“Métodos para la Enseñanza de las Matemáticas”

1. “Métodos para la Enseñanza de las Matemáticas” Institut Universitaire de Formation des Maîtres Midi-Pyrénées, Toulouse, Francia. La Demostración en los Planes y Programas de Matemática en Secundaria Nacional: Análisis y una propuesta para su acercamiento. Danilo Díaz Levicoy Cristina Fuenzalida Guzmán Karen Moraga Reyes

2. Recorrido LA DEMOSTRACIÓN EN LOS PLANES Y PROGRAMAS DE CHILE

3. Función de la Demostración (Villiers, 1993)

4. Planes y Programas

5. Demostración Geométrica • Ejemplo A • Doblar una hoja de papel de forma irregular, dos veces de modo de generar un ángulo recto como lo indica el dibujo. Cualquier corte que pase por ambos dobleces genera un rombo al extender el papel ¿Por qué? Verificación Ejemplo E Construyen geométricamente la longitud de las raíces cuadradas de algunos números, utilizando un referente de unidad arbitrario y aplicando sucesivamente el teorema de Pitágoras. Ubican los correspondientes puntos en la recta numérica, comparan algunas medidas entre sí, como o bien entre

6. Demostración Geométrica Descubrimiento Ejemplo D Demostrar que si por el punto medio de la diagonal de un rectángulo se traza una perpendicular a ésta, se divide al rectángulo en dos trapecios congruentes. Ejemplo C: Demostrar que las tangentes a una circunferencia, trazadas desde un mismo punto tienen la misma longitud.

7. Demostración Geométrica Ejemplo B En el siguiente dibujo, ABCD es un cuadrado y los vértices de la figura inscrita dividen el lado en la razón 1:4. Demostrar que las figuras que se generan son cuadrados, y determinar la razón de semejanza entre dos cuadrados consecutivos. Influencia del enunciado

8. Demostración Algebraica Trabajo creciente Durante los Cuatro años.

9. Demostración Algebraica Como demuestran Logaritmos

10. Demostración Algebraica y Geométrica Teorema de Pitágoras

11. Demostración en Chile

12. Estructura Razonamiento Estructura Razonamiento Estructura Razonamiento Consideraciones Finales

13. Consideraciones Finales

14. Sea ABCD un paralelogramo de centro O y sea I un punto del segmento [AB], distintos de A y de B. se designa por J el punto del segmento [CD] tal que CJ = AI. Demostrar que el punto O es la mitad del segmento [IJ] Ejemplo

15. Secuencia TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

16. Planificación de la Secuencia

17. Transformaciones Isométricas

18. Organización de la Secuencia

19. Contenido Definición y propiedades de simetría axial Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Caracterizan simetría axial. Actividad 1 Reproducir, con la ayuda de un espejo semi opaco, las siguientes imágenes. Observando lo anterior, ¿Cómo podrías realizar la imagen de un punto sin utilizar el espejo? SimetríaAxial (Sesión 1)

20. Contenido Definición y propiedades de simetría axial Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Construyen, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras por simetría axial. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por simetría. Actividad 2 Dada una recta L cualquiera: Construye un punto el plano (A) y haz la simetría axial del punto respecto de L (A’). Mueve el punto sobre el plano ¿Qué sucede si el punto está sobre el L? Concluye Cada punto que está sobre el eje de simetría es invariante 2. Dados dos puntos, construye una recta en el plano (L1) y haz la simetría de la recta respecto de L (L1’). Mueve la recta (L1) sobre el plano a partir de uno de los puntos que la determinan. ¿Qué sucede cuando (L1) es paralela, secante y perpendicular al eje? Para cada caso concluye y justifica. Una recta no paralela al eje de simetría y su imagen, se intersecan en el eje y toda recta perpendicular al eje es invariante 3. Sin hacer la construcción ¿en qué condiciones un círculo es invariante al aplicarle una simetría axial? Simetría Axial (Sesión 1)

21. Simetría Axial (Sesión 2) Contenido Construcción de configuraciones simples por simetría axial. Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Justifican una configuración geométrica con simetría axial. Actividad 3 Determinar si las siguientes figuras tienen ejes de simetría. Utilizando lápiz y regla no graduada construir los ejes de simetría en el caso que corresponda. Justificar la construcción mediante las propiedades Utilizando escuadra no graduada construir los ejes de simetría del cuadrado. Justificar la construcción mediante las propiedades

22. Simetría Axial (Sesión 2) Contenido Construcción de configuraciones simples por simetría axial. Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Demuestran utilizando simetría axial Actividad 4 Sea C un circulo de centro O y [AB] una cuerda del circulo. M y M’ son dos puntos del circulo, talque (MM’)//(AB) Demostrar que MA=M’B

23. Simetría Axial (Sesión 3) Contenido Definición y propiedades de simetría central Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Caracterizan simetría central. Actividad 5 Determina la transformación aplicada a las siguientes figuras. Determina que características tiene la transformación desconocida. A partir de ello haz la construcción de un punto.

24. Simetría Axial (Sesión 3) Contenido Definición y propiedades de simetría central Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Construyen, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras por simetría central. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por simetría central Actividad 6 Dada un punto P cualquiera en el plano: Construye un punto en el plano (A) y haz la simetría central del punto respecto de P (A’). Mueve el punto sobre el plano ¿Qué sucede si posamos el punto sobre P? Concluye. El centro de Simetría es el único punto invariante 2. Dados dos puntos, construye una recta en el plano (L1) y haz la simetría central de la recta respecto de P (L1’). Mueve la recta (L1) sobre el plano a partir de uno de los puntos que la determinan. ¿Qué sucede con (L1’)? Concluye y justifica. Una recta y su imagen por simetría central son paralelas 3. Dada dos rectas secantes cualquiera. Nombra A al punto de intersección. Haz la simetría del punto y la simetría de las rectas. ¿Que puedes decir de la imagen del punto A? La imagen de la intersección es la intersección de imágenes

25. Simetría Axial (Sesión 4) Contenido Construcción de configuraciones simples por simetría central Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Justifican una configuración geométrica por simetría central. Actividad 7 ABCD es un paralelogramo de centro O. Una recta D corta a (AB) en M y (CD) en N. Construir, con regla no graduada, el paralelogramo MNPQ de centro O. Al círculo C se le ha aplicado una simetría central, que transforma A en A’ y C en C’. Sea L la recta tangente a C en A. Construye la imagen de L. Utiliza sólo regla y escuadra no graduadas. Justifica tu respuesta. Q P

26. Simetría Axial (Sesión 4) Contenido Construcción de configuraciones simples por simetría central Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Justifican una configuración geométrica por simetría central. Actividad 7… Continuación 3. Al cuadrilátero ABCD se le ha aplicado una simetría central, que transforma A en A’. Utiliza sólo regla y escuadra no graduadas para construir el centro de simetría. O D’

27. Simetría Axial (Sesión 4) Contenido Construcción de configuraciones simples por simetría central Objetivos de Aprendizaje de la Secuencia Justifican una configuración geométrica por simetría central. Actividad 8 La figura siguiente representa un paralelogramo ABCD. Las rectas D y D’ pasan por los puntos B y D y son paralelas. Demostrar usando Simetría Central que BMDN es un paralelogramo

28. Evaluación Objetivo Aplicar las propiedades de simetría axial para realizar la construcción Construye el centro de la siguiente circunferencia utilizando sólo regla y escuadra no graduada. Justifica tu respuesta

29. Evaluación Objetivos Aplicar las propiedades de simetría central para realizar la construcción Sea el paralelogramo ABCD de centro O. Utilizando sólo regla no graduada construir la simetría del punto M con respecto al punto O. Justificar la respuesta.

30. Evaluación Objetivos Demostrar utilizando Simetrías Sean C y C’ dos círculos concéntricos distintos de centro O, una recta D corta a C en A y B y corta a C’ en A’ y B’. Demostrar que AA’=BB’

31. Sesión ÁNGULOS INSCRITOS EN LA CIRCUNFERENCIA

32. Problema Parte 1 El próximo mes de enero se realizará la 32° versión del Festival Internacional de la Canción de Viña del Mar. Una de las artistas invitadas es Shakira. Ella a solicitado que la iluminación del escenario sea de muchos focos de 40° de luz (el valor de grado de luz se refiere al cono más grande de luz que el foco produce) donde cada foco ilumine el escenario de 15 metros de longitud y llegue desde todos lados. ¿Cuál es la forma que debe tener del riel que sostiene los focos? Parte 2 Shakira quiere que la aparición en el espectáculo sea de la siguiente manera: Ella saldrá en una plataforma desde el centro del escenario que irá ascendiendo hasta el centro de la circunferencia descrita por los focos de luz. Durante esta aparición se requiere una iluminación focalizada. ¿Cuál debe ser el ángulo de iluminación del foco que ilumine todo el escenario desde el centro de la circunferencia?

33. Organización Matemática Tarea Determinar el lugar geométrico que sostiene a los focos de luz Técnica Parte 1 El próximo mes de enero se realizará la 32° versión del Festival Internacional de la Canción de Viña del Mar. Una de las artistas invitadas es Shakira. Ella a solicitado que la iluminación del escenario sea de muchos focos de 40° de luz (el valor de grado de luz se refiere al cono más grande de luz que el foco produce) donde cada foco ilumine el escenario de 15 metros de longitud y llegue desde todos lados. ¿Cuál es la forma que debe tener del riel que sostiene los focos? C 40° A B

34. C Tarea Determinar la medida del ángulo del centro Técnica Organización Matemática Parte 2 Shakira quiere que la aparición en el espectáculo sea de la siguiente manera: Ella saldrá en una plataforma desde el centro del escenario que irá ascendiendo hasta el centro de la circunferencia descrita por los focos de luz. Durante esta aparición se requiere una iluminación focalizada. ¿Cuál debe ser el ángulo de iluminación del foco que ilumine todo el escenario desde el centro de la circunferencia? C 40° O O 80° 40° A B A B

35. Tecnología Teorema 1 La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Organización Matemática Parte 2 Shakira quiere que la aparición en el espectáculo sea de la siguiente manera: Ella saldrá en una plataforma desde el centro del escenario que irá ascendiendo hasta el centro de la circunferencia descrita por los focos de luz. Durante esta aparición se requiere una iluminación focalizada. ¿Cuál debe ser el ángulo de iluminación del foco que ilumine todo el escenario desde el centro de la circunferencia?

36. Organización Matemática • Tecnología • Teorema 2 • La medida de los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco son iguales • Sabemos que son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. • Por teorema 1 Parte 1 El próximo mes de enero se realizará la 32° versión del Festival Internacional de la Canción de Viña del Mar. Una de las artistas invitadas es Shakira. Ella a solicitado que la iluminación del escenario sea de muchos focos de 40° de luz (el valor de grado de luz se refiere al cono más grande de luz que el foco produce) donde cada foco ilumine el escenario de 15 metros de longitud y llegue desde todos lados. ¿Cuál es la forma que debe tener del riel que sostiene los focos?

37. Evaluación Formativa 1. Dada la siguiente figura, en donde , O centro de la circunferencia y C, E, B y D, E, A están alineados. 2. Según la figura dada a continuación, C es el círculo de centro O y diámetro [BF] 3. Dada la siguiente figura, [AB] diámetro del semi círculo que intercepta a [AI] en M.

39. Muchas Gracias