un vector u no nulo. • Se representa por r(A,u) • El punto A es un punto cualquiera por el que pase la recta r, y el vector u, llamado vector director, nos indica la dirección de la recta. q y u A s r p h OA t x O(0,0) Matemáticas Acceso a CFGS

3. PENDIENTE DE UNA RECTA • El vector OA es el vector de posición del punto A. • El vector u es el vector director de la recta que pasa por el punto A. • Está claro que ambos vectores no tienen la misma inclinación. • La pendiente de una recta es la medida de su inclinación: • Incremento de la ordenada (y) • m = ------------------------------------------ • Incremento de la abscisa (x) • Si llevamos el vector u sobre la recta r vemos que su inclinación coincide. • Si las coordenadas del vector u son u=(a, b) • b • m = --- , que es la pendiente de la recta r. • a • También m =tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abcisas. y u =(a,b) u A b a r OA x O(0,0) Matemáticas Acceso a CFGS

4. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA • Sea X un punto cualquiera de la recta r(A, u) • Como se ve en la figura, el vector OX es suma del vector OA y del vector AX. • El vector AX es t veces el vector u. • Siendo t un número que se llama parámetro de la recta. • Luego, como OX = OA + AX. • OX = OA + t. u • Si X(x,y), u=(a, b) y A(xo, yo) • (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) y X u AX A r OX OA x O(0,0) Matemáticas Acceso a CFGS

5. Ejemplo_1 • Una recta r forma un ángulo de 30º con el eje de abscisas. • a) Hallar su pendiente. • b) Hallar un vector director de la recta. • c) Hallar la ecuación vectorial de la recta sabiendo que pasa por el punto A(3, -2) • Resolución: • a) m = tan α , siendo α = 30º • m = tan 30º = 1 / √3 = √3 / 3 • b) Un vector director u=(a.b) de la recta cumple: • b • m= --- , o sea √3 / 3 = b / a  b= √3 /, a = 3  u =(3, √3) nos vale. • a • c) La ecuación vectorial de la recta es (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) • Luego sustituyendo en la expresión los datos conocidos: • (x, y) = (3, - 2) + t.(3, √3) Matemáticas Acceso a CFGS

6. s A(1, 3) • Ejemplo_2 • Hallar la ecuación vectorial de las rectas sobre las que se apoya el triángulo de la figura. • Resolución: • Podemos tomar los lados a, b y c como vectores directores de las rectas r, s y t respectivamente. • Luego: • a = (4, 0), b =(-3, 3) y c = (1, 3) • La ecuación de r(C, a) es: • (x, y) = (4, 0) + t.(4, 0) • La ecuación de s(A, b) es: • (x, y) = (1, 3) + t.(- 3, 3) • La ecuación de t(B, c) es: • (x, y) = (0, 0) + t.(1, 3) c b r B(0, 0) a C(4, 0) t Nota: A la hora de hallar el vector director de una recta, no nos importa su sentido. Así, el vector director b puede ser: b =(- 3, 3) o también b =(3, - 3) Matemáticas Acceso a CFGS

7. D(4, 4) A(1, 3) • Ejemplo_3 • En el rombo de la figura, donde nos dan las coordenadas de los vértices, hallar la ecuación vectorial de: • a) El lado CD • b) La diagonal menor AC • Resolución: • a) Hallamos el vector director CD: • CD=(4, 4) – (3, 1) = (1, 3) • La ecuación del lado CD es: • (x, y) = (3, 1) + t.(1, 3) • b) Hallamos el vector director AC: • AC=(3, 1) – (1, 3) = (2, - 2) • La ecuación de la diagonal es: • (x, y) = (1, 3) + t.(2, - 2) C(3, 1) B(0, 0) Nota: Hallar la ecuación de la recta sobre la que se apoya el lado de un polígono es igual que hallar la ecuación del lado. Matemáticas Acceso a CFGS

8. ECUACIÓN PARAMÉTRICA y • ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA RECTA • La ecuación vectorial de la recta es: • OX = OA + t. u  (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) • Para cada valor de t tendremos un par de valores (x,y) de los puntos que forman parte de la recta. • Si desglosamos las coordenadas en x e y: • x = xo + t.a • y = yo + t.b • Que es la ecuación paramétrica de la recta ( x e y dependen del valor que tome el parámetro t). Dos expresiones, una sola ecuación: No es un sistema. u X AX A r OX OA x O(0,0) Matemáticas Acceso a CFGS

9. Ejemplo_1 • Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) • Hallar su ecuación paramétrica. • Desglosando las coordenadas del vector: • x = 0 – 3.t • y = 2 + 5.t • Que es la ecuación paramétrica de la recta. • Ejemplo_2 • Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). • Hallar su ecuación paramétrica. • Como nos dan un punto A por donde pasa y un vector director u, su ecuación vectorial será: • (x, y) = (3, 4) + t.(6, 8) • Desglosando las coordenadas del vector: • x=3 + 6.t • y=4 + 8.t • Que es la ecuación paramétrica de la recta. Matemáticas Acceso a CFGS

10. D A(3, 6) • Ejemplo_3 • Los vértices A(3,6) y C(5, 4) son los vértices opuestos de un rombo. Hallar la ecuación paramétrica y continua de la diagonal BD. • Resolución: • Hallamos el vector director AC: • AC=(5, 4) – (3, 6) = (2, - 2) • Un vector perpendicular a AC podría ser: • u = (2, 2) • El punto medio del lado AC, que es por donde pasa la diagonal BD, es: • Xm = (3+5)/2 = 4 • Ym = (6+4)/2 = 5 • Luego la ecuación de la recta BD, que pasa por Pm(4,5) y u=(2,2) es: • (x,y) = (4, 5) + t.(2, 2) Pm C(5, 4) B • Su ecuación paramétrica es: • x = 4 + 2.t • y = 5 + 2.t Matemáticas Acceso a CFGS