887110 Introduction to discrete structure บทที่ 4 ฟังก์ชัน (Function)

1. 887110 Introduction to discrete structureบทที่ 4ฟังก์ชัน (Function)

2. ภาพรวมเนื้อหา • ความหมายของฟังก์ชัน • การกำหนดฟังก์ชัน • ตรวจสอบการเป็น/ไม่เป็นฟังก์ชัน • คำศัพท์เกี่ยวกับฟังก์ชัน • คุณสมบัติของฟังก์ชันจาก A ไป B • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B • ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B • ฟังก์ชันผกผัน • ฟังก์ชันคอมโพสิท • พีชคณิตของฟังก์ชัน

3. ความหมายของฟังก์ชัน • ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน แทนด้วยf • เขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้เป็น ถ้า (x1,y1)  r และ (x1,y2)  r แล้ว y1 = y2 • ตัวอย่างกำหนด A = {1,2,3,4} และ B = {0,1,2,3,4} ข้อใดเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B • f = {(1,0) , (2,1) , (3,2) , (4,3)} • g = {(1,1) , (2,0) , (3,2) , (4,1) , (2,4)} • h = {(1,4) , (2,2) , (3,0)} เป็น ไม่เป็น ไม่เป็น

4. การกำหนดฟังก์ชัน • กำหนดโดยเซตแบบแจกแจงสมาชิก • กำหนดโดยการบอกเงื่อนไขของสมาชิกในความสัมพันธ์ r เช่น f= {( x , y )  R x R | y = 2x + 1} • กำหนดโดยตารางคู่อันดับ เช่น

5. การกำหนดฟังก์ชัน (ต่อ) • กำหนดโดยแผนภาพแสดงการจับคู่ระหว่างสมาชิกในเซต A B 1 a 2 b 3 c • กำหนดโดยกราฟ

6. หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่ • ถ้าความสัมพันธ์อยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน • ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน • พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

7. หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่ (ต่อ) • ตัวอย่างการพิจารณาจากกราฟความสัมพันธ์

8. กิจกรรมที่ 1 • จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่ เพราะเหตุใด • y = x2 • |y| = x

9. คำศัพท์ในเรื่องฟังก์ชันคำศัพท์ในเรื่องฟังก์ชัน กำหนดให้ f เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B โดยที่ f  A x B ถ้า (x,y)  f จะได้ว่า • เซต A คือ โดเมน (Domain) ของ f • เซต B คือ โคโดเมน (Co-Domain) ของ f • เรียก y ว่า อิมเมจ (image) ของ x • เรียก x ว่า พรีอิมเมจ (pre-image) ของ y • พิสัย (range) คือ เซตของค่าในโคโดเมนที่สมาชิกจากโดเมนจับคู่ไปยังค่านั้นจริง (เอาเฉพาะโคโดเมนที่ถูกจับคู่)

10. ตัวอย่าง • กำหนด fเป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปยัง B แผนภาพความสัมพันธ์แสดงดังนี้ A B 1 a 2 b 3 c 4 d 5 โดเมน {1,2,3,4,5} โคโดเมน {a,b,c,d} b เป็น อิมเมจของ 2 2 เป็น พรีอิมเมจของ b พิสัย คือ {a,b,c}

11. กิจกรรมที่ 2-1 • กำหนดฟังก์ชัน f: PC โดยกำหนดให้ P = {Linda, Max, Kathy, Peter} C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow} f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Moscow จงหาพิสัยของฟังก์ชันนี้ Boston Linda New York Max Hong Kong Kathy Moscow Peter

12. กิจกรรมที่ 2-2 • กำหนดให้ f : ZR ที่กำหนดโดย f(x) = x2 • โดเมน และ โคโดเมนของฟังก์ชันนี้ • อิมเมจของ -3 • พรีอิมเมจของ 3 • พิสัยของ f(z)

13. ฟังก์ชันจาก A ไป B • ฟังก์ชันจาก A ไป B fจะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ fเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A  B

14. คุณสมบัติของฟังก์ชัน • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B • ฟังก์ชันสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B

15. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B fเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y  Rfแล้วมี x  Dfเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y)  f หรือกล่าวได้ว่า fเป็น 1-1 จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวในพิสัยมีพรีอิมเมจเพียงตัวเดียว

16. ตัวอย่าง • เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติ 1-1 ของฟังก์ชันได้โดยการพิจารณาจากกราฟแบบมีทิศทาง ดังนี้ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ไม่เป็น 1-1 เป็น 1-1

17. กิจกรรมที่ 3 • จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้มีคุณสมบัติเป็น 1-1 หรือไม่ • กำหนด f ดังนี้ f(Linda) = Moscow , f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong , f(Peter) = Boston • กำหนด g ดังนี้ g(Linda) = Moscow , g(Max) = Boston g(Kathy) = Hong Kong , g(Peter) = New York

18. ฟังก์ชันทั่วถึง (surjection function) • ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อทุก y  B มี x  A จับคู่อยู่ หรือกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันทั่วถึง ก็ต่อเมื่อ พิสัยเท่ากับ โคโดเมน

19. ตัวอย่าง • เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติ onto ของฟังก์ชันได้โดยการพิจารณาจากกราฟแบบมีทิศทาง ดังนี้ . . . . . . . . . . . . . . . . . . onto ไม่ onto

20. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection function) • ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติของการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง เราจะกล่าวได้ว่า fเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง • เมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เราจะสามารถหาฟังก์ชันผกผัน (Inverse function) ของ fได้ เขียนแทนด้วย f-1

21. ตัวอย่าง • เราสามารถพิจารณาคุณสมบัติ bijection ของฟังก์ชันได้โดยการพิจารณาจากกราฟแบบมีทิศทาง ดังนี้ . . . . . . . . . . . ไม่เป็น bijection bijection

22. กิจกรรมที่ 4 • ให้พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ว่ามีคุณสมบัติเรื่องใดบ้าง • F : Z  R กำหนดโดย f(x) = x2 • F : Z  Z กำหนดโดย f(x) = 2x • F : R  R กำหนดโดย f(x) = x3 • F : Z  N กำหนดโดย f(x) = |x|

23. ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) • ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่แทนความสัมพันธ์จาก A ไป B ฟังก์ชันผกผันของ f เขียนแทนด้วย f-1จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A • เขียนแทนด้วย f-1 = {(y,x) | (x,y)  f } • การหาฟังก์ชันผกผัน • ที่ใดมี x แทนด้วย y และที่ใดมี y แทนด้วย x • พยายามทำให้อยู่ในรูป y = f(x)

24. ตัวอย่าง • กำหนดฟังก์ชันดังนี้ จงหา f-1 f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Sidney f(Helena) = New York f-1 (Moscow) = Linda f-1 (Boston) = Max f-1 (Hong Kong) = Kathy f-1 (Sidney) = Peter f-1 (New York) = Helena เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็น bijectionsดังนั้น เราสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้

25. กิจกรรมที่ 5 • กำหนดให้ f: ZZ และ f(x) = x + 1 จงแสดงว่า f หาฟังก์ชันผกผันได่หรือไม่ ถ้าหาได้ จงหา f-1 • กำหนดให้ f: ZZ และ f(x) = x2 จงแสดงว่า f หาฟังก์ชันผกผันได่หรือไม่ ถ้าหาได้ จงหา f-1

26. ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite function) • เป็นการกระทำตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไป โดยมีลักษณะเหมือนกับการนำฟังก์ชันนั้นมาเชื่อมกัน • กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป และ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C เราสามารถสร้างฟังก์ชันจาก A ไป C ได้โดยเขียนแทนด้วย gof(x) = g(f(x)) • เราจะสร้าง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ โคโดเมนของ f ต้องเป็นสับเซตของโดเมน g

27. ตัวอย่าง • กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง A โดยที่ A = {a,b,c} ซึ่ง f(a) = b, f(b) = c และ f(c) = a และ g เป็นฟังก์ชันจาก A = {a,b,c} ไปยัง B = {1,2,3} ซึ่ง g(a) = 3, g(b) = 2 และ g(c) = 1 จงหา gof วิธีทำ gof(a) = g(f(a)) = g(b) = 2 gof(b) = g(f(b)) = g(c) = 1 gof(c) = g(f(c)) = g(a) = 3 แต่เราไม่สามารถหา fog ได้ เนื่องจากพิสัยของ g ไม่เป็นสับเซตของโดแมนของ f

28. กิจกรรมที่ 6 • กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจากเซต Z ไปยัง Z ซึ่งกำหนดโดย f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 3x + 2 จงหา fog และ gof

29. Repeated Composition • เมื่อเซตของโดเมนและโคโดเมนเท่ากัน ฟังก์ชันนั้นอาจประกอบเข้ากับตัวเองได้ การประกอบกันของฟังก์ชันตัวเดียวซ้ำๆจะเขียนอยู่ในรูปของการยกกำลังของฟังก์ชัน • แทนด้วยสัญลักษณ์ fn(x) = f  f f … f(x) ซึ่งหมายความว่า f(x) ประกอบกัน n ครั้ง n

30. ตัวอย่าง • กำหนดให้ f : ZZ , f(x) = x2จงหา f4 f4(x) = x(2*2*2*2) = x16 • กำหนดให้ g : ZZ , g(x) = x+ 1 จงหา gn gn(x) = x + n

31. การเท่ากันของฟังก์ชันการเท่ากันของฟังก์ชัน • ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันเราจะกล่าวว่า f = g ก็ต่อเมื่อ • โดเมนของ f กับโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกัน และ • โคโดเมนของ f กับ โคโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกัน และ • f(x) = g(x) ทุก ๆ x ในโดเมน • ตัวอย่าง ให้ f = {(x,y) | x,y R และ y – x = 1} และ g = {(x,y) | x,y  จำนวนเต็มบวก และ y – x = 1} จงหาว่า f = g หรือไม่ วิธีทำ เนื่องจากโดเมนและ โคโดเมนของ f เป็นจำนวนจริง แต่ โดเมน และ โคโดเมนของ g เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะเห็นว่า เซตสองเซตนี้มีโดเมน และ โคโดเมนต่างกัน ดังนั้น f  g

32. พีชคณิตของฟังก์ชัน • คือ การนำฟังก์ชันตั้งแต่ 2 ฟังก์ชันขึ้นไปมาบวก ลบ คูณ หาร กันเพื่อให้ได้ฟังก์ชันใหม่ • การหาผลลัพธ์ของพีชคณิตฟังก์ชัน ทำได้โดยการนำโคโดเมนของคู่อันดับของฟังก์ชันที่มีโดเมนเหมือนกันมา บวก ลบ คูณ หาร กัน • นิยาม กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง • f + g = {(x,y) | y = f(x) + g(x) และ x  Df  Dg • f – g = {(x,y) | y = f(x) - g(x) และ x  Df  Dg • f . g = {(x,y) | y = f(x) . g(x) และ x  Df  Dg • f / g = {(x,y) | y = f(x) / g(x) และ x  Df  Dg และ g(x)  0

33. ตัวอย่าง • กำหนด f = {(1,2), (3,8), (5,6), (7,9)} และ g = {(1,6), (2,5), (3,4), (7,3)} จงหา f + g , f – g, f .g และ f/g วิธีทำf+g = {(1,2+6), (3,8+4), (7,9+3)} = {(1,8),(3,12),(7,12)} f-g = {(1,2-6), (3,8-4), (7,9-3)} = {(1,-4),(3,4),(7,6)} f . g={(1,2 6),(3,8 4),(7,9 3)} = {(1,12),(3,32),(7,27)} f /g = {(1,2/6),(3,8/4),(7,9/3)} = {(1,1/3),(3,2),(7,3)} สรุป พีชคณิตของฟังก์ชัน คือ การนำตัวหลังของคู่อันดับที่มีตัวหน้าเหมือนกันมา บวก ลบ คูณ หารกัน แต่ต้องระวัง กรณีการหารต้องไม่ให้ตัวหารเป็นศูนย์

34. ตัวอย่าง 2 • นิยามฟังก์ชัน h = f.g = {(x,y) | y = f(x) . g(x) สำหรับทุกจำนวนจริง x >1} ถ้า f(x) = และ h(x) = จงหาค่าของ g(5) วิธีทำ จาก h(x) = f(x) . g(x) จะได้ว่า g(x) = h(x) / f(x) จะได้ว่า g(5) = h(5) / f(5) เนื่องจาก h(5) = 1 / 24 และ f(5) = 5/ ดังนั้น g(5) = h(5) / f(5) = =

35. ฟังก์ชันปัดเศษลง (Floor) • ฟังก์ชันปัดเศษลงของ x เขียนแทนด้วย x หมายถึง จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่  x • ตัวอย่างเช่น • 2.3 = 2 • 2 = 2 • 0.5 = 0 • -3.5 = -4

36. ฟังก์ชันปัดเศษขึ้น (Ceiling) • ฟังก์ชันปัดเศษขึ้นของ x เขียนแทนด้วย x หมายถึง จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่  x • ตัวอย่างเช่น • 2.3 = 3 • 2 = 2 • 0.5 = 1 • -3.5 = -3