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Gradiente Topológico via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma na Otimização Topológica

Gradiente Topológico via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma na Otimização Topológica. Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Engenharia Mecânica Departamento de Projeto Mecânico. Divisão da Apresentação Motivação Problema Elíptico de Valor no Contorno

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Gradiente Topológico via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma na Otimização Topológica

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Presentation Transcript

  1. Gradiente Topológico via Análise de • Sensibilidade à Mudança de Forma • na Otimização Topológica Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia MecânicaDepartamento de Projeto Mecânico

  2. Divisão da Apresentação • Motivação • Problema Elíptico de Valor no Contorno • Definição do Gradiente Topológico • Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma • Cálculo do Gradiente Topológico via ASMF • Gradiente Topológico na Elasticidade • Aplicação • Conclusão Divisão da Apresentação

  3. Automação dos Projetos OTIMIZAÇÃO DE FORMA PARAMETRIZAÇÃO DA GEOMETRIA OTIMIZAÇÃO EM RELAÇÃO AOS PARÂMETROS FORMA ÓTIMA OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA NENHUMA OU QUASE NENHUMA SUPOSIÇÃO SOBRE A MORFOLOGIA INICIAL Motivação

  4. Contribuições • Contribuições no campo da Otimização Topológica: • Caracterizando a topologia por uma densidade de material a ser determinada; • Caracterizando a morfologia de um componente por meio de um parâmetro geométrico . Motivação

  5. Gradiente Topológico • Proposta de obter a topologia ótima através do cálculo do GT. • O GT é uma função definida no domínio que fornece a sensibilidade de uma função custo ao se criar um furo no domínio. • Cálculo do GT via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma. Motivação

  6. f  b n • Problema Elíptico de Valor no Contorno D N • domínio aberto e limitado N, cujo contorno =N D (N D= 0) • é suficientemente regular. • domínio está submetido a excitações f  L2 (N), b  L2 e com restrições • na variável primal u no contorno D. PEVC

  7. Forma Variacional • O problema pode ser escrito na forma variacional: • Espaço das funções: PEVC

  8. Elementos Finitos • Maneira geral e sistemática de construir famílias de subespaços • Uhp  U: • Forma final obtida em PEVC: PEVC

  9. Gradiente Topológico   n  Definição do Gradiente Topológico

  10.  n • Gradiente Topológico Modificado Definição do Gradiente Topológico

  11. Análise de Sensibilidade à • Mudança de Forma • Perturbação no domínio: • Novo domínio e contorno: • Relação entre domínios (pequena perturbação): ASMF

  12. Função Custo • Sensibilidade da função custo: • Definição da função custo: • Derivada da função custo: ASMF

  13. Método Lagrangeano • Problema de minimização: • Uma vez que a equação de estado é satisfeita: ASMF

  14. Cálculo das Derivadas • Em uma direção: • Na outra direção: • Então: ASMF

  15. Cálculo do Lagrangeano • Utilizando-se da solução da eq. de estado e da adjunta: • Para uma vasta classe de problemas: ASMF

  16. Cálculo do GT via ASMF • Função custo definida nos domínios: • Considerando a transformação entre os domínios: GT via ASMF

  17. Forma Final do GT • O gradiente pode ser expresso da seguinte forma: • Considerando uma expansão no furo: gT GT via ASMF

  18. Formulação • Equilíbrio: • Equação Constitutiva: GT na Elasticidade

  19. Na Forma Variacional • Problema elíptico de valor contorno: • Descrevendo os operadores: GT na Elasticidade

  20. Cálculo do GT • Expressão para o cálculo da sensibilidade da função custo: • Função custo (energia interna): GT na Elasticidade

  21. Cálculo do GT • Derivada do Lagrangeano: • Considerando GT na Elasticidade

  22. Cálculo do GT • Como • Da forma GT na Elasticidade

  23. Cálculo do GT • Adotando GT na Elasticidade

  24. Algoritmo • Seja a seqüência • Fornecer domínio inicial e a restrição; • Enquanto a função objetivo não for cumprida: • encontrar as soluções direta e adjunta; • calcular o gradiente topológico; • criar furos; • definir novo domínio • incrementar K; • Neste ponto, espera-se estar com a topologia ótima. Aplicação

  25. Exemplo Chegou-se a forma ótima de um projeto já consagrado. Definição do problema. Malha Resultado Aplicação

  26. Conclusões • Metodologia apresentada conduz a uma formulação bastante geral para obtenção do Gradiente Topológico; • A formulação pode ser aplicada em casos de Condições de Dirichlet no furo (caso onde o gradiente topológico contém singularidades); • Extensão da metodologia a outros problemas de Engenharia (Sólidos - não linearidades, Fluidos, Eletromagnetismo) é possível. Conclusão

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