統計三大考量要素

1. 統計三大考量要素 • 趨中性 • 離異性 • 分布 • 例如班上同學身高：166, 168, 166, 170, 185, 180, 185, 190, 166, 158, 165, 170, …………→不太有人能記得所有數字, 尤其是超過 20個, 30個, 50個, 100個, 1000個, .. →可能更提不上分析與應用此數據。

2. 皮爾生（Karl Pearson, 1857-1936） • 偏斜分布 （skew distribution） • 平均數（mean） • 標準差（standard deviation） • 分布 • 對稱（symmetry） • 峰度（kurtosis） →參數 （parameter）：希臘文→「幾乎測量」

3. 集中趨勢 _ n Mean (Average): x = 1/nΣxi i=1 N u = 1/NΣxi i=1 Median: (n+1)/2 (when n = odd) [(n/2)+(n/2 +1)]/2 (when n = even) Mode: 眾數

4. 集中趨勢 • 平均數 64.3 • 中間值 65 • 眾數 62

5. 變異數 N Variance (σ2 ) =[Σ(xi – μ)2]/ N i=1 n _ s2 =[Σ(xi – x)2]/ n-1 i=1 Coefficient of Variation (CV): (σ/ μ) × 100% _ (s / x ) × 100%

6. 標準差 6.18 變異數 38.21 範圍 23 最小值 50 最大值 73 →變異係數: 6.18/ 64.3 = 9.61% 變異數

7. 分立隨機變數的期望值 k E(X) = Σxi f(xi) i=1 擲一骰子之點數期望值 6 E(X) = Σxi f(xi) = i=1 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + 3 × 1/6 + 4 × 1/6 + 5 × 1/6 + 6 × 1/6 = 21/6 = 3.5

8. 分立隨機變數的變異數 k Var(X) = E((X-μ)2) = Σ(xi – μ)2 f(xi) i=1 擲一骰子之點數變異數與標準差 6 Var(X) = E((X-μ)2) = Σ(xi – μ)2 f(xi) i=1 σ2= (1 - 3.5)2× 1/6 + (2 - 3.5)2× 1/6 + (3 - 3.5)2× 1/6 + (4 - 3.5)2× 1/6 + (5 - 3.5)2× 1/6 + (6 - 3.5)2 × 1/6 = 2.95 σ= √2.92 = 1.71

9. 有關期望值與變異數性質 E(a) = a E(a+x) = a + E(X) E(bx) = bE(X) E(a+bX) = a + bE(X) Var(a) = 0 Var(a+X) = Var(X) Var(bX) = b2Var(X) Var(a+bX) = b2Var(X)

10. 分布 • 二項式分布 • 布瓦松分布 • 常態分布

11. 二項分布之平均數與變異數 平均數 ux = np 變異數 σ2 = np(1-p) = npq When p = 0.5 => 變異數最大 (對稱 symmetric) p < 0.5 => 右偏斜 (skew to right) p > 0.5 => 左偏斜 (skew to left)

12. 布瓦松分布 Poisson Distribution (Distribution of rare events) P(X=x) = Poisson(μ) = e-μμx / x!; x = 0, 1, 2, … (e = 2.71828) 布瓦松分布之三基本前題: • 在一個區間內，單一事件發生的機率與區間的大小成正比例。 • 在一個區間內，事件發生次數超過一次以上的機率機乎等於 0。 • 在同一個區間內，或不互相重疊的區間，事件發生彼此互相獨立。 n 〔 〕= n! / [x!(n-x)!] => 二項分布 x 當 n 變大,二項分布 做為計算基礎是不切實際 => 當 n 很大, p 很小,二項分布 非常近似布瓦松分布 *

13. *當 n 很大, p 很小 →二項分布非常近似布瓦松分布 np = 1; n = 10, 50, 100, 500, 1000, X =2 的機率 n p np b(2; n, p) 10 0.1 1 0.1937 50 0.02 1 0.1858 100 0.01 1 0.1849 500 0.002 1 0.1841 1000 0.001 1 0.1840 u = np = 1 P(X=2) = e-112 / 2! = 0.1840

14. 常態分布(Normal Distribution/Gaussian Distribution) Probability Density Function x2 P(x1≦X≦x2) = ∫ f(x)dx x1 Normal Distribution (Gaussian Distribution) f(x) = 1/(√2πσ)e -1/2[(x-μ)/σ]2 (π = 3.1416) Z = (X-μ)/σ

15. 常態分布(Normal Distribution/Gaussian Distribution) μ± 1σ = 68.3% μ± 2σ = 95.4% μ± 3σ = 99.7% 查 Z table μ± ?σ = 95% μ± ?σ = 90% μ± ?σ = 99%

16. 二項式分布與常態分布 When np and n(1-p) are both ≧5 → Binomial Distribution is likely as Normal Distribution

17. 抽樣與中央極限定理 中央極限定理 (The Central Limit Theorem): • 樣本平均數抽樣分布的平均數等於母群體平均 數。 (2) 樣本平均數抽樣分布的標準差等於 σ/ √n。 (3) 若樣本數 n 夠大，樣本平均數之抽樣分布接近常 態分布。

18. Student-t － 戈斯特（William Sealy Gosset, 1876-1937）→To 皮爾生：如果你以為我是你認識的人當中，唯一利用小樣本進行研究的人，那你是孤陋寡聞了。 • 小樣本： 學生（Student-t） 檢定 • 如果沒有Student-t 檢定，統計分析師恐怕得先估計出觀測數據的四個參數，再估計這四個參數估計值的四個參數，然後再估計….. ，就這樣一值估計下去，根本沒有機會得到最後的計算結果。戈斯特證明了，分析者可以再第一步就停止計算。 • Student-t 最初基本假設→初始的那組測量是常態分布 • 1967年，史丹福大學的艾夫隆（Bradley Efron）證實，一般的條件下，這項假設（初始的那組測量是常態分布）的是多餘的。

19. Example: 1. 1976-1980 年，美國 20-74 歲男性之血清膽固醇: 平均數 μ = 211 mg/100 ml， 標準差 σ = 46 mg/100 ml， 若自此族群以 n = 25 重複抽樣， 則樣本平均數大於或等於 230 mg/100 ml 的比例有多少? Answer: n = 25 μ = 211 mg/100 ml σ = 46 mg/100 ml σ x = σ/ √n = 46/√25 = 9.2 mg/100ml x = 230 mg/100ml Z = (x - 211)/ σ x = (230-211)/9.2 = 2.07 查 z 表，Z = 2.07 單尾檢定 P = 0.019 1976-1980 年，美國 20-74 歲男性之血清膽固醇分佈情形及樣本數 25 重複抽樣之抽樣分佈圖。 抽樣分佈 母群體分佈 73 119 165 211 257 303 349 血清膽固醇 (mg/ml) 中央極限定理的應用

20. 假說檢定 (Hypothesis Testing)

21. 標準差估計與信賴區間估計

22. 標準差估計與信賴區間估計

23. 資料種類與統計分析方法

24. 資料種類與統計分析方法

25. 資料種類與統計分析方法