Cap. 3 y 4 – Movimiento en Dos o Tres Dimensiones

1. Cap. 3 y 4 – Movimiento en Dos o Tres Dimensiones

2. Para describir un movimiento en una dimensión sólo necesitabamos un núero real. Ahora necesitaremos por lo menos dos. En su forma más intuitiva serían la distancia recorrida y la dirección que puede ser determinada dando un ángulo (un segundo número real). Un concepto como éste en el cuál la dirección es importante se trabaja matemáticamente con la herramienta llamada vector. El desplazamiento es el ejemplo clásico de un vector. Veremos que hay otros vectores como velocidad, aceleración y fuerza.

3. Trabajando con Vectores Geométricamente Una forma matemática muy intuitiva de trabajar con vectores es haciendo un dibujo geométrico. El vector es una flecha apuntando en cierta dirección. La longitud de la flecha indica la magnitud. Por ejemplo, para un desplazamiento, la magnitud es la distancia entre el punto inicial y el punto final del movimiento. En estos dibujos la localización del vector no importa. Uno puede mover el vector y obtiene un vector igual después que no cambie la dirección de la flecha ni su longitud. Todos los vectores en este dibujo son iguales.

4. Suma de Vectores Geométricamente Para desplazamientos el dibujo de vectores es un dibujo a escala de lo que ocurre en la realidad. Aquí tenemos un primer movimiento que empieza en A y termina en B (dibujado como el vector →a)seguido por un segundo movimiento que empieza en B y termina en C (vector →b). El resultado neto de estos dos movimientos (desplazamientos) es que se empezó en A y se terminó en C (vector →s). Queremos llamarle “suma” al resultado neto. Del dibujo es obvio que la manera de encontrar el vector resultante de esta suma es poniendo el rabo de →b en la cabeza de →a. El vector resultante,→s, la suma, va del rabo de →a a la cabeza de →b. Esto se llama sumar vectores “rabo con cabeza”.

5. Resta de Vectores Geométricamente Queremos que el álgebra de vectores sea lo más parecida posible al álgebra con números que ya conocemos. Para la situación de la transparencia anterior, →a + →b = →s. Queremos que →a = →s - →b tal como ocurriría si fuesen números. Y queremos que restar sea el equivalente de sumar el inverso, →a = →s + (-→b) donde (-→b) es un vector que llamamos “el inverso de →b”. Vemos que (-→b) tiene que ser un vector de la misma magnitud que →b pero en dirección contraria.

6. Otra Manera de Sumar Vectores GeométricamenteEl Método del Paralelograma Para otros tipos de vectores es más intuitivo dibujarlos rabo con rabo. Cuando hacemos este tipo de dibujo, se forma un paralelograma y la suma de los vectores es una de las diagonales del paralelograma. El dibujo aquí también es una prueba de la ley comutativa de la suma de vectores, o sea, →A + →B = →B + →A.

7. Resta de Vectores Geométricamente Aquí hemos dibujado el rabo de B en la cabeza de A y hemos calculado A - B como A + (-B) poniendo el rabo de (-B) en la cabeza de A. Aquí nos fijamos que el vector que obtuvimos arriba (A – B) es igual a un vector que va de la cabeza de B a la cabeza de A, o sea, es la otra diagonal del paralelograma!! Con el paralelograma podemos calcular la suma y también la resta de dos vectores.

8. Multiplicación de un Vector por un Escalar Un escalar es una variable que no tiene dirección, o sea, se puede medir sencillamente con un solo número real que puede tener signo negativo. Si usamos la letra k para designar un escalar, quisiéramos definir cuál es el vector que es el resultado de multiplicar k por el vector A. La contestación es que kA (el producto) tendrá una magnitud que es el producto de la magnitud de k por la magnitud de A. La dirección de kA será la misma que la de A, si k es positivo y será opuesta a A, si k es negativo. Fíjate que ahora podemos escribir – B como (-1)B.

9. Trabajando AlgebráicamenteComponentes de Un Vector Aunque el dibujo geométrico puede ser muy útil para entender fácilmente, no se pueden calcular las variables con precisión. Para cálculos típicamente se trabaja usando los “componentes” del vector. Los componentes son variables reales que facilitan el cálculo de la suma y la resta de vectores. Están basados en un sistema de coordenadas en el espacio real. La definición detallada se desprende de la figura. Para el caso de desplazamientos los componentes corresponden a las coordenadas del punto final en un sistema con el origen en el rabo del vector.

10. Suma de Vectores Algebráicamente Es muy sencilla, simplemente se suman los componentes! Ax + Bx = Cx Ay + By = Cy Lo mismo ocurre con la resta.

11. Dos Maneras de Especificar un Vector • Ambas usan dos números reales. • La primera es más intuitiva ya que usa la magnitud (un número positivo) y el ángulo que define la dirección. (A,θ) • La segunda usa los componentes (Ax, Ay). • Relaciones entre las dos descripciones: • Ax = A cosθ ;Ay = A sinθ • A = (Ax2 + Ay2)½ ; θ = tan-1 (Ay / Ax) • Al usar la calculadora para encontrar θ, siempre dará un número entre –π/2 y + π/2 . Hay que mirar (Ax, Ay) y sumarle π a la contestación, si es necesario.

12. Cuidado al Usar Estas Descripciones Es importante tener claro cómo es que se define θ. Para tenerlo claro, es útil poner un eje de coordenadas con el origen en el rabo del vector. Para vectores, los ejes de coordenadas se usan solamente para determinar direcciones; la posición del origen se puede mover. Los componentes no dependen de la posición del origen!!

13. Vectores Unitarios • Otra manera de escribir un vector

14. Movimiento en Dos o Tres Dimensiones Las Ecuaciones son las Mismas pero Ahora son Vectoriales Posición es un vector Desplazamiento Velocidad promedio Es un vector también Posición son dos/tres funciones Velocidad Instantanea Los componentes de la velocidad instantanea

15. La dirección de la velocidad instantanea La velocidad instantanea es en dirección de la tangente a la trayectoria.

17. Movimiento de Proyectil Dos Movimientos Independientes en Uno

19. Son Independientes!!! El mov. Horizontal no afecta al mov. Vertical El componente vertical del movimiento de la bola amarilla (proyectil) es igual que el de la bola roja que sólo tiene movimiento vertical (caida libre).

20. Más Dramático El blanco se suelta a la misma vez que se hace el “disparo” apuntando a la posición inicial del blanco. La bala tiene ambos movimientos, horizontal y vertical; el blanco sólo tiene el vertical. Al final llegan al mismo sitio!! Lo interesante es que esto trabaja no importa cuán duro sea el disparo!!!

21. Y al Revés!!! El mov. Vertical no afecta al mov. Horizontal El componente horizontal del movimiento del paquete (proyectil) es igual que el de la avioneta que sólo tiene movimiento horizontal (velocidad constante).

22. Más Dramático El tiene ambos movimientos, horizontal y vertical; la tabla sólo tiene el horizontal. Al final llegan al mismo sitio y el cae en la tabla.

23. Movimiento de Proyectil Vel. Constante en x, Acel. Constante en y Variables t, Δx, Δy,vy,v0x,v0y (vx=v0x) Afortunadamente, la gran mayoría de las variables están separadas en las ecuaciones. La única variable que aparece en todas las ecuaciones es t. A veces la velocidad inicial se da en términos de su magnitud y dirección (v0, θ0).

24. Las mismas ecuaciones escritas en términos de la magnitud y la dirección de la velocidad. Para las ecuaciones en “y” a veces será más útil usar alguna de las otras formas de las ecuaciones de mov. con acel. constante. Por ejemplo La parte vertical se brega exactamente igual que caida libre. Son las mismas ecuaciones!!! O sea se usa solo una de las cinco ecuaciones que es la que no contiene la variable que el problema ni me da ni me pide.

26. Análisis con las Ecuaciones

28. No se aprendan las siguientes ecuaciones. Sí deben ser capaces de derivarlas usando las ecuaciones fundamenta-les que son las ecuaciones de velocidad y aceleración constante. En el examen no vendrán problemas que se puedan resolver usando estas ecuaciones.

29. Problema Típico – La bola pasará la cerca? Solución – (1) Usando v0,θ0 calcular v0x v0y (2) Usando Δx, v0x (conocidos), calcular t, el tiempo para llegar a la posición de la verja. (3) Usando t, v0y calcular Δy. (4) Comparar la altura de la verja con la posición vertical de la bola.

30. Movimiento Circular con Rapidez Constante (uniforme) Ni la velocidad ni la aceleración son constantes porque su dirección está cambiando!!!!! En estos casos es más conveniente no usar un sistema de coordenadas fijo sino usar coordenadas longitudinal (tangente a la trayectoria) y transversal (perpendicular a la trayectoria).

31. Sistema de Coordenadas (Longitudinal, Transversal) (Util cuando la aceleración no es constante, e.g. movimiento circular uniforme) • También se usan los términos tangencial, radial. • La velocidad tiene sólo componente longitudinal (es tangencial) así que en este sistema de coordenadas la velocidad tiene un sólo componente. • La magnitud de la velocidad es la derivada del desplazamiento en arco con respecto al tiempo. (v = ds/dt) • La aceleración puede tener dos componentes. • Siempre tiene Transversal (radial) --- ar = v2 / R (R = radio de curvatura) • Puede tener Longitudinal (tangencial) --- at = dv/dt (si la rapidez cambia)

34. Movimiento Circular con Rapidez Constante (uniforme) • Descripción usando Coordenadas Longitudinal, Transversal es muy simple. • v = 2 π R / T donde T es el periodo. • La aceleración sólo tiene componente radial (transversal). • ar = v2 / R . La magnitud de la aceleración es constante.

35. Las ventajas de las coordenadas (tangencial, radial) en el Movimiento Circular Uniforme • Los vectores de velocidad y aceleración tienen un sólo componente. Velocidad es tangencial; aceleración es radial. • La posición se puede describir con una sola variable ya que su posición radial no cambia (es constante). Se puede usar un ángulo para describir la posición (θ) o equivalente-mente se puede usar la longitud de arco (s). s = r θ v = ds/dt a = v2 / r

36. Sistemas de Coordenadas en Movimiento • El sistema de coordenadas (longitudinal, transversal) es un ejemplo de un sistema de coordenadas que se mueve con el tiempo. Es un movimiento complicado porque también rota. Sin embargo, las ecuaciones que se obtienen con este sistema son sencillas y son las más útiles para ciertos casos (e.g. el caso de movimiento circular uniforme). • En otros casos es más útil considerar sistemas de coordenadas con movimientos más sencillos, i.e. sistemas que no rotan y que se mueven con velocidad constante. • Los casos en que tales sistemas de coordenadas son útiles son aquellos en los cuales hay tres cosas en el problema. Casi siempre una de estas cosas es la tierra que es el sistema de coordenadas más común en cualquier problema. • Problemas típicos de este tipo son problemas de movimiento a través de un medio, e.g. un bote en el agua o un avión en el aire.

37. Sistemas de Coordenadas en Movimiento Relativo con Velocidad Constante Hay tres vectores de posición, la del objeto (el punto P) con respecto al sistema A, la de P con respecto al sistema B, y la del sistema B con respecto a A. Del dibujo, es obvio que: Tomando la derivada con respecto al tiempo: Sin embago, como la velocidad de B con respecto a A es constante, al tomar otra derivada, obtenemos: Esto es un indicio de que la aceleración es una variable importante que mide algo muy real que es independiente del sistema de coordenadas que se usa para medirla. No podemos decir lo mismo para la velocidad. Más adelante veremos que en la ley fundamental del movimiento lo que aparece es la aceleración y no la velocidad.

38. Problemas de Velocidad Relativa Típicos