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Teoría Axiomática General de Agregados (VII)

Teoría Axiomática General de Agregados (VII). Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Agosto 2003. Contenido. Operaciones generalizadas Axioma de Clausura de Unión Naturales según von Neumann Axioma de Potencia Axioma de Escogencia. Operaciones generalizadas. Df. IntscG.

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Teoría Axiomática General de Agregados (VII)

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  1. Teoría Axiomática General de Agregados (VII) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Agosto 2003 Jorge Baralt-Torrijos

  2. Contenido • Operaciones generalizadas • Axioma de Clausura de Unión • Naturales según von Neumann • Axioma de Potencia • Axioma de Escogencia Jorge Baralt-Torrijos

  3. Operaciones generalizadas Jorge Baralt-Torrijos

  4. Df. IntscG • IntscG(x) = y =a EsAgregado(y) "z (z Î yÛ"u (u Î x Þ z Î u))IntscG(x) =sla intersección generalizada de x Jorge Baralt-Torrijos

  5. Ts. IntscG (1) • PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2Î X} • Mbrs = {<a1,a2> | a2Î a1} • Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1Î a2} • Cmpl(2)(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2> | a1Ï a2} • Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs))) = {<a1,a2> | a1Ï a2 Ùa2Î X} • Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))) = {a1|$a2 (a1Ï a2 Ùa2Î X)} • Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y Û {a1|¬$a2 (a1Ï a2 Ùa2Î X)} = y Jorge Baralt-Torrijos

  6. Ts. IntscG (2) • Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y Û {a1|"a2 (a2Î X Þ a1Î a2)} = y • {a1|"a2 (a2Î X Þ a1Î a2)} = y Û EsAgregado(y) "z (z Î yÛ"u (u Î X Þ z Î u)) • {a1|"a2 (a2Î X Þ a1Î a2)} = y Û IntscG(X) = y • Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) = y ÛIntscG(X) = y • Dif(Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Cmpl(2)(Inv(Mbrs)))))(Elems) =IntscG(X) Jorge Baralt-Torrijos

  7. Ts. IntscG (3) • $yIntscG(X) = y • EsClase(IntscG(X)) • IntscG(Atm(A)) = A • IntscG(Par(B)(A)) = Intsc(B)(A) Jorge Baralt-Torrijos

  8. Df. UnionG • UnionG(x) = y =a EsAgregado(y) "z (z Î yÛ$u (z Î u Ù u Î x))UnionG(x) =sla unión generalizada de x Jorge Baralt-Torrijos

  9. Ts. UnionG (1) • PrC(X)(Elems) = {<a1,a2> | a2Î X} • Mbrs = {<a1,a2> | a2Î a1} • Inv(Mbrs) = {<a1,a2> | a1Î a2} • Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs)) = {<a1,a2> | a1Î a2 Ùa2Î X} • Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs))) = {a1|$a2 (a1Î a2 Ùa2Î X)} • Dom(Intsc(PrC(X)(Elems))(Inv(Mbrs))) = y Û {a1|$a2 (a1Î a2 Ùa2Î X)} = y Jorge Baralt-Torrijos

  10. Ts. UnionG (2) • {a1|$a2 (a1Î a2 Ùa2Î X)} = y Û EsAgregado(y) "z (z Î yÛ$u (z Î u Ù u Î X)) • {a1|$a2 (a1Î a2 Ùa2Î X)} = y Û UnionG(X) = y • UnionG(X) = yÛ Dom(Intsc(Inv(Mbrs))(PrC(X)(Elems))) = y • UnionG(X) = Dom(Intsc(Inv(Mbrs))(PrC(X)(Elems))) • $yUnionG(X) = y • EsClase(UnionG(X)) • UnionG(Atm(A)) = A • UnionG(Par(B)(A)) = Union(B)(A) Jorge Baralt-Torrijos

  11. Ax. de Unión Generalizada • $y UnionG(x) = y Jorge Baralt-Torrijos

  12. Ts. UnionG (3) • "x (x Î y Þ EsMinimal(x)) ÞUnionG(y) = 0Z • EsMinimal(x)ÞUnionG(x) = 0Z • UnionG(0Z) = 0Z • EsIntegrante(x) Ù EsIntegrante(y) Þ Union(y)(x) = UnionG(Par(y)(x)) • Union(b)(a) = UnionG(Par(b)(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  13. Ts. de Union • EsAgregante(x) Ù EsMinimal(y) Þ Union(y)(x) = x • EsAgregante(x) Ù EsMinimal(y) Þ Union(x)(y) = x • EsAgregante(x) Þ Union(0Z)(x) = x • EsAgregante(x) Þ Union(x)(0Z) = x • EsAgregante(x) Þ Union(x)(x) = x • Union(0Z)(0Z) = 0Z Jorge Baralt-Torrijos

  14. Ts. de Union (2) • EsIntegrante(x) Ù EsIntegrante(y) Ù EsIntegrante(z) ÞUnion(y)(x) = Union(x)(y) Ù Union(z)(Union(y)(x)) = Union(Union(z)(y))(x) Ù Union(z)(Intsc(y)(x)) = Intsc(Union(z)(y))(Union(z)(x)) Ù Union(Intsc(z)(y))(x) = Intsc(Union(z)(x))(Union(y)(x)) Ù Intsc(z)(Union(y)(x)) = Union(Intsc(z)(y))(Intsc(z)(x)) Ù Intsc(Union(z)(y))(x) = Union(Intsc(z)(x))(Intsc(y)(x)) Jorge Baralt-Torrijos

  15. Df. Incl • Incl(y)(x) = z =a EsAgregado(z) Ù "u (u Î zÛ u Î x Ú u = y)Incl(y)(x) =sla inclusión de y en x Jorge Baralt-Torrijos

  16. Ts. Incl • Union(Atm(y))(x) = z Û EsAgregado(z)Ù "u (u Î zÛ u Î x Ú u = y) • Incl(y)(x) = z Û Union(Atm(y))(x) = z • $z Incl(y)(x) = z Û $z Union(Atm(y))(x) = z • $z Union(Atm(a))(X) = z • $z Incl(a)(X) = z • EsClase(Incl(a)(X)) Jorge Baralt-Torrijos

  17. Ts. Incl • EsIntegrante(x) Ù EsIntegrante(y) Þ$z Incl(y)(x) = z ÙIncl(y)(Atm(x)) = Par(y)(x) • EsIntegrante(x) Ù EsMinimal(y) Þ Incl(x)(y) = Atm(x) • EsIntegrante(x) Þ Incl(x)(0Z) = Atm(x) • EsMinimal(x) Ù Incl(y)(x) = z ÞAtm(y) = z • $x Incl(b)(a) = x • $x Incl(a)(Y) = x • EsClase(Incl(a)(X)) • EsAgregado(x) Ù y Î x Ù Incl(y)(x) = z Þ z = x Jorge Baralt-Torrijos

  18. Df. Clase • Clase(a1) =aIncl(a1)(0Z) • Clase(b)(an)…(a2)(a1) = Z=aX = Clase(an)…(a2)(a1)ÙZ =Incl(b)(X){a1,a2,…an} =aClase(an)…(a2)(a1){} =a 0Z Jorge Baralt-Torrijos

  19. Ts. de Clase • EsAtomo(Clase(a)) • EsClsX(Clase(an)…(a2)(a1)) Jorge Baralt-Torrijos

  20. Ejs. de Clase (1) • {a,b} = Clase(b)(a) • Clase(b)(a) = Incl(b)(Clase(a)) • Incl(b)(Clase(a)) = Incl(b)(Incl(a)(0Z)) • Incl(b)(Incl(a)(0Z)) = Union(Atm(b))(Union(Atm(a))(0Z)) • Union(Atm(b))(Union(Atm(a))(0Z)) = Union(Atm(b))(Atm(a)) • Union(Atm(b))(Atm(a)) ={x | x = a Ú x = b} • {a,b} ={x | x = a Ú x = b} Jorge Baralt-Torrijos

  21. Ejs. de Clase (2) • {a,b,c} = Clase(c)(b)(a) • Clase(c)(b)(a) = Incl(c)(Clase(b)(a)) • Incl(c)(Clase(b)(a)) = Union(Atm(c))(Clase(b)(a)) • Union(Atm(c))(Clase(b)(a)) = {x | x = a Ú x = b Ú x = c} • {a,b,c} = {x | x = a Ú x = b Ú x = c} Jorge Baralt-Torrijos

  22. Ax. de Clausura de unión • EsElemento(UnionG(A)) Jorge Baralt-Torrijos

  23. Resumen de Axiomas (1) • 1. Extensión (Op. 2) • 2. Existencia (Op. 2) • 3. Diferencia • 4. Apareamiento (Op. 2) • 5. Producto Cartesiano • 6. Rotación • 7. Transposición • 8. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  24. Resumen de Axiomas (2) • 9. Reemplazo • 10. Membresía • 11. Clausura de apareamiento • 12. Clausura de unión Jorge Baralt-Torrijos

  25. Naturales según von Neumann Jorge Baralt-Torrijos

  26. Df. SucN • SucN(x) = y =a EsAgregado(y) Ù "z (z Î yÛ z Î x Ú z = x)SucN(x) =sel sucesor de x según von Neumann Jorge Baralt-Torrijos

  27. Df. EsNatN • EsNatN(x) =a x = 0Z Ú$y (EsNatN(y)Û x = SucN(y)) EsNatN(x) =sx es natural según von Neumann Jorge Baralt-Torrijos

  28. nN 3N 2N 1N 0N Df. Naturales von Neumann • 0N =a 0Z1N =a SucN(0N)2N =a SucN(1N) 3N =a SucN(2N)... n’N =a SucN(nN) Jorge Baralt-Torrijos

  29. Variables de Naturales • "n j(n)=a"x (EsNatN(x) Þj(x))$n j(n)=a$x (EsNatN(x) Ùj(x))$!n j(n)=a$!x (EsNatN(x) Ù j(x)) /*para n,m,k,i,j,l,n1,... Jorge Baralt-Torrijos

  30. Ts. EsNatN • x Î x Þ SucN(x) = x • SucN(n)  0N • SucN(n) = SucN(m) Þ n = m • SucN(n)  n Jorge Baralt-Torrijos

  31. Axioma de Potencia Jorge Baralt-Torrijos

  32. Df. Partes • Partes(x) = y =a EsAgregado(y) Ù "z (zÎyÛEsParte(x)(z))Partes(x) =sel agregado de las partes de x Jorge Baralt-Torrijos

  33. Ts. Partes • Partes(x) = y Þ EsAgregado(y) Ù (EsIndividuo(x) Þ y = 0Z) Ù(EsAgregado(x) Þ (0ZÎyÙ x Î y)) Ù (x = 0Z Þ y = Atm(0Z)) Ù(EsAtomo(x) Þ y = Par(x)(0Z)) Jorge Baralt-Torrijos

  34. Df. Partes • Partes(a)=a {x : EsParte(a)(x))}Partes(a)=sel agregado de las partes de a Jorge Baralt-Torrijos

  35. Ts. Partes • EsClase(Partes(a)) • EsParte(Partes(Partes(Union(b)(a))))(PrC(b)(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  36. Ax. de potencia • $A (Partes(a) Í A) Jorge Baralt-Torrijos

  37. Resumen de Axiomas (II) • 10. Membrecía • 11. Reemplazo • 12. Potencia Jorge Baralt-Torrijos

  38. Ts. Potencia • EsConjunto(Partes(a)) • EsConjunto(Partes(0Z)) • EsIndividuo(a) Þ Partes(a) = 0Z • Partes(0Z) = 1Z • Partes(1Z) = 2N • EsConjunto(PrC(B)(A)) Jorge Baralt-Torrijos

  39. Axioma de Escogencia Jorge Baralt-Torrijos

  40. Ax. de escogencia • EsRelacion(A) Þ $B (EsFUnioncion(B) Ù B Í A Ù Dom(B) = Dom(A) ) Jorge Baralt-Torrijos

  41. Resumen de Axiomas (1) • 1. Extensión • 2. FUniondamentación • 3. Diferencia • 4. Apareamiento • 5. Unionión • 6. Producto Cartesiano • 7. Rotación • 8. Transposición • 9. Dominio Jorge Baralt-Torrijos

  42. Resumen de Axiomas (II) • 10. Membrecía • 11. Reemplazo • 12. Potencia • 13. Infinito • 14. Escogencia Jorge Baralt-Torrijos

  43. Axioma de Fundamentación Jorge Baralt-Torrijos

  44. Ax. de Fundamentación • EsAgrBnFnd(X) Jorge Baralt-Torrijos

  45. Resumen de Axiomas • 1. Extensión • 2. Diferencia • 3. Apareamiento • 4. Unión • 5. Fundamentación Jorge Baralt-Torrijos

  46. Ts. de Fundamentación • EsAgrBnFnd(A) • A Ï A • A Î B Þ B Ï A Jorge Baralt-Torrijos

  47. Ax. de Clausura de Unión • EsElemento(Union(a)) Jorge Baralt-Torrijos

  48. Resumen de Axiomas • 1. Extensión • 2. Diferencia • 3. Apareamiento • 4. Unión • 5. Fundamentación • 6. Clausura de Pares • 7. Clausura de Unión Jorge Baralt-Torrijos

  49. Ts. Básicos de Conjuntos • EsConjunto(Par(b)(a)) • EsConjunto(Union(a)) • EsConjunto(Union(b)(a)) • EsConjunto(Incl(b)(a)) • EsConjunto(Agr(an)…(a2)(a1)) • Agr(a)  a • Agr(b)(a)  a • Agr(b)(a)  b Jorge Baralt-Torrijos

  50. Ts. de Clases • EsClase(n) • EsElemento(n) • EsConjunto(n) Jorge Baralt-Torrijos

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