Matice

1. Matice

2. Matice typu nm • m, n jsou přirozená čísla • aijR pro každéi = 1, …, n a každé j = 1, …, m (aij) =

3. m nobdélníková matice typu nm • m = n čtvercová matice řádu n • prvek aij stojí v matici na místě ij

4. Totožné matice říkáme, že se rovnají • mají stejný typ • jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné

5. řádek matice a sloupec matice • termíny používáme vobvyklém smyslu • matice typu nm má tedy n řádků a m sloupců hlavní diagonála- prvky a11, a22, …, ann

6. Součet dvou matic A = (aij) a B = (bij) obě matice jsou typu nm A + B = (aij + bij) • je typu nm • na místě ij má součet prvků stojícíchv maticích A a B na místě ij • matice sčítáme po složkách

7. A = B = C = A + B = B + C, A + Cnení definováno Příklad

8. Součin matic A, B (v tomto pořadí) • A = (ais) je matice typu nmB = (bsj) matice typu mk • AB = typu nk • na místě ijje skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B • řádky matice A mají stejný počet prvků jako sloupce matice B (m)

9. A = AC = = C = Příklad

10. C = CA není definováno A = Příklad

11. Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. • Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. • Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a B čtvercové matice stejného řádu. • Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích.

12. Matice A a B mají definovaný součet právě tehdy, mají-li matice A a B stejný typ. Součet A + B má potom stejný typ jako matice A a B. • Součin AB matic A, B je definován jen tehdy, má-li matice A stejný počet sloupců jako matice B řádků; součin AB má pak stejný počet řádků jako matice A a stejný počet sloupců jako matice B.

13. Pro sčítání a násobení matic platí: • A + B = B + A • A + (B + C) = (A + B) + C • AB  BA • A(BC) = (AB)C • A(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BC

14. Nulová maticetypu nm • maticeO = (aij), kde aij = 0 pro každé i = 1, …, n a j = 1, …, m • O =

15. Opačná matice kmatici A = (aij) typu m n • matice–A = (–aij) stejného typu • –A =

16. O je nulová matice typu nmA je matice typu nm • A + O = O + A = A • A + (–A) = (–A) + A = O

17. Jednotková matice řádu n maticeE = (ij), kde • ij = 1 pro i, j = 1, …, n, i = j • ij = 0 pro i, j = 1, …, n, ij E =

18. E je jednotková matice řádu nm je přirozené číslo • pro každou matici A typu nm EA = A • pro každou matici B typu mn BE = B • pro každou čtvercovou matici C řádu n CE = EC = C

19. Násobení matic skaláry A = (aij) je matice typu nmc je reálné číslo cA = (c.aij) c-násobek matice A • cAje typu nm • na místě ij má c-násobek prvku, který v matici A stojí na místě ij

20. Příklad A = –2A =

21. A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit; c, dR Potom platí: • c(A + B) = cA + cB • (c + d)A = cA + dA • (cd)A = c(dA) • c(AB) = (cA)B = A(cB)

22. Transponovaná matice k matici A • A = (aij) je matice typu nm • AT = (bji) typu mn,kde pro každéi = 1, …, n a j = 1, …, m bji=aij

23. Příklad A = AT =

24. A, B jsou matice, které je možno sečíst, resp. vynásobit, cR Potom platí: • (A + B)T = AT + BT • (AB)T = BTAT • (cA)T = cAT • (AT)T = A

25. Hodnost matice Elementární úpravy

26. Diagonální matice • každá matice, která má mimo hlavní diagonálu samé nuly • Př.:

27. odstupňovaná matice • každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející (pokud tento existuje) • druhý řádek (pokud existuje) začíná alespoň jednou nulou • třetí řádek začíná alespoň dvěmi nulami • i-tý řádek alespoň (i – 1) nulami

28. Odstupňované matice

29. horní trojúhelníková • A = (aij) je čtvercová matice řádu n • pro každé i, j = 1, ..., n, i >j, je aij = 0 • Př.:

30. dolní trojúhelníková • A = (aij) je čtvercová matice řádu n • pro každé i, j = 1, ..., n, i <j, je aij = 0 • Př.:

31. Hodnost matice A • Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A • Značíme h(A)

32. Hodnost matice AT h(A) = h(AT)Transponováním se hodnost matice nemění. • Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice AT • Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A

33. Řádkové elementární úpravy matice • Výměna dvou řádků. • Vynásobení některého řádku nenulovým číslem. • Přičtení c-násobku jednoho řádku k jinému řádku (cR). Podobně definujeme sloupcové elementární úpravy.

34. ekvivalentní matice A, B • jednu z nich lze převést v druhou konečným počtem elementárních úprav Označujeme: AB h(A) = h(B) • Provádění řádkových a sloupcových elementárních úprav nemění hodnost matice.

35. Hodnost matice A typu nm h(A)  min(n, m)

36. Regulární matice • čtvercová matice řádu n • h(A) = n

37. Singulární matice • čtvercová matice řádu n • h(A) <n

38. Praktický výpočet hodnosti matice: • Pomocí elementárních úprav převedeme danou matici na odstupňovaný tvar. • Vynecháme nulové řádky. • Počet nenulových řádků v této matici je roven její hodnosti (řádky v odstupňované matici jsou lineárně nezávislé).

39. Praktický výpočet hodnosti matice: • Jestliže je hodnost h matice A stejná jako počet řádků matice n (h = n), jsou řádky matice A lineárně nezávislé. • Jestliže h < n, jsou řádky lineárně závislé a lze mezi nimi vybrat nejvýše h lineárně nezávislých řádků.

40. Inverzní matice

41. Pro dané matice A, B může být definován součin AB a nemusí být definován součin BA. • Jsou‑li definovány oba součiny, jsou AB a BA čtvercové matice, které nemusí mít stejný řád. • Oba součiny existují a mají stejný řád právě tehdy, když jsou A a Bčtvercové matice stejného řádu. • Pokud je potom AB = BA, mluvíme o tzv. komutujících maticích. • Je-li navíc AB = BA = E, říkáme, že matice B je inverzní k matici A a značíme ji A-1.

42. Inverzní matice • Inverzní maticí k matici A budeme rozumět matici A-1, pro kterou je AA-1 = A-1A = E. • Matice A, ke které inverzní matice existuje, se nazývá invertibilní. • Inverzní matice k invertibilní matici A je maticí A určena jednoznačně.

43. A = A-1 = B = B-1 = Invertibilní matice

44. Invertibilní matice • čtvercová řádu n • regulárníh(A) = n Maticenení invertibilní: • obdélníková • singulární h(A) <n

45. (AB)-1 = B-1A-1 • A, B jsou invertibilní matice řádu n. Potom rovněž matice AB je invertibilní a je (AB)-1 = B-1A-1 • Důkaz: (AB).(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AEA-1 = AA-1 = E a podobně (B-1A-1).AB = E Matice AB a B-1A-1 jsou tedy navzájem inverzní.

46. (AT)-1 = (A-1)T • Jestliže je A čtvercová invertibilní matice, potom je matice AT rovněž invertibilní a je (AT)-1 = (A-1)T

47. Praktický výpočet inverzní matice: • Převedeme-li řádkovými elementárními úpravami matici A v jednotkovou matici E, pak tytéž elementární úpravy převedou jednotkovou matici E v matici inverzní A-1.

48. Praktický výpočet inverzní matice: • Zapíšeme vedle sebe danou matici A a matici jednotkovou E. • Postupně provádíme takové řádkové elementární úpravy, které nám převedou matici A na jednotkovou matici E. Každou úpravu, kterou provedeme v matici A, provedeme také v matici E. • Nejprve postupujeme směrem shora dolů a snažíme se, abychom v matici A na hlavní diagonále dostali samé jedničky a pod hlavní diagonálou samé nuly. • Poté postupujeme zdola nahoru tak, aby i nad hlavní diagonálou byly samé nuly. • Takto získáme na místě matice A jednotkovou matici E. Na místě původní jednotkové matice E je potom hledaná inverzní matice A-1.

49. K matici A najděte matici inverzní  

50.   