Integrali funkcij

1. Integrali funkcij Nedoločeni integral Naloga K dani funkciji f(x) želimo poiskati takšno funkcijo F(x), da bo veljalo Nalogo imenujemo nedoločeno integriranje

2. F(x) : nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f(x) Simbolično to nalogo zapišemo integralski znak

3. Izrek Če je F(x) nedoločeni integral funkcije f(x), potem je tudi F(x)+C nedoločeni integral funkcije f(x). (C poljubna realna konstanta) . Zaradi tega izreka nedoločeni integral običajno pišemo

4. Lastnosti nedoločenega integrala 1 Integral vsote je enak vsoti integralov Posplošitev

5. 2 Integral razlike je enak razliki integralov 3 Pomnoženo konstanto smemo izpostaviti pred integralski znak

6. Določeni integral Naloga Za dano funkcijo y = f(x) je potrebno izračunati na intervalu [a,b] ploščino lika med krivuljo in abscisno osjo.

7. y y=f(x) Ploščina a b x

8. Rešitev naloge Predpostavimo,da je funkcija y=f(x) zvezna na intervalu [a,b] in Interval [a,b] razdelimo na n podintervalov Širine podintervalov so

9. Znotraj vsakega podintervala izberimo vmesno točko V i - tem podintervalu bo ploščinai-tega pravokotnika s širino in višino Približna ploščina lika med krivuljo y = f(x) in abscisno osjo na intervalu [a,b] je

10. Zaporedje je omejeno in konvergentno Definicija Določeni integral funkcjie y = f(x) na intervalu [a,b] je limita zaporedja ,ko gre in širine podintervalov Določeni integralfunkcije na intrvalu [a,b] simbolično zapišemo

11. Geometrično določeni integral funkcije y = f(x) na intervalu [a,b] določa ploščino lika med krivuljo in abscisno osjo na tem intervalu a : spodnja meja integrala b : zgornja meja integrala

12. Lastnosti določenega integrala 1. Vrednost določenega integrala na danem intervalu je pozitivna, če je funkcija na tem intervalu pozitivna in negativna, če je funkcija na tem intervalu negativna :

13. 2. Integracijsko spremenljivko smemo poljubno označiti 3. Če je funkcija y = f(x) zvezna na intervalu[a,b] in (a<c<b),potem velja

14. 4. Če v določenem integralu meji obrnemo, se mu predznak spremeni 5. Vrednost določenega integrala je nič, če sta meji med seboj enaki

15. Povprečna vrednost določenega integrala Funkcija y = f(x) naj bo zvezna na intervalu [a,b] Če je in ,potem velja Poprečna vrednost določenega integrala je

16. Velja Eksistira vsaj ena vrednost takšna, pri kateri je

17. Zveza med določenim in nedoločenim integralom Naj bo y = f(x) zvezna funkcija na intervalu [a,b] in F(x) njen nedoločeni integral Vrednost določenega integrala izračunamo Newton-Leibniz-ova formula

18. Ta zveza omogoča računanje določenega integrala funkcije, če poznamo nedoločeni integral funkcije

19. Računanje nedoločenih integralov Računanje nedoločenih integralov naslonimo na računanje integralov elementarnih funkcij, ki jim pravimo elementarni integrali

20. Elementarni integrali 1. potenčna funkcija za n = 0

21. 2. logaritemska funkcija x > 0 3. eksponentna funkcija za a = e

22. 4. cosinusna funkcija 5. sinusna funkcija 6. tangensna funkcija

23. 7. kotangensna funkcija 8. arkus-sinusna funkcija 9. arkus-tangensna funkcija

24. 10. funkcija

25. Vpeljava nove spremenljivke Naloga Izračunati želimo neelementarni integral Rešitev Poiskati moramo funkcijo tako, da dobimo za Ielementarni integral Ker je , dobimo nov integral

26. Pogosto je zvezo med x in t ugodneje iskati v obliki Zelo preprosto je izračunati integral ali Vpeljemo novo spremenljivko in dobimo

27. Integracija po delih(per-partes) Metoda je zgrajena na formuli za odvod produkta dveh funkcij in je največkrat tudi v takšnih primerih uspešna Izračunati moramo integral Rešitev obrazec per-partes

28. Računanje ploščin Naloga Funkciji y = f(x) in y = g(x) oklepata lik v X-Y ravnini. Izračunati moramo ploščino lika mednjima

29. y ploščina x b a

30. Rešitev Glede na geometrijski pomen določenega integrala bo iskana ploščina Točki a in b sta rešitvi enačbe f(x) = g(x)

31. Naloga Želimo izračunati ploščino lika med krivuljo,določeno z funkcijo in ordinatno osjo na intervalu [c,d] Rešitev Funkcijo razrešimo na neodvisno spremenljivkox : Ploščina je

32. y d y=f(x) Ploščina c x

33. Računanje prostornin vrtenin Lik, ki ga določa funkcija y = f(x) definirana na intervalu[a,b] z abscisno osjo, naj se vrti okrog nje. Na ta način dobimo telo, ki mu pravimo vrtenina. Naloga Izračunati moramo prostornino vrtenine.

34. y x a b

35. Rešitev Prostornino vrtenine izračunamo

36. Naloga Lik,ki ga omejuje krivulja določena s funkcijo vrtimo okrog ordinatne osi na intervalu [c,d]

37. Rešitev Funkcijo razrešimo na neodvisno spremenljivko x : in izračunamo integral