Matice

1. Matice Mgr. Andrea Cahelová Gymnázium J. Kainara, Hlučín

2. Definice • Tabulka o n sloupcích a m řádcích, přičemž toto značení řádků a sloupců nemusí být vždy stejné. • Tato matice má dva řádky a tři sloupce. • Prvky matice se značí pomocí indexů, namísto velkého písmene se používá malé písmeno: a11 = 0 nebo a23 = 51. • První index udává řádek a druhý index sloupec.

3. Druhy matic • Čtvercová matice je matice, která má stejný počet řádků jako sloupců. • Nulová matice je matice, která má na všech pozicích nuly. aij = 0.

4. Jednotková matice je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Hlavní diagonála je jakoby „úhlopříčka“ zleva doprava. • Schodovitá matice je matice, která má nulové řádky na konci (nebo nemá žádné nulové řádky) a každý nenulový řádek má na začátku více nul než předchozí řádek.

5. Symetrická matice je čtvercová matice A, která se splňuje rovnost A = AT. Prvky symetrické podle diagonály jsou stejné. Můžeme tak napsat, že aij = aji. • Antisymetrická matice je skoro totéž jako symetrická matice, akorát prvky na druhé straně mají opačné znaménko: A = −AT. Kvůli tomu musí být prvky na hlavní diagonále nulové, protože a = −a = 0.

6. Diagonální matice je matice, která má nuly všude kromě hlavní diagonály. Přesněji řečeno všude jinde musí být nuly, co je na hlavní diagonále není specifikováno. • Matice transponovaná k matici A je matice AT, u které platí aij = aTji, tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci. Zkrátka zaměníte řádky matice za sloupce.

7. Operace s maticemi • Sčítání (odčítání) matic: matice stejného typu (stejný počet sloupců a řádků) • Výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na odpovídajících pozicích v předchozích maticích. • Sčítáme matice A + B = C, pak platí aij + bij = cij. • Sčítání matic je komutativní a asociativní. • A + B = B + A , A + (B + C) = (A + B) + C

8. Násobení matic nenulovým reálným číslem: • Vezmete číslo a vynásobíte s ním každý prvek matice. • k· A = k· aij. • Násobení matic: (matice musí splňovat kritérium, že počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice) • Vezmete první řádek první matice a první sloupec druhé matice. • Vynásobíte první prvek s prvním prvkem a sečtete s násobkem druhého prvku s druhým prvkem a sečtete atd. • Tím získáte v nové matici C prvek c11.

9. Nebo graficky:

10. Příklady: Proveďte A + B, B – C, 2A – C, A * B, B* A, B * C - A

11. Determinant matice • Definovaný pouze na čtvercových maticích • Číslo • Je zapisován buď jako det A nebo |A| • Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantu:

12. Laplaceova metoda pro výpočet determinantu • Provádíme rozvoj podle nebo sloupce • Rozvoj provedeme buď přes druhý řádek nebo přes třetí sloupec, jelikož se zde nachází nula (případně nejvíce nul). • První číslo: 2 + 1, tj. vyškrtneme druhý řádek a první sloupec, tím získáme submatici

13. Příklad: Vypočítej determinant matice Sarrusovým pravidlem a Laplaceovou metodou

14. Využití determinantu matice při řešení soustavy rovnic • |A| je determinant matice bez pravé strany, tj. bez čísel za rovnítkem • |Ak| je determinant matice, která vznikne z matice A nahrazením k-tého sloupce čísly za rovnítkem

15. Příklad: Řešte soustavy rovnic • 2x +3y = 4, x – y = 0 • x - y + 2z = 7, 2x - 3y + 5z = 17, 3x – 2y – z = 12 • x + 2y + 2z = 7, 2x + 3y = 7, x + 5y + z = 2

16. Inverzní matice • Úpravoumatice a připojené jednotkové matice získáme matici jednotkovou a inverzní. • Značíme A-1 • Platí: A * A-1 = A-1 * A = E (jednotková matice) • Gauss - Jordanovou eliminační metodou

17. Výpočet inverzní matice Gauss - Jordanova eliminační metoda Postup: • Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici • Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby: • záměna řádků • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem) • přičtení násobku jednoho řádku k jinému • Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici. • Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

18. Příklad: Ověřte zda jsou matice k sobě inverzní

19. Hodnost matice • Hodnost matice je počet lineárně nezávislých řádků matice, zpravidla se označuje h • Hodnost matice najdeme úpravami matice tak, že se snažíme vytvořit nulový řádek, který se v matici nezapisuje • Nulová matice má hodnost h = 0 • Hodnost matice se určuje u libovolné matice

20. Příklad: Určete hodnost matice

21. Využití inverzní matice – šifrování zprávy • Vezmeme čtvercovou matici druhého řádu - šifrovací

22. Zpráva se zapíše po sloupcích do matice. • Matice se vynásobí zleva maticí šifrovací. • Zprávu sepíšeme po sloupcích a můžeme poslat. • Příjemce si najde inverzní matici k šifrovací

23. Pomocí inverzní matice dešifrujeme zprávu: Poznámka: Zkuste šifrování pomocí matice třetího řádu.

24. Využití matic - násobení • Hospodyně si vedla záznamy svých nákupů a vytvořila si tuto tabulku: • Potraviny se dají koupit v různých cenách • Určete cenu nákupu, nakoupíme-li v Tescu

25. Využití matic • Čtyři města A, B, C, D jsou spojena autobusovými linkami. Přímé spojení je dáno tabulkou: • Nakreslete plán spojení