Cinemática y dinámica del movimiento armónico simple (m.a.s.)

1. Cinemática y dinámica del movimiento armónico simple (m.a.s.) Rafael López-Gay I.E.S. Nicolás Salmerón

2. Un objeto describe un m.a.s. cuando la ecuación de la posición en función del tiempo es: xt=A·cosωt • El coseno toma valores entre +1 (cos0, cos2π, cos4π…) y -1 (cosπ, cos3π, cos5π…). Por tanto, la posición en un m.a.s. cambiará entre +A y –A. • El coseno vuelve a tomar el mismo valor cuando el “ángulo” aumenta en 2π, 4π, 6π… El tiempo mínimo (T) para que la posición en un m.a.s. vuelva a ser la misma debe cumplir: ωT=2π. Es decir: T=2π/ω • En un m.a.s.: • A se llama amplitud (se mide en m en el S.I.) e indica el valor máximo de x • ω se llama frecuencia angular (en rad/s) • T=2π/ω se llama periodo (en s) e indica el tiempo empleado en cada vibración • f=1/T se llama frecuencia (en s-1 o hertzios) e indica el número de vibraciones cada segundo

3. x=0 x=+A x=-A Movimiento armónico simple Frecuencia angular (rad/s) Amplitud (m) Elongación o posición en el instante t (m) Fase en el instante t (rad)

4. Cinemática del m.a.s. • xt=A·cosωt La posición inicial es A, la posición máxima ±A • Derivando: vt=-A·ω·senωt La rapidez inicial es 0, la rapidez máxima ±A·ω • Derivando: at=-A·ω2·cosωt La aceleración inicial es –A·ω2, la aceleración máxima ±A·ω2 • Como puede apreciarse: a=-ω2·x x=-A v=0 a=+ω2·A x=0 v=±ω·A a=0 x=+A v=0 a=-ω2·A

5. x=0 x=+A x=-A Cinemática del m.a.s. x>0 v<0 a<0 x<0 v<0 a>0 x<0 v>0 a>0 x>0 v>0 a<0

6. Dinámica del m.a.s. • Un objeto de masa m que describe un m.a.s. está sometido a la acción de una fuerza resultante en la dirección del eje X : Fres=m·a • En función del tiempo: Fres=-m·A·ω2·cosωt • En función de la posición: Fres=-m·ω2·x Es decir, la fuerza resultante en un m.a.s es de tipo elástico: Fres=-k··x (k=m·ω2) • El valor mínimo de la fuerza resultante es cero y el valor máximo ±m·A·ω2

7. Cuando un objeto de masa m se encuentra sometido a la acción de una fuerza elástica: F=-k·x (por ejemplo, si está sujeto al extremo de un muelle), describirá un m.a.s: xt=A·cosωt, de amplitud el estiramiento inicial del muelle y de frecuencia:

8. Ejemplo: un objeto de 200 g sujeto al extremo de un muelle elástico de constante: k=320 N·m-1, se estira inicialmente 15 cm. • Frecuencia angular: ω=(k/m)1/2=40 rad/s (no influye lo que se estira) • Realiza una oscilación completa cada T=2π/40= 0,16 s (idem) • Su frecuencia es: f=1/T=6,37 Hz, es decir, realiza 6,37 vibraciones cada segundo (idem) • Ecuación de la posición (en el S.I.): xt=0,15·cos40t • Ecuación de la rapidez (en el S.I.): vt=-6,0·sen40t • Ecuación de la aceleración (en el S.I.): at=-240·cos40t • El objeto vibra entre +0,15 y -0,15 m, alcanzando una rapidez máxima en el punto medio de ±6 m/s, y una aceleración máxima en los extremos de ±240 m/s2.

9. Si el muelle (constante k) está colgado del techo y se le cuelga un objeto de masa m: • Inicialmente el muelle se alargará una distancia “a” hasta llegar al equilibrio con el peso del objeto, de forma que: mg = k·a • Si ahora estiramos el muelle una distancia adicional x (en total: x+a), la fuerza resultante sobre el objeto será la que va hacia arriba que ejerce el muelle: k·(x+a), menos la que va hacia abajo: m·g. En total: Fres=k·x+k·a-m·g • Teniendo en cuenta la igualdad del punto 1, entonces: Fres=k·x. Podemos considerar el movimiento del objeto ignorando el peso del objeto y el alargamiento inicial del muelle.

10. Generalización de la ecuación del m.a.s. • Si un cuerpo está vibrando entre +A y –A, y empezamos a contar el tiempo (t=0) cuando está en A, entonces ya sabemos que: xt=A·cosωt • Pero si empezamos a contar el tiempo cuando está en cualquier otra posición (x0), la ecuación será: xt=A·cos(ωt+φ), de forma que se cumpla: x0=A·cosφ, o bien: φ=arc cos (x0/A) • φ se mide en radianes, puede ser positivo o negativo, y se llama: fase inicial. Este factor sólo afecta a las condiciones iniciales (x0, v0, a0, F0) pero no al conjunto del movimiento que seguirá teniendo las mismas características. • En general, podemos reconocer un m.a.s por estas ecuaciones: xt=A·cos(ωt+φ), xt=A·sen(ωt+φ) • Si el punto intermedio no es 0 sino otro: B, basta sumar ese término a cualquiera de las dos expresiones anteriores.