Optimum jedince minimalizujícího výdaje Osnova přednášky

1. Optimum jedince minimalizujícího výdaje Osnova přednášky • Optimum jedince - existence, výpočet • Hicksovy poptávky a jejich vlastnosti • Výdajová funkce a její vlastnosti • Vzájemný vztah Hicksových a Marshallových poptávek, výdajové funkce a nepřímé funkce užitku

2. Minimalizace výdajů jedincemformulace úlohy • Cílová funkce Min E =  Pi Xi • při množině přípustných řešení (zde množině spotřebních možností): U0 f (Xi) Xi  0

3. Minimalizace výdajů jedincemgrafická ilustrace úlohy

4. Řešení úlohy minimalizace výdajů I • Podmínky 1. řádu odvozené z Lagrangeovy funkce (při rozpočtovém omezení ve tvaru rovnice):  L/ X1 = P1 +  ( f(xi) /  X1)  L/ Xn = Pn +  ( f(xi) /  Xn ) L/ = - U0 + f(xi) pro i = 1, …, n

5. Řešení úlohy minimalizace výdajů II • Položíme podmínky 1. řádu rovny nule a úpravou (vyloučením ) získáme P1 P2 Pn -------- = ------- = … = -------- MU1 MU2 Mun U0 = f(xi) Přičemž platí, že:  = Pi / Mui

6. Mezní míry substituce • Z podmínek optima lze doložit, že: MU1 P1 -------- = ------- MU2 P2 tj. MRSC = MRSE

7. Hicksovy funkce poptávky vymezení • Parametrickým řešením soustavy rovnic získaných z úlohy minimalizace výdajů získáme soustavu n rovnic - Hicksových funkcí poptávek: Xi = fi (U0, Pi)

8. Výdajová funkce • Dosazením soustavy Hicksových funkcí poptávek do cílové funkce získáme výdajovou funkci: E = fi (U0, Pi)

9. Výdajová funkce - grafické odvození • Homogenní prvního stupně v cenách • Rostoucí s užitkem, neklesajicí s cenami a rostoucí při růstu nejméně jedné ceny • Konkávní v cenách • Parciální derivace podle cen jsou Hicksovy funkce poptávky. ( Shephard) Y E K´´ K E B E2 B A E1 A Uo L´ L´´ L P2 X P1 Px

10. Sklon výdajové funkce v bodě Shephardova poučka E • Marshallova poptávka je homogenní stupně nula společně v příjmu a cenách. • Hicksova poptávka je homogenní stupně nula v cenách. ∆E ∆Px Px

11. Vlastnosti Hicksových poptávek • homogenní stupně nula v cenách a v příjmu • celková hodnota Hicksových poptávek se rovná celkovým výdajům spotřebitele  Pi Xi* = I • substituční efekt (při normálních preferencích je negativní • křížové cenové efekty jsou symetrické - důkaz viz dále

12. Vlastnosti výdajové funkce • Homogenní stupně jedna v cenách • Neklesající při změně některé z cen • Konkávní v cenách • Rostoucí s užitkem • Platí Shephardova poučka: parciálními derivacemi výdajové funkce (podle cen) vypočteme Hicksovy poptávky

13. Vztah maximalizace užitku a minimalizace výdajů Dualita Řešení Substituce Substituce Inverze

14. Od výdajové funkce k Marshallově poptávce Inverze Substituce Substituce