Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius , Koordinat Polar, Koordinat Tabung , Koordinat Bola

1. BentukKoordinatKoordinatKartesius, Koordinat Polar,KoordinatTabung, Koordinat Bola Desember 2011

2. KoordinatKartesius • SistemKoordinat 2 Dimensi Sistemkoordinatkartesianduadimensimerupakansistemkoordinat yang terdiridariduasumbu yang salingtegaklurus, biasanyasumbu X dan Y

3. KoordinatKartesius y x

4. KoordinatKartesius • SistemKoordinat 3 Dimensi SistemKoordinatKartesian 3 Dimensi, padaprinsipnyasamadengansistemkoordinatkartesian 2 dimensi, hanyamenambahkansatusumbulagiyaitusumbu Z, yang ketiganyasalingtegaklurus

5. KoordinatKartesius z y x

6. Koordinat Polar • Dalamkoordinat polar, koordinatsuatutitikdidefinisikanfungsidariarahdanjarakdarititikikatnya. • Jika O merupakantitikpusatkoordinatdangaris OX merupakansumbu axis polar, makatitik P dapatditentukankoordinatnyadalamsistemkoordinat polar berdasarkansudutvektor (θ) dan radius vektor (r) ataugaris OP yaitu P (r, θ). Sudutvektor (θ) bernilaipositifjikamempunyaiarahberlawanandenganarahputaranjarum jam, sedangkanbernilainegatifjikasearahdenganputaranjarum jam.

7. Koordinat Polar • O • titikkutubsumbu polar • Dalambeberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. • Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

8. Titik P dengan koordinat polar(r, )berarti beradadi posisi: - derajat dari sumbu-x (sumbupolar) (diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r : koordinat radial  :koordinat sudut

9. Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (-r, +n ), untuk nbilanganbulat ganjil = ( r, +n ), untuk nbilanganbulatgenap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikutkedalam bentukkoordinatkartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)

10.  Koordinat Polar r

11. Konversi koordinat polar kedalamkoordinatkartesius • Gunakan relasi: • x= r cos  , y = r sin  • Maka r2 = x2 + y2, • tan  = y/x, jika x  0 • Catatan: menentukan  • Jikax > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 • jadi -/2 <  < /2   = arctan (y/x). • Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, •  =  + arctan (y/x).

12. Koordinat Polar Persamaan polar darilingkaranberjari-jari a adalah r = a Contoh: Untuklingkaranberjari-jaria, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di(a,0): r = 2acos 

13. Koordinat Polar Jika a = 1, maka r = 2 sin  r = 2 cos

14. Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalamsistem koordinat tegak: Kalikankedua sisi denganr menjadi r2= 2r sin  x2 + y2 = 2y x2+ y2- 2y = 0 Jadipersamaantersebutdalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2= 1

15.  Titikdalamkoordinattabung Koordinat Polar dalambidangdatar r

16.  r Titikdalamkoordinattabung Koordinattabunghanyadenganmenambahkansumbu-z padakoordinat polar (r,).

17.  r  r Titikdalamkoordinattabung (r,,z)

18. (r,,z)  r  r Konversiantarakoordinattabungdankoordinatkartesius

19. Titikdalamkoordinat bola (x,y,z) 

20. Titikdalamkoordinat bola

21. Titikdalamkoordinat bola 

22. Titikdalamkoordinat bola

23. Titikdalamkoordinat bola

24. Titikdalamkoordinat bola Sudut .

25. Titikdalamkoordinat bola ( , ,) 

26. Konversiantarakoordinat boladankoordinatkartesius (x,y,z) r  z 

27. Konversiantarakoordinat bola dankoordinatkartesius (x,y,z) r  z 

28. Konversiantarakoordinat bola dankoordinatkartesius (x,y,z) r  z 

29. Integral padaKoordinatKartesius, KoordinatTabungdanKoordinat Bola

30. Integral: KoordinatKartesius Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untukmenghitung volume balok-balokkecildenganukuranpanjang, lebar , dantinggi

31.  r  r Integral: KoordinatTabung Bagaimanadenganukuran-ukuran dalamkoordinattabungr, q, and z? Denganmenganggapkasus 2 dimensidalamkoordinat polar

32. Integral: KoordinatTabung Denganekspansijari-jariukurankecil r r r+Dr

33. Integral: KoordinatTabung Jari-jaritabungbagiandalamrdanjari-jaribagianluarr+D r. r r+Dr r r+Dr

34. Dq   Integral: KoordinatTabung Sudutq terjadipenambahansudutsebesarDq.

35.  Integral: KoordinatTabung Iniadalahsuatubendapadatdengan jari-jari r dansudut

36. Integral: KoordinatTabung Iniadalahsuatubendapadatdengan jari-jarir dansudut

37. Integral: KoordinatTabung DenganpenambahanDz.

38. Integral: KoordinatTabung Untukmencari volume bendapadat

39. Maka . . . Integral: KoordinatTabung

40. Soal • Tunjukkandengangambartitik-titikberikutdalamkoordinat polar (2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4) 2. Diketahuipersamaandalamkoordinattabung: a. b. Tentukanpersamaandalamkoordinatkartesiusdangambarkan

41. Soal 3. Diketahuipersamaandalamkoordinatkartesius: a. b. Tentukanpersamaandalam koordinattabungdangambarkan

42. Soal 4. Diketahuipersamaandalamkoordinat bola: a. b. c. Tentukanpersamaandalam koordinatkartesiusdangambarkan

43. Soal 5. Diketahuipersamaandalamkoordinatkartesius: a. b. Tentukanpersamaandalam koordinat bola dangambarkan

44. Soal 6. Hitunglahdimana S tetrahedron dengantitik-titiksudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).