Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3)

1. by Ratna Herdiana Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) • Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. • Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutubO dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O. O (the pole) ray (polar axis)

2. Titik P dengan koordinat polar(r, ) berarti berada diposisi: -  derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. • r:koordinat radial • :koordinat sudut

3. Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ) , untuk n bil. bulat genap Example: the following polar coordinates represent the same point (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

4. Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos , y = r sin Makar2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  • Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x). • Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

5. Persamaan2 dalam Koordinat Polar • Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a • Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a):r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos r = 2 cos  r = 2 sin 

6. Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

7. Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin  and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin  )2 = 4 sin  1 + 2 sin  + sin2 - 4 sin  = 0 sin2 - 2 sin  + 1 = 0 (sin  - 1)2 = 0  sin  = 1 Jadi sudut  =  /2 + 2n, dimana n = 0,1,… Jadi salah satu titik potong: (2,  /2)

8. Grafik Persamaan Polar Cardioid:

9. Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin  Limaçon: r() = 3 – 2 cos()

10. Persamaan berbentuk r = cos (n) atau r = sin(n ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jikanganjil, 2n jika n genap

11. Rose: r() = a – b sin (n)contoh: r() = 5 – sin(2)

12. Grafik persamaan polar

13. Lemniscate:

14. Spiral: r = 

15. Grafik dari “butterfly curve”r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin(/4)^3

16. Menghitung Luas dalam Koordinat Polar • Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial  =  dan  =  dan kurva r = f( ),    , adalah  = r = f()  =

17. Diket. luas lingkaran berjari r : • Luas juring (sektor) lingkaran: • Partisi selang [,  ]:  = 0 <1 <2 … <n = • Daerah R dibagi menjadi n buah sektor. • Luas sektor ke- i ( Ai )  Luas sektor dg jari2 f(i *) dan besar sudut i = i - i-1 . Ai Jadi A =

18. Hitung luas daerah limaçon dgn pers. r = 3 +2 cos , 0    2

19. Example • Solution:

20. Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

21. Luas daerah yg dibatasi ikalan luar: Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0) Luas =

22. Luas daerah antara dua kurva polar r = f() dan r = g(), dengan f()  g()  0, :

23. Kurva Parametrik (Ch.10.4) • Definisi: Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik) yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya). Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t  2 Atau

24. Kurva parameter dari fungsi parameter x= cos 3t, y = sin 5t, 0  t  2

25. Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

26. Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a) x = a(t – sin t) y = a(1- cos t) C(at,a) P(x,y) Q(at,y)

27. Garis tangen pada persamaan parametrik Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan. Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen Contoh; Cari persamaan garis tangen pada t yang ditentukan

28. Parametrik Koordinat Polar • Kurva dalam koordinat polar, r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter  : x( ) = f( )cos  , y( ) = f( )sin , (x dan y dinyatakan dgn parameter ). • Kemiringan dy/dx dari garis tangen

29. Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik

31. Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar berikut ini r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4. Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx

32. Conic Sections