Estatística

1. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 15 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelos Prof. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues

2. Aula 15 • Distribuição Binomial

3. Distribuição Binomial Introdução Até o momento vimos: O que é um experimento aleatório e a função variável aleatória Variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas f(x)  função de probabilidade para v.a. discretas e função de densidade de probabilidade para v.a. contínuas A partir delas podemos construir a distribuição de probabilidade e a função f(x) = P(X=x) A partir de agora vamos estudar distribuições de probabilidade consagradas Vimos o que é esperança matemática e variância para distribuições discretas

4. Distribuição Binomial Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Temos 4 tentativas, independentes uma da outra A probabilidade de acertar uma questão (probabilidade de sucesso) é A probabilidade de não acertar uma questão qualquer (probabilidade de falha) é q = 1 – p = 0,80 Estas probabilidades permanecem constantes a cada questão (tentativa ou prova)

5. Distribuição Binomial Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Chamando de x o número de sucessos (acertos de questões): P (X = 3) = 0,20.0,20.0,20.0,80 = 0,23.0,8 = 0,0064 ou 0,64% Esta resposta está errada! Não existe somente uma maneira de alguém acertar 3 questões!

6. Distribuição Binomial Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Q1 Q2 Q3 Q4  P1 (X = 3) = 0,0064 C E E E  P2 (X = 3) = 0,0064 E C E E  P3 (X = 3) = 0,0064 E E C E  P4 (X = 3) = 0,0064 E E E C P (X = 3) = 4 . 0,0064 = 0,0256 Existem 4 maneiras!

7. Distribuição Binomial Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: O número total de permutações (arranjos) é 4  número total de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si Para nosso caso

8. Distribuição Binomial Introdução Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões? Solução: Caso típico de experimento aleatório binomial A fórmula da distribuição de probabilidade binomial é uma combinação da regra da multiplicação da probabilidade (eventos independentes) com a regra da contagem de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si

9. Distribuição Binomial É a mais famosa distribuição de probabilidade de v.a. Discreta  responde à pergunta: qual a probabilidade de haver x sucessos em n tentativas em um experimento aleatório? com: (a) número fixo de provas ou tentativas n; (b) provas que são independentes; (c) Cada prova deve ter todos os resultados classificados em 2 categorias (cara ou coroa, candidato A ou candidato B, marca A ou marca B, chuva ou não, ........) (d) as probabilidades de sucesso (p) ou falha (q = 1 - p) devem permanecer constantes para cada prova.

10. Distribuição Binomial Exemplo: Se 10% dos alunos são canhotos, qual a probabilidade de se obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes? No de tentativas fixo = 15 Resultados classificados em 2 categorias = canhoto ou destro p = 0,10 e q = 0,90

11. Distribuição Binomial Outrosexemplos • Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = no de caras obtidas • Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = no de peças defeituosas nas próximas 25 peças produzidas • Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = no de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas • De todos os bits transmitidos através de um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = no de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos • Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = no de nascimentos de meninas • Sabe-se que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas anuais serem maiores que 1.000 m3/s é de 1%. Seja X = no de vezes em que este valor é superado nos próximos 10 anos

12. Distribuição Binomial • Em um experimento binomial, a variável aleatória X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n = 1, 2, 3, … • A função de probabilidade de X é: p =probabilidade de sucesso em cada tentativa n = número de tentativas f(x) = probabilidade de x sucessos em n tentativas

13. Distribuição Binomial onde representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez, calculado como:

14. Distribuição Binomial Exemplo • Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando para o exterior? Portanto, a chance de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando ao exterior é de aproximadamente 20%.

15. Distribuição Binomial Exemplo • Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de 0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere? Se X designar os circuitos defeituosos, é necessário que X = x =0 para que o produto opere. Daí, p = 0,02, com n = 42.

16. Distribuição Binomial Exemplo • Se historicamente a ocorrência de produtos defeituosos de um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15?

17. Considerando uma amostra constituída por 10 pessoas observadas ao acaso, qual a probabilidade de a maioria das pessoas ser favorável ao governo? Distribuição Binomial Exemplo

18. f(x) Distribuição Binomial Exemplo Temos um experimento binomial, para o qual n =10 e p = 0,7, admitindo-se que X é a v.a. associada ao número de pessoas favoráveis ao governo P(X > 5) = 0,8497 P(X > 5) = f(6) + f(7) + f(8) + f(9) + f(10)

19. Distribuição Binomial Esperança Variância Desvio padrão Parâmetros da Distribuição Binomial: n, p.

20. Distribuição Binomial Demonstração Consideremos a v.a. de Bernoulli X, definida como Então,

21. Distribuição Binomial Demonstração Considerando os valores x1, x2, …, xn , referentes às n provas independentes: Como as provas são independentes, a variância de X é a soma das variâncias individuais. Logo:

22. Distribuição Binomial Simulações – Distribuição binomial

23. Distribuição Binomial Simulações – Distribuição binomial

24. Distribuição Binomial Simulações – Distribuição binomial

25. n=30, p=0,50 n=30, p=0,25 n=30, p=0,75 Distribuição Binomial • Vê-se que: Para p = 0,5, a forma da distribuição é simétrica Para p ≠ 0,5, a distribuição é assimétrica

26. Distribuição Binomial Exemplo Fez-se a contagem de E. Coliem 10 amostras de água. As contagens positivas, expressas em centenas de organismos por 100 ml de água (102/100ml), são 17, 21, 25, 23, 17, 26, 24, 19, 21 e 17, com média e a variância amostrais iguais a 21 e 10,6 respectivamente. Suponha que N represente o número total dos diferentes organismos presentes em cada amostra (número de ‘tentativas’) e que p represente a fração correspondente ao organismo E. Coli (probabilidade de ‘sucesso’). Se X denota o número de E. Coli (102/100ml) em cada amostra, estimar P(X = 20). (adap. de Kottegoda e Rosso, 1997). Solução: No caso presente, não conhecemos os verdadeiros valores numéricos da média e da variância populacionais. Entretanto, podemos estimá-los pelos valores amostrais de média e desvio padrão

27. Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 15 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaboradopelos Prof. Wayne Santos de Assis e ChristianoCantarelliRodrigues