System

1. Dwie podstawowe klasy systemów, jakie interesują nas w inżynierii sterowania Systemy sterowania: składają się z dwóch (pod)systemów – sterującego i sterowanego; system sterujący oddziałuje na system sterowany tak, aby osiągnięty został postawiony cel działania systemu sterowanego Sygnał Zadana trajektoria sterowania Sygnał Zakłócenia Sterownik System System Sygnał Sterowania Obserwacje Sygnał Proces System Zakłócenia Sygnał

2. Systemy przetwarzania sygnałów: przetwarzają sygnały pojawiające się na ich wejściu w celu wytworzenia na wyjściu sygnału o pożądanych cechach Sygnał Przetwarzanie Wyjście Wejście System Sygnał

3. Systemy sterowania • Pralka • Silnik samochodowy i układ hamulcowy • Roboty • Rafineria nafty

4. Systemy przetwarzania sygnałów • Studio nagrań cyfrowych • Komunikacja satelitarna • Kompresja obrazów video • Rozpoznawanie obrazów • Animacje filmowe

5. Modele… W inżynierii sterowania, pracujemy bardzo często z modelami , które pozbawione są nieistotnych, z punktu widzenia rozwiązywanego problemu, szczegółów i można nimi „manipulować” w sposób w jaki nie można tego robić z obiektami rzeczywistymi

6. Abstrakcja Sygnał – definicja szeroka Sygnał jest funkcją, która reprezentuje informację MODEL Rzeczywistość “Sygnał” Funkcja matematyczna Informacja w formie • wielkości fizycznej(prąd, napięcie, … • wielkości audio-wizualnej • …….

7. Skupimy się na sygnałach, które są funkcjami czasu Sygnał – definicja wąska Sygnał jest funkcją czasu • Np.: •  f – siła działająca na pewna masę • vwy – napięcie wyjściowe pewnego obwodu •  p – ciśnienie akustyczne w pewnym punkcie • Notacje: •  f , vwy, p lub f(), vwy(), p() – sygnał jako całość, funkcja • f(t), vwy(1.2), p(t+2) – wartość sygnału w chwili t, 1.2, t+2 odpowiednio Dla czasu będziemy zwykle używali symboli: t, , t1, . . .

8. Sygnał – określony na dziedzinie Dziedzina sygnału w szerokim sensie: zbiór na którym określony jest sygnał – zbiór zmiennych niezależnych Dziedzina sygnału w wąskim sensie: zbiór chwil czasowych na którym określony jest sygnał – zbiór zmiennych niezależnych • Dziedzina sygnału może być: •  ciągła – sygnał ciągły w czasie • dyskretna – sygnał dyskretny w czasie • Powszechne dziedziny: •  wszystkie t tzn. tR •  nieujemne t: t0 (t = 0, oznacza zwykle początkowy punkt obserwacji •  t w pewnym przedziale: a  t  b •  t w równomiernie rozłożonych punktach: t = kh + t0, k = 0, 1, 2, …

9. Sygnały - przykłady Przykład 1 – napięcie na wyjściu mikrofonu dla słowa „car”: Napięcie mikrofonu [mV]  Sygnał – ciągły w czasie, ciągły w wartości (napięcie mikrofonu)  Czas – zmienna niezależna Czas [ms]  Napięcie mikrofonu – zmienna zależna

10. Przykład 2 – zmiana temperatury ściany budynku o grubości 15 [cm] przy skokowej zmianie temperatury zewnętrznej o 10[K]: Zmiana temperatury [K] Powierzchnia zewnętrzna Powierzchnia wewnętrzna Położenie [m]  Sygnał - ciągły w czasie i położeniu, ciągły w wartości (temperatura)  Położenie w ścianie, czas – zmienne niezależne  Temperatura ściany – zmienna zależna

11. Przykład 3 – wartość indeksu giełdowego w pewnym okresie Wartość indeksu [-] Czas [tygodnie]  Sygnał - dyskretny w czasie, ciągły w wartości (wartość indeksu)  Czas – zmienna niezależna  Wartość indeksu – zmienna zależna

12. Przykład 4 – oceny z teorii systemów w pewnym uniwersytecie Liczba ocen [-] Ocena[-]  Sygnał - dyskretny w skali ocen, dyskretny w wartości (liczba ocen)  Skala ocen – zmienna niezależna  Liczba ocen – zmienna zależna

13. Przykład 5 – stopnie szarości obrazu  Sygnał – ciągły w klatce obrazu (współrzędne), ciągły w skali szarości  Współrzędne klatki obrazu – zmienne niezależne  Stopień szarości – zmienna zależna

14. Przykład 6 – zmienność stopni szarości obrazu w czasie Czas[s] • Sygnał – ciągły w klatce obrazu (współrzędne), ciągły w skali szarości i dyskretny w czasie,  Współrzędne klatki obrazu, czas – zmienne niezależne  Stopień szarości – zmienna zależna

15. Sygnały - klasyfikacje Sygnał ciągły w czasie - analogowy  ciągłe w czasie – dyskretne w czasie x t  R, x(t) = sin(2440t) t Dziedzina sygnału: zbiór liczb rzeczywistych x Sygnał dyskretny w czasie - próbkowany n T n  N, x(n) = sin(2n  440T) Dziedzina sygnału: zbiór liczb naturalnych

16. Sygnał – ma określony wymiar i jednostki miary Wyróżniamy:  sygnały skalarne: u(t) jest liczbą rzeczywistą  sygnały wektorowe: u(t) jest wektorem o pewnym wymiarze Skupimy się na sygnałach skalarnych Jednostki miary to jednostki fizyczne sygnału Np.:  V, mA, m/s, …  czasem jednostka miary jest 1 (sygnał bezmiarowy) lub nie jest on specyfikowany

17. Sygnał – przyjmuje określone wartości Wartości sygnału: zbiór z którego wybierane są wartości sygnału • Sygnał może przyjmować wartości: •  ciągłe – sygnał ciągły co do wartości • dyskretne – sygnał dyskretny co do wartości – sygnał skwantowany • Powszechne dziedziny: • wszystkie wartości rzeczywiste tzn. uR •  wartości rzeczywiste z pewnego przedziału: a  u  b •  wartości wymierne wynikające z kwantyzacji sygnału tzn. uQ

18. Sygnał ciągły w czasie i ciągły co do wartości – sygnał analogowy Głos Amplituda Czas x A/D y Sygnał dyskretny w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał cyfrowy Głos komputerowy Amplituda (I16) Indeks

19. Cztery najbardziej nas interesujące kategorie sygnałów: Amplituda Sygnał ciągły w czasie i ciągły co do wartości – sygnał analogowy Czas Sygnał ciągły w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał ciągły skwantowany Amplituda Czas Amplituda Sygnał dyskretny w czasie i ciągły co do wartości – sygnał próbkowany Czas Amplituda Sygnał dyskretny w czasie i dyskretny co do wartości – sygnał cyfrowy Czas

20. Układ sterowania cyfrowego Zatrzask i przetwornik A/D Obiekt sterowany Komputer cyfrowy Element wykonawczy Przetwornik D/A Aproksymator Zegar Czujnik i przekształtnik Układ przetwarzania cyfrowego sygnałów Monitor Klawiatura Przetwornik A/D i aproksym. Filtr dolnoprzep. Filtr dolnoprzep. Procesor Przekształtnik sygnału Zatrzask i przetwornik A/D Przekształtnik sygnału Do innego układu cyfrowego przetwarzania sygnałów Modem Pamięć programu Pamięć danych

21. Sygnał – niosąc informację o stanie lub zachowaniu systemu fizycznego, jest reprezentowany matematycznie jako funkcja jednej lub wielu zmiennych niezależnych Stosowane oznaczenia:  Sygnał ciągły w czasie  Sygnał dyskretny w czasie  Sygnał ciągły w wartości  Sygnał dyskretny w wartości Przykładowe połączenia: Próbkowanie w t = nT T: okres próbkowania Przetwarzanie D/A Przetwarzanie A/D Zatrzaskiwanie

22. ! Będziemy pomijać efekt kwantyzacji przetwarzania analogowo – cyfrowego i stosowali zamiennie określenia sygnał/system dyskretny i sygnał system cyfrowy

23. Elementarne sygnały analogowe i cyfrowe Funkcja skoku jednostkowego Sekwencja skoku jednostkowego także: Funkcja skoku opóźnionego i skalowanego Sekwencja skoku opóźnionego i skalowanego

24. Funkcja impulsu jednostkowego Sekwencja impulsu jednostkowego także: Funkcja impulsu opóźnionego i skalowanego Sekwencja impulsu opóźnionego i skalowanego

25. Zależności: - pomiędzy [n] i uS[n] - pomiędzy (t) i uS(t)

26. Funkcja impulsu prostokątnego Sekwencja impulsu prostokątnego

27. Funkcja impulsu trójkątnego Sekwencja impulsu trójkątnego

28. Funkcja eksponencjalna rzeczywista Sekwencja eksponencjalna rzeczywista

29. Funkcja sinusoidalna rzeczywista Sekwencja sinusoidalna rzeczywista

31. System jest obiektem lub procesem, który przetwarza sygnały, czyli wytwarza odpowiedź nazywaną wyjściem w odpowiedzi na wymuszenie nazywane wejściem Najbardziej ogólnie: System może być opisany za pomocą pewnego operatora skalarnego O lub wektorowego O, który wiąże wektor sygnału wejściowego u(t) z wektorem sygnału wyjściowego y(t) Będziemy rozróżniali: Wejście Wejście Wyjście Wyjście O O System ciągły System dyskretny

32. Systemy liniowe i nieliniowe (Linear and Nonlinear systems) Mówimy, że system jest liniowy jeżeli spełnia on zasadę superpozycji, to znaczy, że posiada on następujące właściwości: Jednorodność: Wyjście systemu pobudzanego pojedynczym wejściem u(t) wzmocnionym w stopniu a jest wzmocnionym w takim samym stopniu wyjściem systemu odpowiadającym wejściu u(t)

33. Addytywność: Wyjście systemu pobudzanego przez sumę wejść jest taką samą sumą jego wyjść obserwowanych dla każdego z tych wejść oddzielnie

34. Graficzna ilustracja warunku addytywności

35. Praktyczne wskazówki: Na nieliniowość wskazują  jakiekolwiek niezerowe stałe w opisie systemu  jakiekolwiek nieliniowe wyrażenia związane z sygnałami takie np. jak x2(t) x(t)y(t) i pochodnymi sygnałów ciągłych czasu w równaniu różniczkowym lub różnicowym Przykłady: Systemy dyskretne: Systemy ciągłe: Liniowe Nieliniowe

36. Łącznie zasada superpozycji Systemy ciągłe: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu wyjście systemu jest to znaczy

37. Systemy dyskretne: Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest to dla wejścia systemu wyjście systemu jest to znaczy

38. Przykład - system ciągły dynamiczny Mając system dynamiczny opisany równaniem różniczkowym określić, czy jest on liniowy dla zerowych warunków początkowych

39. a) Niech: y1(t) wyjście systemu dla wejścia u1(t), a y2(t) wyjście systemu dla wejścia u2(t) Zatem: oraz

40. Dla systemu liniowego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy System jest liniowy

41. b) Niech: y1(t) wyjście systemu dla wejścia u1(t), a y2(t) wyjście systemu dla wejścia u2(t) Zatem: oraz

42. Dla systemu liniowego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy System jest nieliniowy

43. Systemy dyskretne dynamiczne: Mając system dynamiczny opisany równaniem różnicowym określić, czy jest on liniowy Sprawdzić osąd dla wejść oraz obliczając cztery pierwsze wartości wyjść Przyjąć warunek początkowy

44. a) Niezerowy składnik stały sugeruje nieliniowość – można zastosować metodę kontrprzykładu, tzn. pokazać jeden przykład, kiedy zasada superpozycji nie jest spełniona dla systemu Spróbujemy pokazać najpierw ogólnie, że system jest nieliniowy Niech: y1[n] wyjście systemu dla wejścia u1[n], a y2[n] wyjście systemu dla wejścia u2[n] Zatem dla wejścia Dla wejścia wyjście wyjście Kombinacja liniowa wyjść y1[n] i y2[n] dla wejść u1[n] i u2[n] wyniesie

45. Dla systemu liniowego, dla kombinacji liniowej wejść u1[n] i u2[n] wyjście powinno wynosić zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest nieliniowy

46. Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u1[n] Dla sygnału u2[n] czyli czyli Kombinacja liniowa sygnałów wyjścia

47. Odpowiedź systemu na podaną kombinację liniową sygnałów wejściowych wyniesie czyli zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest nieliniowy

48. b) Dla wejścia Dla wejścia wyjście będzie wynosić wyjście będzie wynosić zatem Dla wejścia wyjście powinno wynosić zatem System jest liniowy

49. Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u1[n] Dla sygnału u2[n] czyli czyli Kombinacja liniowa sygnałów wyjścia

50. Odpowiedź systemu na podaną kombinację liniową sygnałów wejściowych czyli zatem Otrzymaliśmy poprzednio System jest liniowy