Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions multiutilisateurs par relais

1. Hamid Meghdadi Directeurs: Jean-Pierre Cances Vahid Meghdadi Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions multiutilisateurs par relais

2. Plan • Introduction • Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange • Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse • Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt • Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal • Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion

3. Introduction Enjeux et motivations: • Loi de Nielsen • Usage de Data sur les téléphones portables Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion La demande en moyens de communications toujours plus rapides et plus fiables Systèmes MIMO

4. Introduction But : Obtenir un moyen de communication fiable Problème: obstacle Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Source Source 1 Source 2 Destination Destination MIMO Tous les canaux sont faibles obstacle Solution: MIMO distribué Transmet toujours

5. Introduction Principe des systèmes coopératifs Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion R D S Amplify-and-Forward : Decode-and-Forward :

6. Introduction Principe des systèmes coopératifs Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion R D S • Selectioncombining (SC) • Equal gain combining (EGC) • Maximal ratio combining (MRC)

7. Plan • Introduction • Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange • Modèle du système • Objectifs • Les vecteurs de précodage • Optimisation des précodeurs • Algorithme • Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse • Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt • Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal • Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion

8. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Modèle du système Le système est composé de : • Une station de base à M antennes • L relais à R antennes • N stations mobiles mono-antennes

9. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Modèle du système La BS envoie N messages à N utilisateursmobiles : • BS envoie les signaux aux relais. • Chaque relai décode son signal reçu et le multiplie par un vecteur de précodage. • Les relais envoient les signaux vers les mobiles. 2 3 1

10. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Modèle du système Notations: • s = [s1s2 … sN] est le message à envoyer • xi of size R1 est le signal envoyé par ième relai • yjest le signal reçu par la jème station mobile • hij~CN(0, IR) sont les coefficients du canal entre le ième relai et la jème station mobile (R1) sont les vecteurs de précodage du ième relai.

11. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Objectifs • Annulation d’interférences entre utilisateurs, chaque MS doit recevoir uniquement le signal qui lui à été destiné (MS1 ne reçoit que s1 … ) • Addition cohérente • Respecter la contrainte de puissance

12. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Les hypothèses • Pas de liaison directe entre la BS et les mobiles • Liaisons BS-RS idéales. • Les canaux de Rayleigh entre les RS et les MS • Les coefficients du canal connus aux relais. Relay 1 Relay 2 MS1 MS2 MSN BS

13. Vecteurs de précodage Relay 1 Relay 2 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion MS1 MS2 MSN BS Annulation d’interférences :

14. Optimisations des précodeurs Maximize: Linéaire Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Subject to : Annulation d’interférences Linéaire Non-linéaire Addition cohérente Linéaire Contrainte de puissance Non-linéaire

15. Optimisations des précodeurs Minimize: Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Quadratique linéaire Subject to : Annulation d’interférence Linéaire Addition cohérente Linéaire le SNR Linéaire

16. Optimisations des précodeurs • On définit : • Annulation d’interférences : • Addition cohérente : • Autres conditions : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion

17. Algorithme • Ecrire les contraintes du système : • Ecrire l’équation à résoudre : • Résoudre cette équation : ui= Ai-1bi et prendre les 2N premiers éléments pour • Trouver les à partir de • Normaliser les vecteurs de précodage pour obtenir le maximum de puissance disponible aux relais. avec Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion avec

18. Plan • Introduction • Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange • Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse • Calcul des vecteurs de précodage • Analyse de performances • Approximation de TEB à forte SNR • Diversité pour le cas de deux utilisateurs • Performances théoriques pour nombre utilisateurs arbitraire • Expectation – maximization pour approximation du SNR • Résultats de simulation • Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt • Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal • Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion

19. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Cas particulier Un cas particuliers : même SNR pour tous les mobiles nj~CN (0, N0)

20. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Calcul des vecteurs de précodage • Deux scénarios envisageables : • Relais indépendants • Moins cher • Moins de degrés de liberté • Performances dégradées • Connaissance de tous les CSI aux relais : • Plus cher • Plus de de degrés de liberté • Meilleures performances • Nécessite de communiquer entre les relais

21. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Analyse de performance du système Pour une modulation M-PSK, le taux instantané d’erreur est donné par : Avec k = 2sin2 (π/M) une constante dépendant de la modulation et étant le rapport signal à bruit Définition Densité de probabilité (pdf) de γ

22. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Une probabilité de Q-function • Q-function décroit beaucoup plus rapidement que la densité de probabilité, donc afin d’évaluer le taux d’erreur à forte SNR il suffit d’évaluer le comportement de la densité de probabilité autour de zéro.

23. Approximation de TEB pour fortes SNR Q-function limit Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Définition de la fonction gamma

24. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Calcul de diversité pour le cas N=2 Valeurs propres de H avec et Diversité est de n-1: RL-N+1

25. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Performance pour N quelconque • Pour le cas du nombre arbitraires des mobiles, on ne peut pas calculer le pdf de SNR de façon analytique. • Approximation: mixture des lois Nakagami • Distribution de loi Nakagami: • La mixture des lois Nakagami : ExpectaionMaximization

26. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Expectation - Maximization • Notations: • x: réalisations de SNR observées • z: la probabilité de choisir chacune des lois Nakagami (paramètres non observés) • θ: Les paramètres inconnus (μjet Ωj) • étapes: • Expectation: Calculer l’espérance de la fonction log likelihood, par rapport à la distribution conditionnelle de z sachant x sous l’estimation actuelle de θ, θ(t) • Maximization: Trouver les paramètres qui maximisent cette quantité

27. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Calcul de la fonction Log Likelihood avec

28. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Expectation avec (Théorème de Bayes)

29. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Maximization

30. Résultats de l’approximation Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Distribution calculée Distribution réelle

31. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Analyse de performance du système On pose : avec:

32. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Résultats de simulation

33. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Résultats de simulation Nombre des copies du signal= R x L • Cas 1 : N-1 • Cas 2 : L(N-1) Nombre des contraintes: • Cas 1 : RL-N+1 • Cas 2 : L(R-N+1) Diversité :

34. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Résultats de simulation La corrélation entre la diversité et l’architecture du système

35. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Résultats de simulation Nombre des relais Performances Les performances du système pour les nombresdifférents de relais

36. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Résultats de simulation Nombre des mobiles Performances Performances du système pour différentsnombres de stations mobiles

37. Plan • Introduction • Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange • Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse • Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt • Cas de deux relais – deux utilisateurs • Cas général • Calcul de précodeurs • Analyse de diversité • Approximation de la distribution du SNR • Allocation de puissance optimale • Résultats de simulation • Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal • Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion

38. Cas de deux relais et deux mobiles Relay 1 Relay 2 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion MS1 MS2 BS Annulation d’interférences Maximisation de SNR

39. Cas général – Procédé de Gram-Schmid • Construire , la base orthonormée de • Trouver le vecteur tel que soit la base orthogonale de Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Solution: Procédé de Gram-Schmidt

40. Calcul des précodeurs Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion avec

41. Analyse de la diversité • i=1 • i=2 • Si λ2k,i-1 est une variable Χ2avec 2[R− (i−2)] degrés de libérté : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Caractérisation de λ2k,i Diversité ? Raisonnement par récurrence : Χ2avec 2R degrés de liberté λ2k,2 est une variable Χ2avec 2(R-1) degrés de liberté λ2k,iest une variable Χ2avec 2[R− (i−1)] degrés de liberté

42. Approximation de la distribution de SNR X2 est un cas particulier de la distribution gamma: Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Expectation-Maximization (Mixture d’1 loi gamma) Les paramètres α et β

43. Allocation de puissance optimale Minimize : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Subject to : constante

44. Résultats de simulation Taux d’erreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=1) Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Théorie Simulation

45. Résultats de simulation Taux d’erreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=2) Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Théorie Simulation

46. Plan • Introduction • Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange • Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse • Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt • Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal • Modèle du système • Rapport signal à bruit • Calcul des coefficient de pondération • Cas particulier : contrainte sur puissance totale, canaux indépendants • Résultat de simulation • Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion

47. Modèle du système Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion

48. Rapport signal à bruit Puissance dissipée dans les relais Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion

49. Coefficients de pondération On définit : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion

50. Cas I : Toutes les matrices sont diagonales Algorithme : • Construire les matricesPj, Qj, Gjet D • Calculer les R valeurs propres de C1-1/2C2C1-1/2 ,en fonction de k et de Ps • Calculer Ps • En fonction de Ps calculer la valeur optimale de C1-1/2C2C1-1/2 • En fonction de la valeur optimale de C1-1/2C2C1-1/2 , calculer w Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion