887110 Introduction to Discrete Structures

1. 887110 Introduction to Discrete Structures ความสัมพันธ์ (Relations)

2. คู่อันดับ • คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนในรูป (a,b) • โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้า • และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง • ลำดับของคู่อันดับมีความสำคัญ • การสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้ง 2 ของคู่อันดับ อาจทำให้ความหมายเปลี่ยนไป • สมบัติของคู่อันดับ • (a , b) = (b, a) ก็ต่อเมื่อ a = b • ถ้า (a , b) = (c , d) แล้วจะได้ว่า a = c และ b = d • ถ้า (a , b)  (c , d) แล้วจะได้ว่า a  c หรือ b  d

3. ผลคูณคาร์ทีเชียน • นิยาม ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ เซต B คือ เซตใหม่ที่มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ (x, y) อันเกิดจากการการจับคู่ทุกกรณีที่เป็นไปได้ จากสมาชิก xของเซต A และสมาชิก y ของเซต B • ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A กับ เซต B เขียนเป็นสัญลักษณ์คือ A x B (อ่านว่า “A cross B”) • สามารถเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้ ดังนี้ A x B = { (x , y) | x  A ^ y  B}

4. ตัวอย่าง โจทย์ กำหนดให้ A = {a, b, c} และ B = {m, n} จงหา A x B และ B x A วิธีทำจากโจทย์สามารถเขียนเป็นแผนภาพได้ ดังนี้ จากแผนภาพ เซต A จับคู่ทุกกรณีกับเซต B ได้ผลลัพธ์ ดังนี้ A x B = {(a, m) , (a, n) , (b, m) , (b, n) , (c, m) , (c, n)} B x A = {(m, a) , (m, b) , (m, c) , (n, a) , (n, b) , (n, c)} B x A A x B a b c m n m n a b c A B B A

5. สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียนสมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน • กำหนด A , B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว • A x B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B x A • A x B = B x A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A =  หรือ B =  • A x  =  x A =  • A x ( B  C) = (A x B)  (A x C) (A  B) x C = (A x C)  ( B x C) • A x (B  C) = (A x B)  (A x C) (A  B) x C = (A x C)  ( B x C)

6. สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน (ต่อ) • กำหนด A , B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว • A x (B - C) = (A x B) - (A x C) (A - B) x C = (A x C) - ( B x C) • ถ้า A  B แล้ว A x C  B x C • ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n(A x B) = n(A) . n(B) n(B x A) = n(B) . n(A) n(A x B) = n(B x A) • ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B   แล้ว A x B เป็นเซตอนันต์

7. ความสัมพันธ์ (Relation)

8. ความสัมพันธ์ทวิภาค (Binary Relations) • ความสัมพันธ์ที่เราพบเห็นทั่วไป เช่น เป็นพ่อของ เป็นแม่ของ มากกว่า น้อยกว่า เป็นสมาชิกของ เป็นสับเซตของ ล้วนแต่เป็นความสัมพันธ์ระหว่าง 2 สิ่ง เราจะเรียกว่า ความสัมพันธ์ทวิภาค • นิยาม กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆแล้ว R เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ R เป็นสับเซตของ A x B เขียนแทนด้วย R  A x B

9. ตัวอย่าง ตัวอย่างกำหนดให้ A = {a, b} และ B = {c} จงแสดงความสัมพันธ์จาก A ไป B วิธีทำจากข้อกำหนดที่ว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r  A x B หมายความว่า เซตอะไรที่เป็นสับเซตของ A x B ถือเป็นความสัมพันธ์ทั้งสิ้น ดังนั้น เราสามารถเขียนความสัมพันธ์จาก A ไป B แบบแจกแจงได้ ดังนี้ r1 =  เพราะ  เป็นสับเซตของทุกเซต ดังนั้น  A x B แน่ๆ r2 = {(a , c)} r3 = {b , c} r4 = { {a,b} , {a,c} } = A x B ข้อสังเกต จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดที่เกิดจาก A x B = 2 n(A x B) = 2 n(A) x n(B)

10. สัญลักษณ์ในเรื่องความสัมพันธ์ทวิภาคสัญลักษณ์ในเรื่องความสัมพันธ์ทวิภาค • ถ้า R  A x B เรียกว่า R เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B • ถ้า (a,b)  R จะหมายถึง a สัมพันธ์กับ b ด้วยความสัมพันธ์ R สามารถเขียนแทนด้วย aRb • ถ้า (a,b)  R จะหมายถึง a ไม่สัมพันธ์กับ b ด้วยความสัมพันธ์ R สามารถเขียนแทนด้วย aRb

11. ส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์ (Complementary Relations) • ส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์ แทนด้วยสัญลักษณ์ หรือ R • นิยามของ เป็น ดังนี้ = {(a,b) | (a,b)  R} = (A x B) – R • ตัวอย่าง กำหนดให้ A = {1,2,3} และ R = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (1,2) , (1,3) , (2,3) จงหาส่วนเติมเต็มของ R วิธีทำ A x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} ดังนั้น = {(2,1) , (3,1) , (3,2)}

12. อินเวอร์สของความสัมพันธ์ (Inverse Relations) • ให้ Rเป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B อินเวอร์ส (Inverse) ของ Rเขียนแทนด้วย R-1 • R-1 คือ ความสัมพันธ์จาก B ไป A • R-1 จะมีสมาชิกเป็นคู่อันดับ (y , x) โดยที่ (x , y)  R • R-1เขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้เป็น R-1 = {(y , x) | (x , y)  R}

13. ตัวอย่าง • ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ R= {(1,2) , (3,4) , (5,6) } จงหาอินเวอร์ของความสัมพันธ์นี้ วิธีทำR-1= {(2,1) , (4,3) , (6,5)} • ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ R= {(x,y)  R x R | y = } จงหาR-1 วิธีทำในส่วนเงื่อนไขให้เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x จะได้ R-1 = {(x,y)  R x R | x = } R-1 = {(x,y)  R x R | x2 = y – 3, x  0 } ดังนั้น R-1 = {(x,y)  R x R | y = x2 + 3}

14. การแทนความสัมพันธ์

15. การแทนความสัมพันธ์ นอกเหนือจากการแทนความสัมพันธ์ระหว่างเซต 2 เซตด้วยเซตของคู่อันดับแล้ว เรายังสามารถแทนความสัมพันธ์ในรูปแบบอื่นๆ ดังนี้ • แทนด้วยกราฟระบุทิศทาง (directed graph) • แทนด้วยเมทริกซ์ (matrix)

16. การแทนความสัมพันธ์ด้วยกราฟระบุทิศทาง(directed graph) • จะใช้การลากเส้นความสัมพันธ์จากสมาชิกของเซตหนึ่งไปยังสมาชิกของอีกเซตหนึ่ง • ใช้ลูกศรเป็นตัวกำหนดทิศทางของความสัมพันธ์ • ตัวอย่าง กำหนดเซต A = {1,2,3,4} และ R = {(1,1) , (1,2) ,(1,3) ,(1,4)} 1 3 4 2

17. การแทนความสัมพันธ์ด้วยเมทริกซ์(matrix)การแทนความสัมพันธ์ด้วยเมทริกซ์(matrix) • กำหนดให้เซต A = {a1,a2,a3,…am} และ B = {b1,b2,b3,…,bn} เราสามารถแทนความสัมพันธ์ R ระหว่าง 2 เซตนี้ด้วยเมทริกซ์เชิงตรรก (logical matrix) ขนาดm x nเมื่อ mคือ จำนวนสมาชิกของเซต A และn คือ จำนวนสมาชิกของเซต B • โดยแต่ละตำแหน่งของ matrix (Mij) จะถูกแทนด้วย 0 ถ้า (ai,bj)  R และแทนด้วย 1 ถ้า (ai,bj)  R

18. ตัวอย่าง • กำหนดเซต A = {1,2,3,4} และ R = {(1,1) , (1,2) ,(1,3) ,(1,4)}สามารถแทนความสัมพันธ์ด้วยเมทริกซ์ ดังนี้ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19. ความสัมพันธ์บนเซต

20. ความสัมพันธ์เอกลักษณ์ (identity relation) • ความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังตัวมันเองเรียกว่า ความสัมพันธ์บนเซต A • ความสัมพันธ์เอกลักษณ์ (identity relation) IAบนเซต A แสดง ดังนี้ IA = {(a,a) | a  A} • ตัวอย่าง กำหนดให้ A = {1,2,3,4} จงหาคู่อันดับในความสัมพันธ์ R = {(a,b) | a < b} วิธีทำ จะได้ว่า R = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

21. ความสัมพันธ์สะท้อน (reflexive) • ความสัมพันธ์บนเซต A ใดๆ จะมีคุณสมบัติสะท้อน (reflexive) ก็ต่อเมื่อ ทุก x  A , xRx • ตัวอย่าง กำหนด A = {1,2,3,4} ให้พิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็น reflexive หรือไม่ • R = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)} เป็น • R = {(1,1),(2,2),(3,3)} ไม่เป็น เพราะไม่มี (4,4) • ความสัมพันธ์บนเซต A เป็นความสัมพันธ์ไม่สะท้อน (irreflexive) ถ้า (a,a)  R สำหรับ a ทุกตัวที่เป็นสมาชิกของ A

22. ความสัมพันธ์สะท้อน (reflexive) ต่อ • ถ้า R เป็นความสัมพันธ์สะท้อน • จุดทุกจุดในกราฟระบุทิศทางของ R จะมีลูกศรวนเข้าหาตัว • สมาชิกในแนวทะแยงมุมของเมทริกซ์ของ R จะมีค่าเป็น 1 ทั้งหมด 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 .1 .3 .4 .2

23. ความสัมพันธ์สมมาตร (Symmetric) • ความสัมพันธ์บนเซต A ใดๆ จะมีคุณสมบัติสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ ทุก x,y A ถ้าxRyแล้ว yRx (หรือ R = R-1 ) • ตัวอย่าง กำหนด A = {1,2,3,4} ให้พิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็น symmetric หรือไม่ • R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} เป็น • R = {(1,3),(3,2),(2,1)} ไม่เป็น

24. ความสัมพันธ์สมมาตร (Symmetric) ต่อ • ถ้า R เป็นความสัมพันธ์สมมาตรระหว่าง 2 เซตใดๆ • กราฟระบุทิศทางของ R จะมีลูกศรเชื่อมระหว่างคู่อันดับนั้น 2 ทิศทาง • เมทริกซ์ของ R จะมีสมมาตรเทียบกับแนวทะแยงมุม 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 00 10 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 .1 .3 .4 .2

25. ความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร (Antisymmetric) • ความสัมพันธ์บนเซต A ใดๆ จะมีคุณสมบัติปฏิสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ ab , ถ้า (a,b)R แล้ว (b,a)  R • หมายความว่า ทุกๆคู่ที่ a กับ b ไม่เท่ากัน ถ้า (a,b) เป็นสมาชิกของ R แล้ว (b,a) ต้องไม่เป็นสมาชิกของ R • ตัวอย่าง กำหนด A = {1,2,3,4} R ที่มีคุณสมบัติปฏิสมมาตร เช่น • R = {(1,1)} เพราะความสัมพันธ์นี้ไม่มี a ที่ไม่เท่ากับ b นับว่าเป็นได้เลย • R = {(1,3),(3,2),(2,1)} มี 3 คู่อันดับที่ a  b โดยแต่ละคู่อันดับ (a,b) ไม่มี (b,a)

26. ความสัมพันธ์ไม่สมมาตร (asymmetric) • ความสัมพันธ์บนเซต A ใดๆ จะมีคุณสมบัติไม่สมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ a,b  A , ถ้า (a,b)R แล้ว (b,a)  R • หมายความว่า ทุกๆคู่ (a,b) ที่เป็นสมาชิกของ R จะต้องไม่มีคู่อันดับ (b,a) ที่เป็นสมาชิกของ R • ตัวอย่าง กำหนด A = {1,2,3,4} R ใดบ้างที่มีคุณสมบัติไม่สมมาตร • R = {(1,3),(3,2),(2,1)} มี • R = {(4,4), (3,3) ,(1,4)} ไม่มี เพราะมี 2 คู่ที่ไม่ใช่ คือ (4,4) และ (3,3)

27. ความสัมพันธ์ถ่ายทอด (transitive) • ความสัมพันธ์บนเซต A ใดๆ จะมีคุณสมบัติถ่ายทอด (transitive) ก็ต่อเมื่อทุก x,y,z A , ถ้า xRyและ yRzแล้ว xRz • ตัวอย่าง กำหนด A = {1,2,3,4} ให้พิจารณาว่า R ต่อไปนี้มีคุณสมบัติถ่ายทอดหรือไม่ • R = {(1,1) ,(1,2) ,(2,2) ,(2,1), (3,3)} เป็น • R = {(1,3) ,(3,2) ,(2,1)} ไม่เป็น ด้วยเหตุผลที่ว่า • มี (1,3) , (3,2) แต่ไม่มี (1,2) • มี (3,2) , (2,1) แต่ไม่มี (3,1)

28. ความสัมพันธ์ถ่ายทอด (transitive) ต่อ • ความสัมพันธ์ถ่ายทอดไม่สามารถสังเกตจากกราฟระบุทิศทางหรือเมทริกซ์ได้ง่ายนัก • ตัวอย่างกราฟระบุทิศทางของความสัมพันธ์ถ่ายทอดแสดงได้ ดังนี้ .1 .3 .1 .3 .1 .3 .4 .2 .4 .2 .4 .2

29. ความสัมพันธ์สมมูล(Equivalence Relation)

30. ความสัมพันธ์สมมูล (Equivalence Relations) • ถ้าความสัมพันธ์ R มีคุณสมบัติสะท้อน(reflexive) สมมาตร(symmetric) และ ถ่ายทอด(transitive) เราจะกล่าวว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล • ตัวอย่างกำหนด A = {1,2,3,4} และ R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)} จงตรวจสอบว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลหรือไม่ วิธีทำ เราต้องทำการตรวจสอบคุณสมบัติทั้ง 3 ด้าน ดังนี้ - reflexive มี เพราะ (1,1) , (2,2) ,(3,3) , (4,4) - symmetric มี เพราะ (1,2) , (2,1) - transitive มี เพราะ มี (1,2) , (2,1) แล้ว (1,1) , และ (2,1) , (1,2) แล้ว (2,2) ดังนั้น R เป็นความสัมพันธ์สมมูล

31. ชั้นสมมูล (Equivalence Classes) • ถ้า R เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต A แล้ว ชั้นสมมูลของ R คือ เซตที่ประกอบไปด้วยทุกๆสมาชิก xA โดยที่ x สัมพันธ์กับ a ด้วยความสัมพันธ์ R • เขียนแทนด้วย [a] = {xA | x R a} หรือ x  A , x [a] <-> x R a

32. ชั้นสมมูล (Equivalence Classes) ต่อ • ตัวอย่าง กำหนดให้ A = {0,1,2,3,4} และกำหนดความสัมพันธ์ R บนเซต A ดังนี้ R = {(0,0),(0,4),(1,1),(1,3),(2,2),(4,0),(3,3),(3,1),(4,4)} จงหาชั้นสมมูลของ R • วิธีทำ [0] = {x  A | xR0} = {0,4} (มีคู่อันดับ (0,0) , (4,0)) [1] = {x  A | xR1} = {1,3} (มีคู่อันดับ (1,1) , (3,1)) [2] = {x  A | xR2} = {2} (มีคู่อันดับ (2,2)) [3] = {x  A | xR3} = {1,3} (มีคู่อันดับ (1,3) , (3,3)) [4] = {x  A | xR4} = {0,4} (มีคู่อันดับ (0,4) , (4,4)) นั่นคือ [0] = [4] และ [1] = [3]

33. ผลแบ่งกั้น (Partition) • ผลแบ่งกั้นของเซต S คือกลุ่มของเซตย่อย ที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้ • ไม่ใช่เซตว่าง • แต่ละเซตย่อยมีสมาชิกต่างกัน • เมื่อนำเซตย่อยทั้งมารวมกัน (Union) จะเท่ากับเซต S • กำหนด S = {1,2,3} ผลแบ่งกั้นแต่ละแบบเป็นการแบ่งเซต S ออกเป็นส่วนย่อย (สับเซต) ดังภาพ 2 2 1 1 3 3

34. ตัวอย่าง • กำหนดให้ S = {1,2,3} จงหาผลแบ่งกั้นทั้งหมดของ S วิธีทำ ผลแบ่งกั้นทั้งหมดของ S มีดังนี้ แบ่ง 1 ส่วน s1 = {{1,2,3}} แบ่ง 2 ส่วน s2 = {{1,2} , {3}} , s3 = {{1,3} , {2}} , s4 = {{1} , {2,3}} แบ่ง 3 ส่วน s5 = {{1} , {2} , {3}}

35. ความสัมพันธ์ประกอบ (Composite Relation) • เป็นผลของการสร้างความสัมพันธ์ใหม่จากความสัมพันธ์ที่มีอยู่เดิม • กำหนดให้ A,B,C เป็นเซต R  A x B และ Q  B x C แล้ว Q  R เป็นความสัมพันธ์ประกอบจาก A ไป C • Q  R = {(x,z) | x  A, zCและมี y  B ซึ่ง xRyและ yRz} • เราอาจมองความสัมพันธ์ประกอบ Q  Rว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกของเซต A และ C โดยมีสมาชิกของเซต B เป็นตัวเชื่อมระหว่างกลาง

36. ตัวอย่าง • กำหนดให้ A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4} และ C = {1,2} โดย R = {(1,1),(1,3),(2,1),(3,4)} และ Q = {(1,1),(3,1),(3,2)} จงหา Q  R วิธีทำ เราอาจใช้การวาดกราฟระบุทิศทาง เพื่อช่วยดูเส้นความสัมพันธ์ 1. .1 1. 2. .2 2. .1 3. .3 3. .2 .4 4. จากแผนภาพจะได้ว่า Q  R= {(1,1),(1,2),(2,1)}

37. มีคำถามไหมค่ะ