Punim Seminarik

1. Punim Seminarik Probabiliteti Nëse rasisht gjatë udhëtimit me veturë hasim në ndonjë semafor atëherë sa është gjasa (probabiliteti) që në semafor të jetë ngjyra e kuqe, e verdhë apo e gjelbërt ? Punoi: Besart Hajrizi Mentor: Prof.Dr.Rahmije Mustafa

2. Probabiliteti Bashkësia e të gjitha ngjyrave të mundshme (mostrave) që mund të jenë në semafor është: Gjasa që gjatë arritjes në semafor të jetë ngjyra e KUQE është e barabartë me gjasën e ngjyrës së VERDHË dhe të GJELBËRT dhe e barabartë me : 1/3.Por gjasa që të kemi ndonjë ngjyrë tjetër është 0, sepse kjo është një ngjarje që nuk mund të ndodhë ( e pamundshme)

3. Probabiliteti Probabiliteti është një degë e matematikës e cila merret me studimin e eksperimenteve,rezultatet e të cilave nuk dihen paraprakisht.P.sh. nëse e hedhim në ajër një monedhë metalike(të themi një euro), në faqen e së ciles janë shënuara numri H dhe shkrimi T respektivisht, nuk mund të gjykojmë paraprakisht se a do të bjerë faqja me numër H apo faqja me shkrim T e drejtuar lart.Intuitivisht e dimë se “gjasa”(besueshmeria) që të kemi H është e barabartë me atë që të kemi T dhe kjo gjasë është e barabartë 50%.

4. Në këte raste përjashtohet mundesia që monedha të ndaloje në tehun e saj.Nëse ndodh kjo,hedhja e monedhës përsëritet.Pra në këtë rast hedhja e monedhës është një eksperiment ,ndërsa bashkesia {H,T} është bashkesia e rezultateve te mundshme (mostrave)(ang.outcomes). Probabiliteti Fig.1

5. Probabiliteti Ky eksperiment dhe shumë eksperimente te tjera, ne fakt, paraqesin një lojë fati (bixhoz).Pikërisht lojërat e fatit dhe disa procese të tjera nga jeta ishin ato të cilat i nxitën matematikën që të merren me to dhe të shfrytezojnë njohuritë matematike per studimin e tyre.Themelues te kësaj teorie konsiderohen matematikanet francezë B.Pascal (1623-1662) dhe P.Fermat (1601-1665).Më vonë, me këtë teori u morën edhe shumë matematikanë te tjerë,kryesisht francezë se Laplace, S.Poisson (1781-1840), G.Bayes (1702-1761),A. De Moivre,Gauss,Bernoulli etj.Disa prej tyre e shfrytëzojne këte teori per studimin e lojrave te ndryshme te fatit

6. Probabiliteti • Pra probabiliteti bën matjen e gjasave se një ngjarje e pasigurt mund të ndodhë në të ardhmen.Probabiliteti mund të marrë vlera vetëm në mes 0 dhe 1. • Fjala probabilitet rrjedh nga fjala frenge probabilite,që d.m.th shkallë e besushmëris që një ngjarje te ndodh.

7. Probabiliteti • P.sh na është bërë e zakonshme përdorimi i shprehjes si: ...gjasa qe nesër te jete kohë me diell është rreth 80%;kam gjasë te lartë qe ta kaloje provimin e matematikës,sepse kam arritur t’i ushtroj rreth 90% të detyrave të përmbledhjes prej së cilës profesori i zgjedh detyrat e provimit;gjasa që të fitoj 7-she ne Lotarinë e Kosoves 7/39 është shumë e vogël edhe pse i kam paguar 1000 tiketa;gjasa qe dy persona te zgjedhun ne menyre te rasishme të kenë datëlindjen e njetë është e vogël,ndërsa ajo që të kenë datëlindjen të ndryshme është mjaf e lartë etj etj.

8. H T Probabiliteti • T’i kthehemi shembullit të hedhjes së monedhës metalike.Nëse me shënojmë bashkësinë e rezultateve të mundhshme, atëherë = Fig.2 • (Pika shënon fillimin e eksperimentit).Meqë = 2, gjasa që të kemi H(oseT) është 1/2 .Po nëse i hedhim dy monedha në të njejtën kohë,atëherë do të kemi bashkësinë Ω = (HH, HT, TH, TT﴿,(shih diagramin e pemës fig.4.3).Atëherë gjasa që gjatë hedhjes së njëkohësishme të monedhave metalike në ajër në të dy monedhat të marrim H(T), është e barabartë me 1/4 , ndërsa gjasa që të paktën një herë të kemi H, është 3/4.

9. H H T H H H H H T T H H T T T T T H T T Probabiliteti • Nëse e hedhim një monedhë metalike tri herë radhazi dhe rezultatet e fituara i evidencojmë, nga diagrami i pemës lehtë mund të caktojmë bashkësinë :Ω = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT) e të gjitha rasteve të mundshme, prej nga shihet se =8 = . Atëherë gjasa që gjatë këtyre tri hedhjeve të paktën dy herë të kemi H, është e barabartë me 4/8 =1/2 , ndërsa gjasa që vetëm një herë të kemi H, është 3/8 . Fig.3 Fig.4

10. Probabiliteti • Loja mos u zemëro njeri,ështe mjaft e popullarizuare dhe te ne.Ajo luhet me ndihmën e nje kubi te vogel mbi faqen e të cilit janë shënuar me radhë 1.2....6 pika.Ky kub quhet zar (fig 4.5) dhe ai hidhet nga lojtarët dhe lëvizja e figurës bëhet për aq vende(pozicione) sa ështe numri i pikave në faqën e siperme të kubit. Fig.5

11. Probabiliteti • Nëse hedhim një herë zarin,bashkësia e te gjithë numrave të pikave të mundshme (mostrave) që mund te bien ne faqen e siperme te zarit,është Ω={1,2,3,4,5,6}.Gjasa që gjatë një hedhje te zarit të kemi 6 pika në faqen e siperme ështe e barabart me atë që të marrin 5,ose 4,ose3,ose 2,ose1 dhe e barabart me 1/6.Por gjasa që te kemi 7pika ne faqen e siperme është 0, sepse kjo eshte nje ngjarje qe nuk mund te ndodh ( e pamundshme). • Nese dy zare i hedhim njekohësisht,bashkësia Ω do të jete: • Ω={(1,1),(1,2),…(1,6),(2,1),(2,2),…,(2,6),…(6,1),…,(6,6)}. • Vërejmë se bashkesia Ω ka gjithsej 36 elemente,d,m,th.gjatë këtij eksperimenti kemi gjithsej 36 rezultate të mundshme.Prandaj gjasa që ne dy faqet e zareve të paraqitet numër I njejtë I pikave është 6/36=1/6.

12. Probabiliteti • Shembull: Në një klasë me 32 nxënës të gjimnazit “Frang Bardhi” nga Mitrovica, nga lënda e matematikës janë përfunduar notat si në tabelë: Nota 5 4 3 2 1 Gjithsej Numri I nx 4 8 12 6 2 36 • Të njejten klasë e viziton drejtori I shklollës dhe e zgjedh ne menyre të rasishme një nxënes që ta përfaqësoj shkollën e tyre në garat komunale të shahut për nxenes te shkollave te mesme. Atëhere sa ështe gjasa që ai nxënës të kete notën 5 (4) nga lënda e matematiës?

13. Probabiliteti • Zgjidhje; Që të zgjidhim këtë problem,duhet të pergjigjemi ne pyetjet që vijojnë: • 1)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjejdhë një nxënes të vetëm nga klasa me 32 nxënës.Sigurisht në 32 mënyra. • 2)Në sa mënyra drejtori mund ta zgjedh një nxënës të vetëm nga grupi i nxënësve që kanë note 5(4) nga matematika? Sigurisht në 4(8)mënyra. Prandaj gjasa që nxënesi zgjedhur te kete note 5 nga matematika, është:

14. Nota 5 4 3 2 1 Gjithsej Numri I nx. 4 8 12 6 2 32 Gjasa 1/8 1/4 3/8 6/16 1/16 1 Probabiliteti

15. Probabiliteti • Hedhja e monedhës metalike në ajër,e zarit, apo zgjedhja e nje nxënësi nga klasa, janë eksperimente.Përsëritja e një eksperimenti quhet provë.Rezultatet e mundshme gjatë një prove quhen mostra (efekte të dukshme)(ang. Outcomes).Bashkesia e te gjitha mostrave të mundshme (rezultate te mundshme ) gjatë një prove të një eksperimenti,quihet hapsirë e te gjitha mostrave te mundshme (ang.sample space),të cilen do ta shenojme me Ω. • Bashkesia njëpikëshe {},ku do t’i quajmë ngjarje elementare, ndërsa çdo nënbashkësi A e bashkësisë quhet ngjarje.

16. Probabiliteti • Ngjarjet i kemi klasifikuar në tri grupe: • 1) Ngjarje e thjeshtë – Një rezultat nga të gjitha rezultatet e mundshme me një karakteristikë. P.sh., Karta e kuqe nga letrat e bixhozit • 2) Ngjarje komplementare e A (e shënuar ~A) – Të gjitha rezultatet që nuk janë pjesë e ngjarjes A. P.sh.Të gjitha letrat që nuk janë me shenjën e rombit. • 3) Ngjarje e përbashkët – Përfshin dy e më shumë karakteristika/ngjarje që parqiten njëkohësisht. P.sh.,Një As që nuk është gjithashtu I kuq

17. Probabiliteti i një ngjarje = ------------------------------------------------------------- ProbabilitetiKoncepti e frekuencave relative/koncepti empirik • Probabiliteti i një ngjarje që ka ndodhur në afat të gjatë përcaktohet nga vështrimi se çfarë pjese të kohës ngjarja ka ndodhur në të kaluarën. Numri I ngjarjeve që kanë ndodhur në të kaluarën Numri total i vrojtimeve

18. Probabiliteti • Shembull.Përgjatë karrierës prof.Rahmije ka shpërblyer 200 studentë me notën (10) nga 1000 studentë sa ajo i ka mësuar.Sa është probabiliteti që studenti në departamentin e saj në këtë semestër do të marrë 10 ? • Zgjidhje.Duke aplikuar konceptin e frekuencave relative probabiliteti për një (10) është : • P(A)=200/1000=0.2

19. ProbabilitetiProbabiliteti subjektiv • Probabiliteti subjektiv: Gjasat (probabiliteti) për ndodhjen e një ngjarje të veçantë që caktohet nga individi duke u bazuar në kombinimet e përvojave të kaluara të individit, opinionin personal dhe analizës së situatave të veçanta. • Si shembuj të probabilitetit subjektiv mund të shërbejnë si vijon: • Vlerësimi I probabilitetit se vitin e ardhshë do të kemi kushte më të mira në fakultetin tonë. • Vlerësimi I probabilitetit se studenti do të marrë notën 10 nga ndonjë lëndë e caktuar, etj.

20. Rregullat e probabilitetit Rregullat e probabilitetit Rregullat Aditive (të mbledhjes) Rregullat e Multiplikatorit(të shumëzimit Rregullat Plotësuese komplementare Rregulla e veçantë Rregulla e përgjithshme Rregulla e veçantë Rregulla e përgjithshme

21. ProbabilitetiRregullat aditive (të mbledhjes) • Nëse dy ngjarje A dhe B janë reciprokisht përjashtuese, rregulla e veçantë aditive thotë se probabiliteti i ndodhjes së A ose B është e barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. • P(A ose B)=P(A)+P(B)

22. Probabiliteti • Shembull. Stacioni I autobusëve ka marrë informata për udhetimet nga Prishtina në Mitrovicë

23. Probabiliteti • Nëse A është ngjarja se udhetmit arrin herët, atëherë probabiliteti : • P(A)=100/1000=0.1 • Nëse B është ngjarja se udhetimi do të arrijë vonë, atëherë : • P(B)=75/1000=0.075 • Probabiliteti se autobusi do të vijë herët ose do të arrijë vonë është: • P(AoseB)=P(A)+P(B)=0.1+0.075=0.175

24. ProbabilitetiRregulla plotësuese/komplementare • Provat e një eksperimenti mund të ndahen në dy klasë(bashkësi):SUKSESE (rezultatet të dëshiruara-mostrat e favorshme) dhe në atë të DËSHTIMEVE(rezultatet jo të dëshiruara-mostrat e disfavorshme). • Nëse ngjarja A mund të ketë sukses(realizohet) në s-mënyra ndërsa të dështojë në d-mënyra, probabiliteti që ngjarja A të realizohet (të mos realizohet) është :

25. Probabiliteti • Ngjarja e cila nuk mund të dështojë ka probabilitetin 1, ndërsa ngjarja e cila nuk mund të realizohet ka probabilitetin 0 • Nga barazimi i fundit marrim se P(s)=1-P(d), respektivisht P(d)=1-P(s). Probabiliteti P(s) e P(d) quhen komplemente të njëri tjetrit.Barazimet e fundit janë shumë të dobishme,veçanërisht kur është vështirë të llogaritet njëri probabilitet, ndërsa komplementi I tij jo.

26. Probabiliteti • Shembull. Në një paketë ndodhen 3 fjalorë, 7 libra të matematikës dhe 11 romane.Sa është probabiliteti që një libër i nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga paketa të jetë roman (fjalor, libër i matematikës)?

27. Probabiliteti • Zgjidhja. Le të jetë : • P(roman)=Probabiliteti që libri të jetë roman • Meqenëse zgjedhjen e një romani mund ta bëjmë në 11 mënyra, d.m.th. s=11, ndërsa zgjedhjen e një libri tjetër (jo roman) mund ta bëjmë në 3+7=10 mënyra d.m.th. d=10. Atëherë :

28. Probabiliteti • Rregulla plotësuese/komplementare – përdoret për probabilitetin se një ngjarje që do të ndodhë përmes heqjes së probabilitetit të një ngjarje që nuk do të ndodhë nga1. • Nëse P(A) është probabiliteti I ngjarjes A dhe P(~A) është plotësues i A, atëherë • P(A)+P(~A)=1 ose P(A)=1-P(~A)

29. ProbabilitetiRregulla aditive e përgjithshme • Nëse A dhe B janë dy ngjarje që nuk janë reciprokisht përjashtuese, atëherë, P(A ose B) është i dhënë me formulën vijuese: • P(A ose B)=P(A)+P(B)-P(A dhe B)

30. Probabiliteti • Shembull.Në një mostër prej 500 studentëve, 320 kanë thënë se kanë PC, 175 kanë thënë se kanë Llap top dhe 100 kanë thënë se i kanë te dyja : PC 320 Bashkë 100 Llap top0175

31. Probabiliteti • Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti të ketë vetëm PC, vetëm Llap Top dhe të dyja PC dhe Llap top? • P(PC)=320/500=0.64 • P(LLT)=175/500=0.35 • P(PC dhe LLT)=100/500=0.20 • Nëse studenti zgjedhet rastësisht, sa është probabiliteti që studenti ka gjithashtu PC ose Llap top në shtëpinë e tij? • P(PC ose LLT)=P(PC)+P(LLT)-P(P-LL)=0.64+0.35-0.20=0.79

32. ProbabilitetiRregulla e veçantë e multiplikatorit • Rregulla e veçantë e mulltiplikatorit kërkon që dy ngjarje A dhe B të jenë të pavarura. • Dy ngjarje A dhe B janë të pavaruara në se nodhja e njërës nuk ka efekte në probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. • Rregulla e veçantë e multiplikatorit është: • P(A dhe B)=P(A)*P(B)

33. Probabiliteti • Shembull. Shpendi posedon dy fletëaksione të cilat janë të pavaruara nga njëra tjetra.Probabiliteti që fletëaksioni A të rritet në vlerë në vitin e ardhshëm është 0.5.Probabiliteti se vlera e aksionit B do të rritet në vitin e ardhshëm është 0.7. • Sa është probabiliteti se vlera e të dy aksioneve do të rritet vitin e ardhshëm? • P(A dhe B)=(0.5)(0.47)=0.35

34. Probabiliteti • Sa është probabiliteti që së paku njëra prej tyre do të rritet në vlerë gjatë vitit të ardhshëm(kjo nënkupton se njëri do të rritet ose te dyja)? • Kështu, • P(së paku një)=(0.5)(0.3)+(0.5)(0.7)+(0.7)(0.5)=0.84

35. ProbabilitetiRegulla e përgjithshme e multiplikatorit • Regulla e përgjithshme e multiplikatorit perdoret për të gjetur probabilitetin e perbashket se dy ngjarje qe do te ndodhin dhe definohen kësisoji:Pë dy ngjarje A dhe B,probabiliteti I perbashket se të dy ngjarjet do te ndodhin gjindet përmes shumëzimit te probabilitetit se ngjarja A do te ndodhë me probabilitetin e kushtezuar të B duke ditur se ngjarja A ka ndodhur.