MATEMATİĞİN SEYİR DEFTERİ PROF. DR. ADNAN BAKİ Karadeniz Teknik Üniversitesi

1. MATEMATİĞİN SEYİR DEFTERİ PROF. DR. ADNAN BAKİ Karadeniz Teknik Üniversitesi

2. MATEMATİĞİN SEYİR DEFTERİ • Bende o kadar fikir var ki, benden daha iyi görmesini bilenler bir gün onları daha da derinleştirecek ve benim zihin emeğime kendi kafalarının güzelliğini katacaklardır. • G.W. LEIBNIZ

3. BİLİM NEDİR? Bilim yapmak nedir? Bir uğraş alanının bilim olma ölçütleri Özgün alan Özgün yöntem Felsefe bilim midir? Felsefenin özgün alanı Var olan her şey üzerinde düşünür. Amaç hakikati araştırmaktır. Temel sorusu: bilgi nedir? Felsefenin özgün yöntemi Felsefe araştırmaya bilgi nedir sorusuyla başlar. Bunu yaparken bilgiye ontolojik ve epistemolojik boyutlardan bakar. Bu araştırma sırasında sorduğu sorulara tüm zamanlar için geçerli olabilecek bilgiler ortaya koymaya çalışır.

4. MATEMATİK –FELSEFE İLİŞKİSİ • Felsefe bilimsel bilginin nasıl üretildiğini tartışır. • Örneğin, matematiğin doğruları niçin doğrudur? Niçin bu doğruların yanlış olabileceği düşünülmez? • Matematik, matematikçilerin yaptıkları şeydir ve herhangi bir insan etkinliğinde veya ürününde olabileceği gibi matematikte de kusurlar, eksiklikler olamaz mı? • Bu bilgilerin evreni veya mutlak hakikati çarpıtıp çarpıtmadıklarından nasıl emin olunabilir? • Bu soruların şekillendirdiği bakış açılarına göre felsefenin rolü, işlevi ve ilgi alanı bilimsel bilginin doğasını aydınlatmak ve açıklamaktır.

5. MATEMATİK –FELSEFE İLİŞKİSİ • Matematik olmaksızın felsefenin derinliklerine inemeyiz, felsefe olmaksızın matematiğin derinliklerine inemeyiz. Her ikisi olmaksızın herhangi bir şeyin derinliğine inemeyiz/ herhangi bir şeyi anlayamayız. • Leibniz

6. MATEMATİK–FELSEFE İLİŞKİSİ • Felsefe, matematiğin üzerine tutulan ışıktır. • Felsefe önde gidiyor matematik ve fizik onu takip ediyor.

7. MATEMATİK BİLİM MİDİR? • Matematiğin özgün alanı • Matematiğin konusunu sayı, nokta, doğru, düzlem, yüzey, matris, küme gibi matematiksel nesneler ve onlar arasındaki ilişikler ve işlemler oluşturur. • Matematiğin özgün yöntemi • Matematikçi bu nesnelerin özeliklerini ve aralarındaki ilişkileri ortaya çıkarmaya, genelleme yapmaya ve ulaştığı sonuçları formal bir dil kullanarak kanıtlamaya çalışır.….doğrulama—çürütme……

8. MATEMATİK BİLGİNİN DOĞASI • Kimilerine göre matematiksel bilgi salt uygulamadan çıkmıştır. Kimine göre sezgilerin ürünüdür. • Kimilerine göre her ikisini içinde barındıran gizemli bir yapıya sahiptir. • Kimilerine göre matematiksel bilgiler, kuşku duyulmayacak düzeyde güvenilirdir. • Kimilerine göre doğruluklarına karar veremediğimiz durumlar içermektedir.

9. …matematik bilginin doğası….. • P=4n+1 ifadesinin n’ye bağlı olarak aldığı değerleri bulmak matematikçinin birinci önceliği değildir. • Matematikçinin göstermek istediği, iki doğal sayının kareleri toplamı şeklinde yazılabilen asal sayıları P = 4n + 1 ifadesinden elde edilmesidir. • Bu güzellik matematik dünyası sakinlerince fark edilebilir ve onlar için anlamlıdır.

10. …matematik bilginin doğası….

11. …..keşif ya da icat… • Matematiği bir keşif olarak görenler, fizikçiler gibi olguları doğrudan gözleme ve test etme gibi şanslarının olmadığını düşünürler. • Onlara göre, matematiksel doğruları matematikçiler önce sezgileri yoluyla keşfederler sonrada onların formal ispatlarını yaparlar. • Böylece, matematik doğadaki ilişkilerin doğal bir örüntüsü olarak ortaya çıkmaktadır. • Bir başka deyişle, bu örüntüler var ve biz onları keşfediyoruz. Matematik orada hazırdır, vardır, olduğu yerde yeniden keşfedilmektedir.

12. ….keşif ya da icat….. • Matematiği bir icat olarak gören görüşe göre ise matematiksel bilgi tamamlanmamış ve sürekli gelişme halindedir. • Matematik icat ise bu önermeden iki sonuç çıkarılabilir: 1. Matematiğin mükemmelliğinden ve kesinliğinden söz etmek oldukça zordur. 2. Matematik insan zihninin bir ürünü olduğuna göre matematikçiler her zaman dünyamız için yeni temsiller icat edebilirler.

13. …Pür veya uygulamalı matematik…. • Değerli olan matematik, uygulanabilirliği olan matematik midir?” • Uygulamalı matematikçiler, pür (salt kuramsal) matematikle uğraşanları gerçek dünyadan soyutlanmış fil dişi kulesine çekilenlere benzetmekte ve onların yaptıklarının yararsız çalışmalar olduğunu söylemektedir. • Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutu ile pür matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve entelektüel(bilgelik) doyuma ulaştırmasıdır. • Bu nedenle Hardy’nin dediği gibi pür matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması, faydalı olması gibi bir endişesi yoktur.

14. ………pür ve uygulamalı matematik • Hardy Hint matematikçisi Ramanujan ile ilgili bir anısında onu hasta yatağında ziyarete gittiğini, Ramanujan’a hastaneye plaka numarası 1729 olan bir taksi ile geldiğini söyleyince Ramanujan’ın kendisine bu sayının sıradan bir sayı olmadığını iki küpün toplamı olarak iki ayrı şekilde yazılabilen en küçük sayı olduğunu söylediğini hayretle anlatmaktadır. • 1729= (12)3 +(1)3 ve 1729=(10)3 +(9)3 . • Hardy,G.H. (1973).Mathematician’s Apology, Londra: Cambridge.

15. ………pür ve uygulamalı matematik • x2 + a = 0 tipinden denklemlerin çözümü çalışmaları gibi bir sayının tanımlanmasına yol açmıştır. • Başlangıçta bir saçmalık olarak nitelendirilen bu tanım a + ib şeklinde sanal sayıların kurulmasına zemin oluşturdu. • Durgun bir suya düşen taşın oluşturduğu halkaların denklemini yazmak uygulamada ne gibi bir öneme sahip olacaktır? • 1800’lerde bir çok matematikçi mesailerini(zamanlarını) dalga denklemlerinin kurulmasına harcamıştır. • Oysa biliyoruz ki, 1864 yılında Maxwell elektriği açıklayabilmek için bu dalga denkleminikullanmıştır.

16. ………pür ve uygulamalı matematik • Sonuç olarak, bir matematiksel ürün ister başlangıçta gözlenen bir durumun veya olgunun matematikselleştirilmesi olarak ortaya çıksın isterse de tamamıyla kuramsal olarak ortaya çıksın bugün görüyoruz ki o mühendislikte, fen bilimlerinde, teknolojide ve sosyal bilimlerde geniş bir uygulama alanı bulmaktadır. • O halde matematikle uğraşanların kendilerini pür veya uygulamalı matematik kampına dahil etme zorunluluğu yoktur.

17. BİLİMİN İNİŞ ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ Düşünüldüğü gibi bilim ve teknolojide doğrusal bir gelişme yoktur. Bilim tarihi inişlerle çıkışlarla, krizlerle doludur. Fen bilimlerinde olduğu gibi matematikte de inişler-çıkışlar, devrimler-krizler var mıdır?

18. MATEMATİĞİN İNİŞ-ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • Thales, güneş tutulmasını o devirlerde çok gelişmiş olan ay takviminden ayın safhalarını kullanarak tahmin edebilmiştir. • Buna rağmen dünyanın yuvarlaklığı ile ilgili bir muhakemesine rastlamıyoruz. • Dünyayı su dolu bir tepsi gibi görmekte ve karaların su üstünde yüzdüğünü düşünmektedir. Bu doğaldır çünkü onun için dünya henüz Akdeniz havzasından ibarettir. • Thales’ten yaklaşık 300 yıl sonra dünyanın yuvarlaklığının Akdeniz havzasında bilindiğini Eratothenes’in çalışmalarından biliyoruz. Yükseliş

19. Dik çubuk Güneş ışını 7,50 İskenderiye Güneş ışını 21 Haziran Öğle vakti 800km 7,50 Asvan Dik çubuk MATEMATİĞİN İNİŞ-ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ ERATOTHENES (MÖ 300–250) • Eratothenes’in zamanında dünyanın yuvarlaklığını kimse tartışmıyordu. • Yuvarlak olduğu bilinmemiş olsaydı Eratothenes bu zarif deneyi yaparak dünyanın çevresini hesaplama işine girişmezdi. • Bu bilimin yükselişine güzel bir örnektir. Yükseliş

20. r cos(a) = r + h Yükseliş MATEMATİĞİN İNİŞ-ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • Eratothenes’ten yaklaşık 1300 yıl sonra Dünyanın çevresi Biruni (973-1052) ile yeniden gündeme geliyordu. • A noktasında yüksek bir tepeden bakarak a ufuk açısını ölçtükten sonra trigonometrik orandan r yarıçapını buldu. B a h A T r r O

21. BİLİMİN İNİŞ ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • Eratothenes’in deneyi Thales, Pythagoras, Euclid ve Archimedes’in çalışmaları matematiğin aynı zamanda bilimin yükselişine örneklerdir. Ancak onlardan sonra Akdeniz havzası yaklaşık 600 yıl bilimin çöküşüne sahne olmuştur. • Roma döneminde bilim adına bir durgunluk ve çöküş yaşanmıştır. • Bu durgunluk ve çöküş ne zaman sona erdi? Çöküş

22. Dar’ül Hikme MATEMATİĞİN İNİŞ-ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • Yedinci asırda Akdeniz havzasında bilim bu durgunluk ve çöküşten Müslümanlarla birlikte kurtuldu. Dar’ül Hikme ile yükselişe geçti.. • Klasiklerin tercümesi, yorumlanması ve özgün ürünler… • Diophantos’un denklemleri Harizmi ile birlikte cebirleşiyor, denklem kurma, sadeleştirme, çözme cebrin başlıca yöntemi oluyor…. • algoritma • Batı Farabi ile birlikte yeniden Aristo ile tanıştı… Yükseliş

23. HARİZMİ (780 - 847) • İslam dünyasının ilk büyük matematikçisi Harizmi, Ural gölünün güneyindeki Harzem bölgesinde doğdu. Ailesi ile birlikte çocuk yaşta Bağdat’a göç etti. • Çalışkanlığı ve dehasıyla Bağdat’ta kısa sürede tanınan bu genç Türk zamanın halifesi Memun’un dan çok özel himaye ve destek gördü. ١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yükseliş

24. G Malı ile on katının toplamı 39 eden şey nedir?x2 + 10x = 39 A(CEIG) = (5 + x)2 = x2 + 10x + 25 olur. Ayrıca, x2 + 10x = 39 denkleminden x2 + 10x ifadesinin 39 olduğu bilinmektedir. Öyleyse, A(CEIG) = (5 + x)2 = 39 + 25 = 64 olur. Buradan, (5 + x)2 = 64 ise 5 + x = 8 ve x = 3 olarak bulunur. (Henüz negatif sayılar adamdan sayılmıyordu) Yükseliş

25. Harizmi’nin Özbekistan’daki heykeli Yükseliş

26. ÖMER HAYYAM (1048—1131) • Büyük Selçuklu İmparatorluğu hakimiyetindeki Horasanda doğan bu büyük Türk bilgini bizim kültürümüzde daha çok filozof ve şair yönü ile tanınır. • İsmi çözdüğü kübik denklemlerle değil yazdığı rubailerle birlikte anılır. • Çalışmaları eserleri değerlendirildiğinde onun edebiyat ve felsefeden daha çok matematik ve astronomi ile ilgilendiği anlaşılır. • Ömer Hayyam yaptığı çalışmalarla Bağdat ekolünü Semerkand’a taşımış oldu. Yükseliş

27. P A C H Yükseliş Hayyam’ın yöntemi: x3 + a2x = b denkleminin çözümü için önce x2 = ay parabolü çizilir. Daha sonra parabole teğet olacak şekilde bir doğru çizilir. Bu doğru üzerinde teğet noktasından geçen ve merkezi doğru üzerinde olacak şekilde çapı [AC] = b/a2 olan bir çember çizilir. Kübik denklemin istenilen pozitif kökü [AH] doğru parçasının uzunluğudur. Hayyam'ın geometrik yöntemle kübik denklemleri çözümünü analitik düzleme geçişin işaretlerini de vermektedir. Bu çözüm yöntemini Avrupa Descardes’den sonra tanımaya başlamıştır.

28. EL BİRUNÎ (973 - 1052) • Müslüman Türk bilginlerinden biri olan Birunî Aral gölünün güneyinde Gazne’de doğdu. Astronomi, matematik , tarih ve coğrafya ile ilgilendi. • Henüz 17 yaşındayken Güneş sistemi ile ilgili gözlemleri ve hesapları ile dikkatleri üzerine çekti. • Güneşin dünya etrafında değil dünyanın güneş etrafında döndüğünü deneysel olarak gösterdi. Yükseliş

29. Yükseliş-Çöküş • Biruni’n Dünyanın Güneş etrafında döndüğünü göstermesi Ptolemy’den buyana evren anlayışını değiştirmekteydi. Bu İslam Dünyasında kriz oluşturmamıştı. • Bu bilimin yükselişiydi. Bu yükseliş Uluğ Beyle devam etti…Takuyiddin’e kadar.. • Biruni’den yaklaşık 500 yıl sonra aynı evren tasarımını Galileo yapınca Hıristiyan Dünyası karışmıştı. Bu yüzden Galileo cezalandırılmıştı. • Bu bilimin çöküşünün örneğiydi. Bilimin yükselmesi adına Avrupa’da bilim adamları çok bedel ödemiştir. Benzer çöküşü aynı yüzyılda Osmanlı yaşıyordu Biruni’nin torunları Uluğ Beyin torunları Takuyiddin’in rasathanesini yıkıyordu.15 yüzyılda Dünyada bulunduğumuz yere göre Ayın konumunu en hassas şekilde Uluğ Bey hesaplamasına rağmen ve uzay çağını yaşadığımız günümüzde İslam coğrafyasında hala ramazanın ne zaman başlayacağı tartışılıyor. Bu da bilim adına yaşadığımız bir çöküşü gösteriyor.

30. BİLİMİN İNİŞ-ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • 11. yüzyılda Biruni ile birlikte Dünya yine yuvarlak ve üstelik Güneşin etrafında dönüyor. • 12. yüzyılda matematik ve astronomi Hayyam’la, 15. yüzyılda Uluğ Bey ile, 16. yüzyılda Taküyiddin ile yükselişine devam ediyor. Doğuda yükselen bilimin ziyası yavaş yavaş soluyor ve nöbet Batıya geçiyordu. • Bu coğrafyada Dünya yuvarlak mı, dönüyor mu tartışılırken Batıda aydınlanma başlıyordu.

31. Yükseliş BİLİMİN İNİŞ ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • Pythagoras’tan çok çok önce…Babilliler…

32. BİLİMİN İNİŞ-ÇIKIŞLARI ÇÖKÜŞLERİ KRİZLERİ YÜKSELİŞLERİ • Pascal’dan çok önce Hayyam üçgeni…. • Hayyam (a + b)n açılımını n = 12 için yaparak katsayıları tablolaştırdığını Tusî (1201-1274) bize bildiriyor.

33. ? • Matematiğin ilk krizi • 0 1 2 Kriz

34. Yeni bir kriz • Hayyam’ın çözümlerinden yararlanarak Cardano 1545 yıllarında türünden kübik denklemlerin çözümünü veren formülü buldu: • Kökün içi negatif çıkınca çözüm ne olacaktı? • Bunun cevabı Cardano’dan yaklaşık 300 yıl sonra Gauss tarafından verilecektir. Kriz

35. Y (x,y) x2+y2 = z2 z y X x Q (x+a,y+b) b P a (x,y) Basit ama matematik için fizik için gerçek bir dönüm noktası • Doğuda üretilemeyen fakat çağdaş matematikte dönüm noktası niteliğinde önemli gelişmeler oldu. Bunlardan biri Descartes’in koordinat düzlemin tanımlamasıdır. • Descartes (1596-1650) koordinat düzlemini tanımlamakla belki de çağlar boyu matematiğe getirilmiş en büyük katkılardan birini yapmıştır. • Geometrinin cebirselleştirilmesi matematiğin Yunan geleneğinin dışına çıkılması anlamına gelmektedir. • Bu hareket ilerde analitik geometri ve analizin gelişmesi için çok daha elverişli bir alt yapı hazırlamıştır.

36. Matematikte çağdaş krizlerden biri ….Başka geometrilerin varlığı • Modern matematiğin krizlerinden biri de Euclid-dışı geometrilerdir. • Bilindiği gibi Euclid’in 5. postulatından çıkarılan sonuçu kendisinden sonra Ömer Hayyam, Nasureddin Tusi, Lambert, Lobachevsky, Bolyai gibi birçok matematikçi tartışmıştır. • Lobachevsky’nin hiperbolik geometri olarak yürüttüğü çalışmaları Riemann eliptik geometri olarak devam ettirdi.

37. Matematikte çağdaş krizlerden biri ….Başka geometrilerin varlığı • Euclid geometrisi • Lobachevsky geometrisi • Riemann geometrisi

38. Matematikte çağdaş krizlerden biri ….Başka geometrilerin varlığıFarklı geometrilerde Pythagoras……. • Euclid geometrisi…..c2 = a2 + b2 • Lobachevsky geometrisi… • Riemann geometrisi

39. Matematikte çağdaş krizlerden biri ….Başka geometrilerin varlığıFarklı geometrilerde alan ve çevre….. • Küresel geometride üçgenin alanı: • r kürenin yarıçapı. • Euclid • Lobachevsky

40. Krizlere bir yenisi daha .. Matematikte tutarlık ve tamlık arayışı….. • Mantıkçılar, formalistler ve sezgiciler ayrı ayrı yürüttükleri programlarla matematiği sağlam temeller üzerine oturtarak tutarlı bir sistemi oluşturmak istediler. • Bu amaçla, mantıkçılar matematiği aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip mantıksal sisteme dönüştürmeye çalışırken formalistler de matematiği sembol ve formüllerle bir dil oluşturarak simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalıştılar.

41. Sezgiciler • Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik aramıştır. • Sezgiciler, matematiksel kesinliği insanın matematiksel tümevarım yeteneğine bağlamaktadır. • Mantıkçılar matematiği mantığın bir görüntüsüne dönüştürmeye çalışırken formalistler bu mantık oyununu sembolleştirerek biraz daha zenginleştirmiş oldu. • Sezgiciler ise bu mantık oyununa karşı çıkarak matematiksel keşif sürecinde sezginin rolü üzerine odaklandı.

42. ……sezgiciler • Godel’in eksiklik teoremi: • “….matematikte en basit aksiyomatik yapı hem tutarlı hem de tamlık ilkesini aynı anda sağlayamaz”…. • Sonuç: matematiği ne kadar kısıtlarsanız kısıtlayın sahip olacağı aksiyomlarla doğruluğu ispatlanamayan, fakat doğru olan matematik ifadeleri içerebilir. • Godel’in eksiklik teoremi mantıkçıları sarstığı gibi formalistleri de sarsmıştı. Hilbert sonunda tutarlılık ve tamlığın gerçekleşebilmesi için matematiğin aritmetik ve mantıkla sınırlandırılmaması gerektiğini görmüştür. • Sezgiciler açısından ise Godel teoreminin anlamı; sonlu adımlarla üretilen matematiksel bilgilerin de bir çelişki üreteceği ihtimali ortadan kalkmayacaktır.

43. Matematiğin doğası ile ilgili son sözler ……… • Godel’in eksiklik teoremi zaman içinde matematiğin görüntüsünü önemli ölçüde değiştirmiştir. • Kendi içinde tutarlı bir matematik için çok iddialı olan Russell özellikle Godel’den sonra matematik için karamsar bir tanım yapmıştır. • Russell’e göre matematik, ne hakkında konuştuğumuzu hiçbir zaman bilemediğimiz ve konuştuğumuz şeyin doğru olup olmadığını bilemediğimiz bir konudur. • Böylece ya tamlık ya tutarlılık…. Tıpkı Heisenberg’in belirsizlik ilkesi gibi.

44. Paradigmaların savaşı: Newton mekaniğine karşı quantum mekaniği • Fizikte ışığın doğasıyla ilgili tartışma matematikteki Euclid dışı geometriler tartışmasını çağrıştırmaktadır. • Newton (1643-1727) ışığı tanecikli bir yapı olarak görmektedir. • Huygens (1629-1695) ışığın bir dalga olduğunu öne sürmektedir. • Newton ile Huygens arasında süren bu mücadele fizikte bir paradoksa dönüşmüştür.

45. Eski ve yeni paradigma • Newton’un fizik dünyasındaki saygınlığı o dönemde ışığın tanecikli doğasını daha ağırlıklı olarak benimsenmesine neden olmuştur. Young’a kadar böyle sürmüştür. • 19. yüzyılda Young (1773-1829) yaptığı deneylerle ışığın doğasının dalga özelliğine sahip olduğu fikrini doğruluyordu.

46. Eski ve yeni paradigma…… • 20. yüzyılın başında ise Planck ile birlikte ışık enerji paketçikleri olarak gündeme gelmeye başladı. • Bu paketçiklere “quanta” adı verildi. • E = h.f h Planck sabiti 6,6x10-34joule/sn

47. Eski ve yeni paradigma…… • Einstein, Planck deneyinden yararlanarak dalga özelliği olan ışığın aynı zamanda belirli büyüklükte enerji paketi “foton”dan oluştuğunu öne sürdü. • Fotonun momentumu P = m.v =m.c (çünkü hızı ışık hızıdır) • E = mc2 ve E = h.f eşitlenirse • Işık fotonları E enerjili P momentumlu taneciklerdir. • Böylece, fotonla birlikte ışığın doğasıyla ilgili paradoks 20. yüzyılda çözülmüş oldu. Schrödinger’in de katkılarıyla eski paradigmanın yerini yeni paradigma “quantum mekaniği” aldı.

48. Ama, bundan sonra da her şey yolunda gitmeyecekti.… • Matematikte Godel’in çıkıp eksiklik teoremiyle mutlakçıların hayallerini yıktığı gibi Heisenberg (1901-1976) de belirsizlik prensibinden bahsediyordu. • “bir maddenin momentumu ve konumu aynı zamanda ölçülemez”……

49. Elbette matematiğin ve ona bağlı olarak fiziğin serüveni burada bitmemiştir, devam edecektir……. Bütün bu serüvenden görebiliyoruz ki bu yüzyılın matematiği öncekine göre daha soyut, daha kuramsal ve daha yapısaldır. Gelecek yüzyılın matematiği de bu yüzyılın matematiğinden çok daha farklı olacaktır.

50. TEŞEKKÜRLER