Integrali Impropri - Funzioni continue a tratti

1. Integrali Impropri - Funzioni continue a tratti Le funzioni continue a tratti sono funzioni che presentano nell’intervallo [a,b] un numero finito di punti di discontinuità di prima specie. f(x) x0-x0 x0+ a b x

2. Integrali Impropri - 1° Tipo [a,+∞) Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) integrabile in ogni intervallo [a,t] con t>a ossia in ogni intervallo[a,t]  [a,+∞) f(x) a t x Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio nell’intervallo [a,+∞) se esiste finito il e scriveremo In tal caso l’integrale improprio è convergente

3. Integrali Impropri - 1° Tipo Se il limite esiste finito allora l’integrale improprio è convergente Se il limite è infinito allora l’integrale improprio è divergente Se il limite non esiste allora l’integrale improprio è indeterminato

4. Integrali Impropri - 1° Tipo [-∞,b) Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) integrabile in ogni intervallo [s,b] con s<b ossia in ogni intervallo[s,b]  (-∞,b] f(x) x s b Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio nell’intervallo (-∞,b] se esiste finito il e scriveremo

5. Integrali Impropri - 1° Tipo (-∞,+∞) Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) integrabile in ogni intervallo [s,t] con s<t ossia in ogni intervallo[s,t]  (-∞,+∞) f(x) x s t Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio nell’intervallo (-∞,+∞) se esiste finito il e scriveremo

6. Integrali Impropri - 1° Tipo (Esercizi)

7. Integrali Impropri - 1° Tipo (1/x) Determiniamo l’integrabilità della funzione   R+ in un intorno di +∞ cioè in un intervallo del tipo [a,+∞) al variare di . Ci sono 2 casi: • Per 1 si ha • Si osserva che: • per -+1<0 cioè >1 • per -+1>0 cioè <1

8. Integrali Impropri - 1° Tipo (1/x) • Per =1 si ha Quindi converge per >1 diverge per ≤1

9. Integrali Impropri - 2° Tipo Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) continua nell’intervallo [a,b-] con un punto di discontinuità di seconda specie nel punto b f(x) a b x Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio nell’intervallo [a,b ] se esiste finito il e scriveremo In tal caso l’integrale improprio è convergente

10. Integrali Impropri - 2° Tipo Se il limite esiste finito allora l’integrale improprio è convergente Se il limite è infinito allora l’integrale improprio è divergente Se il limite non esiste allora l’integrale improprio è indeterminato

11. Integrali Impropri - 2° Tipo Consideriamo una funzione, di equazione y=f(x) con qualche punto di discontinuità di seconda specie nell’intervallo [a,b] f(x) a d x c b Diremo che la funzione f è integrabile in senso improprio nell’intervallo [a,b ] se esistono finiti i limiti e scriveremo

12. Integrali Impropri - 2° Tipo - Esercizi

13. Integrali Impropri - 2° Tipo (1/(x-a)) Determiniamo l’integrabilità della funzione   R+ in un intervallo del tipo [a,b] al variare di . Ci sono 2 casi: • Per 1 si ha • Si osserva che: • per -+1<0 cioè >1 • per -+1>0 cioè <1

14. Integrali Impropri - 2° Tipo (1/(x-a)) +∞ • Per =1 si ha Quindi converge per <1 diverge per 1

15. Integrali Impropri - 2° Tipo

16. Integrali Impropri - 2° Tipo